Калькулятор катетов и гипотенузы

a² + b² = c² A + B = 90° sin A = a ÷ c tan A = a ÷ b area = a × b ÷ 2 perimeter = a + b + c

a, b

Два катета — стороны, сходящиеся под прямым углом. Страница сводит любые входные данные к этим двум, прежде чем что-то считать, поэтому случай, начавшийся с гипотенузы и угла, сначала превращается в два катета.

c

Гипотенуза, сторона против прямого угла, всегда самая длинная. Это главный результат страницы, и она всегда пересчитывается, а не повторяется, даже если вы ввели её сами.

A, B

Два острых угла. A лежит против катета a, B — против катета b; каждый из них заключён между 0° и 90°, а вместе они составляют то, что осталось от ста восьмидесяти градусов треугольника.

Эта страница нужна, когда известны два измерения прямоугольного треугольника, а нужен весь он: два катета, катет и гипотенуза или любая одна сторона вместе с любым из острых углов. Это универсальный решатель прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора отвечает на более узкий вопрос о недостающей стороне, а эта страница решает весь треугольник и ставит гипотенузу на первое место независимо от того, какие два поля вы заполнили. Отличается он и от страницы треугольников — той же задачи, но без прямого угла: там нужны две стороны и угол между ними, а здесь из тех же двух чисел получается значительно больше, потому что прямой угол — это третье данное, достающееся бесплатно. Прямоугольный треугольник с равными катетами — это равнобедренный случай, и у него есть своя страница, описывающая ту же фигуру своими словами.

1. Два катета, 3 и 4

   1. Даны два катета, значит, гипотенузу даёт теорема Пифагора: 9 плюс 16 равно 25, а квадратный корень из 25 равен 5
   2. Угол A лежит против стороны длиной 3, поэтому его тангенс равен 3, делённому на 4, что даёт 36,87°
   3. Угол B — это то, что осталось от девяноста градусов, то есть 53,13°
   4. Площадь равна половине произведения трёх на четыре, а периметр — сумме трёх сторон

   Треугольник, с которого страница загружается, и самый маленький из прямоугольных треугольников с целыми сторонами: тот же самый, вокруг которого построена страница теоремы Пифагора, так что эти две страницы совпадают до последнего знака и в гипотенузе, и в площади, и в периметре. Обратите внимание, что оба катета есть в выводе, хотя вы их и ввели: панель всегда печатает все семь величин, и причина в том, что страница обещает весь треугольник. Оба угла лежат между нулём и девяноста и дают в сумме ровно 90°, а не 89,99°, потому что второй считается как остаток.

2. Катет и гипотенуза, 6 и 10

   1. Даны гипотенуза и один катет, поэтому второй катет — это квадратный корень из десяти в квадрате минус шесть в квадрате
   2. Сто минус тридцать шесть равно шестидесяти четырём, корень из которого равен 8
   3. Углы находятся по катетам: тангенс угла A равен 6, делённому на 8
   4. Теперь известны три стороны, так что площадь и периметр — это арифметика

   Второй катет выходит из той же теоремы, прочитанной назад: сто минус тридцать шесть равно шестидесяти четырём, а квадратный корень из шестидесяти четырёх — восьми. Это случай, где теорема Пифагора вычитает, а не складывает, и он же ломается, когда два поля заполнены в неверном порядке: у гипотенузы, которая короче катета, решения нет, и страница говорит об этом вместо того, чтобы вернуть число. Углы совпадают со строкой 3-4-5 в точности, потому что 6-8-10 — тот же треугольник, увеличенный вдвое.

3. Катет и угол против него, 3 и 30°

   1. Угол A лежит против катета a, поэтому синус тридцати градусов связывает катет с гипотенузой: катет равен гипотенузе, умноженной на половину
   2. Значит, гипотенуза вдвое больше катета, то есть 6
   3. Второй катет — это катет, делённый на тангенс тридцати градусов, примерно 5,2
   4. Угол B — это то, что осталось от девяноста градусов, то есть 60°

   Это треугольник 30-60-90, тот самый, стороны которого относятся как один к корню из трёх к двум, и именно эта строка показывает, какой угол какой: A лежит против заданной стороны, поэтому сторона длиной 3 — та, что смотрит на угол в тридцать градусов, и она короткая. Введите тот же катет с углом B, равным шестидесяти, и все числа выйдут теми же самыми: два угла описывают одну и ту же форму, и эта пара — собственная проверка страницы на соответствие углов и сторон. Катет, площадь и периметр округлены до двух знаков после запятой, поэтому 5,196 напечатано как 5,2.

4. Гипотенуза и угол, 10 и 30°

   1. Гипотенуза известна, поэтому катет против угла в тридцать градусов равен гипотенузе, умноженной на синус тридцати, то есть 10 на половину
   2. Второй катет равен гипотенузе, умноженной на косинус тридцати, примерно 8,66
   3. Углы уже известны: тридцать градусов и дополняющие их шестьдесят
   4. Площадь равна половине произведения пяти на 8,66, а периметр — сумме трёх сторон

   Та же форма, что и в строке выше, но вдвое крупнее: стороны 5, 8,66 и 10 против 3, 5,2 и 6, и отношение между ними всюду одно и то же — это и значит, что у двух треугольников одинаковые углы. Заметьте, что гипотенуза напечатана, хотя вы её и ввели: она пересчитывается по катетам, а не повторяется, поэтому три стороны на панели всегда удовлетворяют теореме Пифагора точно и противоречить друг другу не могут. Округление до двух знаков после запятой — это то, что превращает 8,6602 в 8,66.

Четыре вещи, о которых стоит знать. Первое: заполнить нужно ровно два поля из пяти, и эти два не должны быть оба углами. Одного поля мало, трёх — больше, чем нужно, и страница различает эти два случая в своём сообщении; два угла заполняют счёт, но решить треугольник всё равно не дают, потому что два угла задают форму и ничего не говорят о размере. Сама панель не отмечает, каких полей она ждёт, так что следить за их числом приходится вам. Второе: оба острых угла принимаются, но ни один из них не может быть равен нулю или девяноста — острые углы прямоугольного треугольника лежат строго между этими значениями; сторона, равная нулю, отвергается по той же причине, ведь у вырожденного треугольника нет ни площади, ни периметра, которые стоило бы печатать. Третье: страница отвечает в сантиметрах и квадратных сантиметрах независимо от того, в какой единице вы вводили числа, — катет, введённый в футах, переводится до расчёта, а ответы возвращаются в сантиметрах; сами стороны ограничены значением 1 000 000 000 cm, то есть 10 000 км, и более длинную сторону поля не примут. Четвёртое: две из семи строк вывода обычно повторяют ваш собственный ввод, так что введённый катет, увиденный в ответе, — это не отказ страницы считать: напечатанное значение прошло через перевод единиц и округление, а новую информацию несут остальные строки.

Сколько из пяти полей нужно заполнить?

Ровно два. Любые два из трёх сторон и двух острых углов полностью определяют прямоугольный треугольник, а одного недостаточно: одна сторона оставляет свободной форму, один угол — размер. Три страница тоже отвергает, и не потому, что три измерения противоречивы, а потому, что в этом случае нужное сообщение касается количества полей, а не арифметики. Единственная пара, которая заполняет оба поля и всё равно не решается, — это два угла: они задают форму, но не размер.

Почему панель печатает ту сторону, которую я ввёл?

Потому что страница обещает весь треугольник, а не только те его части, которых вы не указали. Список вывода у неё фиксирован, поэтому введённый катет появляется среди семи строк вместе со всем остальным. Строка выглядит так, будто ничего не сделала, но её значение прошло через перевод единиц и округление, а новая информация содержится в остальных шести строках. Альтернатива — панель, состав строк которой меняется в зависимости от заполненных полей, — читалась бы хуже, а не лучше.

Какой угол называется A?

Угол A — тот, что лежит против катета a; угол B — против катета b. Поэтому если ввести катет 3 и угол 30°, страница прочитает тройку как сторону, на которую смотрит этот угол в тридцать градусов, и это делает её коротким катетом треугольника 30-60-90. Два острых угла всегда дают в сумме ровно девяносто градусов, потому что прямой угол забирает остальные девяносто из ста восьмидесяти, а второй угол страница вычисляет как остаток, а не выводит отдельно, — поэтому они и не округляются до 89,99.

В каких единицах выводятся ответы?

Всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в какой бы единице вы ни вводили числа. Перед решением треугольника страница переводит вход в общую единицу, а результаты объявлены в сантиметрах, поэтому катет, набранный в футах, возвращается числом сантиметров. Углы по той же причине всегда в градусах: вводить их можно в радианах или градах, но панель сообщает градусы.

Чем эта страница отличается от страницы теоремы Пифагора?

Тем, что принимает больше данных и возвращает больше результатов. Страница теоремы Пифагора берёт две из трёх сторон и отвечает на более узкий вопрос о недостающей стороне; эта берёт любые два из пяти измерений, включая углы, и возвращает всю фигуру, всегда выводя на первое место гипотенузу. Там, где их области пересекаются, обе дают одинаковый ответ, потому что работают с одним и тем же треугольником и с одним и тем же округлением.

Почему гипотенуза, которая короче катета, отвергается?

Потому что такого треугольника не существует. Гипотенуза — сторона против прямого угла, и она всегда самая длинная из трёх, поэтому обязана быть строго больше любого из катетов. Когда в два поля введены катет и гипотенуза и гипотенуза оказалась меньшим числом, их почти наверняка перепутали местами, и страница говорит об этом и предлагает поменять их, а не извлекает корень из отрицательного числа — тот не дал бы ответа вообще.

• Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation between the three sides, with the converse and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — using the sine, cosine and tangent to solve for a side from one side and one angle — Math is Fun (United Kingdom)
• Pythagoras' Theorem — the theorem from first principles, with the converse and worked examples — Math is Fun (United Kingdom)