Калькулятор теоремы косинусов

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

Три стороны треугольника в любых единицах, лишь бы все три были в одних и тех же. Сторона a лежит против угла A, остальные две — по той же схеме.

A

Угол против стороны a — именно его и восстанавливает эта форма теоремы. Два других угла даёт та же формула с переставленными буквами.

cos A

Косинус этого угла: три стороны дают его напрямую. Переход от косинуса к самому углу — отдельный шаг, и именно он удерживает ответ в диапазоне от 0° до 180°.

2bc

Удвоенное произведение двух сторон, сходящихся в этом углу. Это та поправка, которой нет в теореме Пифагора, и именно она делает теорему верной, когда ни один угол не прямой.

Эта страница нужна, когда известны все три стороны треугольника, а нужны его углы: участок, промеренный по границе, кронштейн, вырезанный по трём длинам, треугольник на карте, у которого стороны можно отшагать, а углы не отбить. Это единственная из двух страниц о треугольниках, которой для начала не нужен ни один угол, — и это ровно тот случай, когда теорема синусов бесполезна. Это же и самый быстрый способ проверить, складываются ли три длины в треугольник, ещё до того, как что-то строить: введите их, и либо вернутся три угла, либо сообщение скажет, какая сторона слишком длинная. Если известны две стороны и угол между ними (сторона — угол — сторона), это работа соседней страницы о треугольниках: та же теорема, только с другого конца. Если нужна площадь, а не углы, тех же трёх сторон достаточно формуле Герона. А если даны сторона и два угла или две стороны и угол не между ними, нужна страница теоремы синусов.

1. Треугольник 3-4-5, в котором один угол ровно прямой

   1. Возьмите угол против стороны длиной 5
   2. Квадраты двух других сторон дают 9 плюс 16, то есть 25
   3. Поправка равна удвоенному произведению 3 на 4, умноженному на косинус этого угла; если приравнять всё выражение к 25, косинус окажется нулём, а угол — 90°
   4. Два других угла даёт та же формула с переставленными буквами: 36,87° и 53,13°

   Стартовые значения самой страницы и треугольник, который встречал каждый. Это случай, когда теорема косинусов и теорема Пифагора совпадают: поправка обращается в ноль, потому что косинус прямого угла равен нулю, и формула сворачивается обратно в теорему. Два острых угла — та пара, по которой видно, почему этой странице можно доверять: в сумме они дают ровно 90°, а третий угол — чистые 90° без всякого округления.

2. Равносторонний треугольник, в котором округлять нечего

   1. Все три стороны равны, значит, равны и все три угла
   2. В сумме три угла дают 180°
   3. 180 делится на 3 ровно: получается 60, и ни один знак после запятой не потерян

   Три равные стороны дают три равных угла, а поскольку в сумме они дают развёрнутый угол, каждый равен ровно 60° — это единственная строка таблицы ниже, где все три значения точные и ни одно из них не равно нулю. Заодно это хорошая проверка формулы: поправка здесь равна удвоенному произведению 5 на 5 и на косинус 60°, то есть 25, а 25 плюс 25 минус 25 — это 25, то есть квадрат третьей стороны. Формула сходится сама с собой.

3. Тупоугольный треугольник со сторонами 2, 3 и 4

   1. Возьмите угол против самой длинной стороны — именно он может оказаться тупым
   2. Квадраты двух других сторон дают 4 плюс 9, то есть 13
   3. Вычтите квадрат самой длинной стороны, 16, — останется минус 3
   4. Разделите на удвоенное произведение двух других сторон, то есть на 12: косинус равен минус 0,25
   5. Угол, косинус которого равен минус 0,25, — это 104,48°, а два других — 28,96° и 46,57°

   Угол против самой длинной стороны оказывается тупым, и это правило, а не совпадение: самая длинная сторона лежит против самого большого угла, и как только сторона становится длиннее квадратного корня из суммы квадратов двух других, угол против неё переходит за 90°. Здесь 4 больше квадратного корня из 13, поэтому угол против неё равен 104,48°. Обратите внимание на сумму трёх значений: 180,01°, на сотую больше развёрнутого угла, потому что каждое округлялось отдельно. Раздел об ограничениях ниже — ровно об этом.

4. Три стороны, которые еле складываются: 3, 4 и 7

   1. Три плюс четыре — ровно семь, то есть длина самой длинной стороны
   2. Поправка достигает крайнего значения, и косинус угла против самой длинной стороны оказывается равен минус единице
   3. Угол, косинус которого равен минус единице, — это 180°, а два других схлопываются в ноль

   Семь — это ровно три плюс четыре, так что места для треугольника не остаётся: две короткие стороны ложатся вдоль длинной, и фигура превращается в отрезок, на который схлопнулись вершины. Это граница, которую допускает неравенство треугольника, и она печатается, а не отвергается, потому что это настоящий предел: углы действительно доходят до 0°, 0° и 180°. Увеличьте любую из коротких сторон хоть чуть-чуть — появится настоящий треугольник с положительными углами, которые растут по мере расхождения сторон; уменьшите её — и страница сообщит, что треугольника с такими сторонами нет.

Три ограничения стоит назвать прямо. Во-первых, три угла считаются по трём сторонам независимо и каждый округляется до двух знаков после запятой, поэтому в сумме они часто дают 180,01° или 179,99°, а не ровный развёрнутый угол: у треугольника 2-3-4 расхождение составляет сотую, как видно в третьем примере выше. Альтернатива — посчитать два угла, а третий получить вычитанием, и тогда сумма всегда равна ровно 180°, но симметрия ломается с другого конца: у равнобедренного треугольника с двумя сторонами по 3 и основанием 3,3 два угла при основании равны 56,63°, а этот способ напечатает их как 56,63° и 56,64°, потому что третий угол вычитается из уже округлённых значений. Сотая доля градуса расхождения была признана меньшей неточностью. Во-вторых, стороны должны удовлетворять неравенству треугольника: каждая из них короче суммы двух других. Страница отказывается считать то, что этому условию не удовлетворяет, и принимает граничный случай, когда одна сторона в точности равна сумме двух других, — тогда получается вырожденный треугольник с углами 0°, 0° и 180°. В-третьих, страница не печатает ни длин сторон, ни площади. Стороны не потеряны — это те три числа, которые вы ввели, и треугольник ими определён полностью, так что сообщать о них больше нечего. Если нужна площадь, это отдельный результат по тем же трём числам.

Для чего нужна теорема косинусов?

Для двух задач, которые не под силу теореме Пифагора. Первая — когда известны все три стороны треугольника, а нужны его углы: этим и занимается страница. Теорема Пифагора даёт угол только тогда, когда один из них уже прямой, а добавочная поправка делает формулу верной в любом другом треугольнике. Вторая — когда известны две стороны и угол между ними, а нужна третья сторона: так её применяет соседняя страница о треугольниках. Это одно и то же уравнение, прочитанное с разных концов.

Почему три угла дают в сумме 180,01 вместо 180?

Потому что каждый угол считается по трём сторонам отдельно и затем округляется до двух знаков после запятой, а три отдельные округления не обязаны взаимно сократиться. Это не ошибка и не признак невозможного треугольника: это значит, что каждое напечатанное значение отличается от истинного угла меньше чем на сотую долю градуса. Альтернатива — посчитать два угла, а третий получить вычитанием из 180 — всегда даёт ровно 180, но она округляет два угла и затем вычитает их, поэтому у равнобедренного треугольника с двумя углами при основании по 56,63° получается 56,63° и 56,64°, а это неточность в другую сторону.

Любые ли три длины образуют треугольник?

Нет. Каждая сторона должна быть короче двух других вместе — это неравенство треугольника: кратчайший путь между двумя вершинами — сторона, которая их соединяет, поэтому обход через третью вершину короче быть не может. Если одна сторона длиннее суммы двух других, страница откажется считать, а не вернёт невозможный угол. Если она в точности равна сумме, треугольник вырожденный, и углы получаются 0°, 0° и 180°: страница это принимает, потому что перед ней настоящая граница, а не ошибка.

Почему страница выдаёт три угла и ни одной длины стороны?

Потому что три стороны — это вход. Треугольник с тремя заданными сторонами определён полностью: форма у него ровно одна с точностью до переноса и поворота, поэтому печатать стороны обратно означало бы повторять введённое. Страница добавляет то, чего не было видно: где находятся вершины, то есть три угла. По тем же трём числам находится и площадь — это отдельный инструмент.

Как узнать, есть ли у треугольника тупой угол?

Смотрите на самую длинную сторону. Если её квадрат больше суммы квадратов двух других, угол против неё тупой; если равен сумме — этот угол ровно прямой; если меньше — все три угла острые. Тупоугольный треугольник 2-3-4 из примеров выше — как раз первый случай: 16 против 13. Тупым всегда становится самый большой угол, потому что самая длинная сторона лежит против самого большого угла.

Когда использовать эту страницу, а когда теорему синусов?

Эту — когда известны все три стороны или две стороны и угол между ними. Теорему синусов — когда известны сторона и противолежащий ей угол вместе с ещё одним элементом, потому что именно этого требует отношение стороны к синусу. Случай, в котором две страницы пересекаются, — две стороны и угол не между ними, и там лучше теорема синусов; это же и тот случай, когда у треугольника может быть две разные формы, а этой странице о таком беспокоиться не приходится.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Cosines — the theorem worked through from first principles, with the side-angle-side and three-sides cases shown separately — Math is Fun (United Kingdom)