Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор треугольника

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Диапазон: 0 ° – 180 °

Результат

5,0000 cmПрямоугольный

Сторона c

Угол A
36,87 °
Угол B
53,13 °
Площадь
6,0000 cm²
Периметр
12,0000 cm

Калькулятор треугольника принимает две стороны и угол между ними и решает треугольник целиком: третью сторону, оба оставшихся угла, площадь и периметр. Этих трёх чисел — двух сторон и заключённого между ними угла — достаточно, чтобы задать треугольник полностью, и об этом стоит сказать прямо, потому что это неочевидно: две стороны сами по себе оставляют фигуру свободной, как пара циркулей, и именно угол замыкает её. Дальше путь идёт через теорему косинусов, которая сразу даёт третью сторону, а затем через теорему синусов — или через ту же теорему косинусов ещё раз — для двух оставшихся углов. Две стороны 3 и 4 с прямым углом между ними дают третью сторону 5, углы 36,87 и 53,13, площадь 6 квадратных сантиметров и периметр 12. Измените заключённый угол — и вместе с ним изменится всё, кроме двух исходных сторон: те же 3 и 4 при 60 градусах дают третью сторону 3,6056 и площадь 5,1962, а при 120 градусах — третью сторону 6,0828, то есть сторону длиннее, потому что косинус 120 градусов отрицателен и поправка прибавляется к сумме, а не вычитается из неё. А вот площадь у двух этих треугольников общая: sin 60 и sin 120 равны 0,866, поэтому оба треугольника заключают ровно 5,1962 квадратного сантиметра, хотя третьи стороны у них разные. Что эта страница добавляет к арифметике — так это имя для результата. Вид треугольника решает наибольший из трёх углов: меньше 90 градусов — треугольник остроугольный, ровно 90 — прямоугольный, больше 90 — тупоугольный. Это и есть классификация, которая печатается под ответами, и это тот вопрос, на который остальные страницы подраздела не отвечают: три стороны или основание с высотой говорят о размере треугольника, а эта страница говорит ещё и о его форме. Правило легко проверить по сторонам, когда они уже есть: наибольший угол лежит против наибольшей стороны, поэтому треугольник прямоугольный ровно тогда, когда сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату наибольшей, а то, больше эта сумма или меньше, и отличает остроугольный треугольник от тупоугольного. Треугольник со сторонами 5, 5 и 5 остроугольный, потому что все три его угла равны 60; у треугольника со сторонами 10, 10 и 17,3205 есть угол 120 градусов, и он тупоугольный; а у треугольника со сторонами 5, 5 и 7,0711 между двумя равными сторонами прямой угол. Поле угла принимает градусы, радианы и грады, а два напечатанных угла всегда выводятся в градусах, в каких бы единицах вы ни вводили: треугольник в любом случае остаётся тем же, и ответ в единицах, которых вы не набирали, только мешал бы сравнивать его с чертежом. Если у вас три стороны, а не две, воспользуйтесь калькулятором формулы Герона — он принимает их напрямую; если у вас основание и перпендикулярная ему высота, калькулятор площади треугольника короче ведёт к той же площади; а если известный вам угол прямой, калькулятор теоремы Пифагора — это страница, сделанная ровно для такого случая.

Три вида треугольника, о которых сообщает эта страница

ТреугольникУсловиеЧто это значит
ОстроугольныйВсе три угла меньше 90°Все углы острые. Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла, а сумма квадратов двух меньших сторон больше квадрата наибольшей — при своих сторонах такой треугольник низкий и широкий.
ПрямоугольныйОдин угол ровно 90°Один угол прямой, и две стороны, сходящиеся в нём, перпендикулярны. Квадраты двух меньших сторон в сумме дают ровно квадрат наибольшей — это теорема Пифагора, — и теорема косинусов теряет поправочный член.
ТупоугольныйОдин угол больше 90°Один угол шире прямого, и сторона напротив него длиннее каждой из двух других. Поправочный член в теореме косинусов отрицателен, поэтому он прибавляется к сумме, а не вычитается, и площадь при той же паре сторон меньше, чем дал бы прямой угол.

Классификация, которая печатается под каждым ответом на этой странице, и причина, по которой видов три, а не один. Проверка всегда идёт по наибольшему из трёх углов, а поскольку наибольший угол лежит против наибольшей стороны, ту же проверку можно провести по сторонам: сложите квадраты двух меньших сторон и сравните с квадратом наибольшей. Равенство даёт строку прямоугольного треугольника, больше — строку остроугольного, меньше — строку тупоугольного. Строку про прямоугольный стоит знать наизусть, потому что это теорема Пифагора, а треугольник 3-4-5 — стандартный способ проверить угол на стройплощадке.

Треугольники по двум сторонам и углу между ними

Сторона a (cm)Сторона b (cm)Угол C (°)Сторона c (cm)Угол A (°)Угол B (°)Площадь (cm²)
3490536.8753.136
55605606010.8253
512901322.6267.3830
68901036.8753.1324
78607.549853.4166.5924.2487
101012017.3205303043.3013
55907.0711454512.5
44302.070675754

Восемь треугольников, и вместе читать нужно столбцы угла и третьей стороны. Первая, третья и четвёртая строки — прямоугольные треугольники, поэтому их третьи стороны выходят целыми: 5, 13 и 10, и поэтому же два угла рядом с ними — знакомые пары 36,87 и 53,13, а также 22,62 и 67,38. Вторая строка — тот единственный угол, который вынуждает третью сторону: две равные стороны при 60 градусах дают равносторонний треугольник, поэтому третья сторона совпадает с двумя заданными, а все три угла равны 60. Восьмая строка — та же пара равных сторон при куда более узком угле, 4 и 4 при 30 градусах, где третья сторона падает до 2,0706, а два оставшихся угла раскрываются до 75 каждый. Шестая строка — тупоугольный случай: две стороны по 10 при 120 градусах, где третья сторона 17,3205 длиннее любой из заданных — отличительный признак угла больше 90 градусов, — и где площадь 43,3013 меньше 50, которые те же две стороны заключают при прямом угле. Седьмая строка — прямой угол между двумя равными сторонами, равнобедренный прямоугольный треугольник, третья сторона которого равна пяти квадратным корням из двух. Каждая ячейка пересчитывается по своей строке при сборке страницы — в сантиметрах, градусах и квадратных сантиметрах. Числа в столбцах печатаются так, как их выдаёт расчёт, поэтому разделитель там — точка, а не запятая (2.0706 — это то же число, что 2,0706): столбцы берутся из вычисления, а этот текст написан по-русски.

Формула

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°

a, b
Две известные стороны, в сантиметрах. Они взаимозаменяемы: странице всё равно, какую назвать a, а какую b, и перестановка лишь меняет местами два напечатанных угла. Обе должны быть больше нуля, потому что сторона нулевой длины не оставит от треугольника ничего
C
Угол между двумя известными сторонами, в градусах, радианах или градах. Его называют заключённым углом, потому что он заключён между двумя заданными сторонами, и это единственный угол, который страница позволяет задать. Он может быть любым от 0 до 180 градусов; ровно при 0 или 180 треугольник вырождается в отрезок, и страница всё равно отвечает — с одним углом 0 и другим 180
c
Третья сторона, в сантиметрах, против угла C. Она получается из теоремы косинусов, которая есть теорема Пифагора с поправкой для треугольников, не являющихся прямоугольными: когда C равен 90 градусам, косинус равен 0 и поправка исчезает, оставляя a² + b² = c². Это главный ответ на странице, потому что от него зависит каждое остальное показание
A, B
Два угла, которые вы не задавали, в градусах. Каждый получается из теоремы косинусов, применённой снова к уже полностью известному треугольнику, причём третья сторона берётся до округления, а затем эти два угла складываются с C ровно в 180 с точностью до последнего знака. Треугольник, очень близкий к прямоугольному, после округления углов до двух знаков может выйти ровно на 90 и быть назван прямоугольным: классификация делается по числам, которые страница печатает, а не по тем, что стоят за ними
½ × a × b × sin C
Площадь треугольника в квадратных сантиметрах: половина произведения двух известных сторон на синус угла между ними. Это формула площади, сведённая к случаю, когда угол известен, поскольку нужная иначе высота равна b × sin C — вот почему те же 3 и 4 дают площадь 6 при прямом угле и только 5,1962 при 60 градусах, при неизменных сторонах
A + B + C = 180°
Сумма углов, и именно она делает классификацию возможной: когда все три угла известны, наибольший из них решает, остроугольный треугольник, прямоугольный или тупоугольный, а наибольший угол всегда лежит против наибольшей стороны. Классификация читает два угла, которые страница печатает, и берёт третий как 180 минус эти два, поэтому значок судит о числах на экране — вместе с их округлением — и не может с ними разойтись из-за артефакта округления

Берите эту страницу, когда у вас есть две стороны и угол между ними, — обычный случай для всего, что измеряют или задают на месте: две стороны участка с углом между ними, две стяжки, сходящиеся под известным углом, стропило, описанное заложением и уклоном, треугольник ткани, вырезанный из угла. Она же подходит, когда вопрос не о размере треугольника, а о его форме: прямой ли угол, остроугольный ли треугольник, могут ли три заданные стороны вообще образовать тупоугольный треугольник. Поскольку страница печатает вид треугольника, она отвечает на проверку, которую плотник делает треугольником 3-4-5: введите стороны 3 и 4 с углом 90 — и ответ вернётся прямоугольным; введите те же стороны с углом 92 — и он вернётся тупоугольным, а третья сторона окажется слишком длинной для прямого угла. Обращайтесь к калькулятору формулы Герона, когда у вас три стороны и нет угла, — это другая дорога. Обращайтесь к калькулятору площади треугольника, когда у вас есть основание и перпендикулярная высота: той странице тригонометрия не нужна. Обращайтесь к калькулятору теоремы Пифагора, когда угол заведомо прямой и нужен простой путь a² + b² = c², либо когда у вас прямоугольный треугольник, одна сторона и гипотенуза. А к страницам равностороннего и равнобедренного треугольника — когда у треугольника есть особая симметрия: те страницы принимают меньше чисел и выдают углы не спрашивая.

Разобранные примеры

  1. Стороны 3 и 4 под прямым углом

    1. Косинус 90° равен 0, поэтому поправочное слагаемое обращается в нуль: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
    2. Площадь: ½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
    3. Периметр: 3 + 4 + 5 = 12
    4. Угол A, против стороны 3: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, значит A = 36,87°
    5. Угол B: 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
    6. Наибольший угол равен 90°, поэтому страница сообщает о прямоугольном треугольнике

    Треугольник 3-4-5 — и та строка, ради которой классификация вообще нужна: страница сама узнаёт прямой угол и говорит об этом, а не оставляет проверку вам. Два угла 36,87 и 53,13 — та самая пара, которая встречается в любом треугольнике 3-4-5 и, с другого конца той же арифметики, в ромбе с диагоналями 6 и 8. Это ещё и самое наглядное доказательство того, что теорема косинусов содержит в себе теорему Пифагора: при 90 градусах поправочное слагаемое равно нулю, и обе формулы — одно и то же предложение.

  2. Стороны 5 и 5 под углом 60 градусов

    1. Косинус 60° равен 0,5: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
    2. Третья сторона получилась равной двум заданным, значит все три стороны равны 5
    3. Площадь: ½ × 5 × 5 × sin 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
    4. Периметр: 5 + 5 + 5 = 15
    5. Три равные стороны оставляют три равных угла: (180 − 60) ÷ 2 = 60, поэтому страница печатает 60 для обоих оставшихся углов
    6. Наибольший угол равен 60°, поэтому страница сообщает об остроугольном треугольнике

    Две равные стороны и угол 60 градусов — единственный случай, когда третья сторона вынуждена с ними сравняться, и треугольник получается равносторонним: 60 градусов — это угол, при котором основание равнобедренного треугольника становится ровно таким же длинным, как две его равные стороны. Калькулятор равностороннего треугольника из этого же подраздела решает ту же фигуру по одной стороне, ведь при трёх равных сторонах добавить больше нечего; здесь интересно другое — увидеть, как третья сторона сама приходит к 5, а не услышать об этом готовым. Площадь 10,8253 — та же величина, что всплывает в ромбе со стороной 5 и углом 60, и это не совпадение: такой ромб — это два таких треугольника, и 2 × 10,8253 даст его 21,6506 квадратного сантиметра.

  3. Стороны 7 и 8 под углом 60 градусов

    1. Косинус 60° равен 0,5: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
    2. Площадь: ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
    3. Периметр: 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
    4. Угол A, против стороны 7: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, значит A = 53,41°
    5. Угол B: 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
    6. Наибольший угол равен 66,59°, поэтому страница сообщает об остроугольном треугольнике

    Обычный случай — и тот, который стоит прочитать, если хочется увидеть, как страница ведёт себя, когда ничего особенного нет: две стороны разной длины, угол 60 градусов и три ответа, которые не круглые числа. Третья сторона 7,5498 длиннее 7 и короче 8, и это единственное, что о ней можно сказать заранее: сторона против угла 60 градусов лежит между двумя сторонами, которые его заключают, а два не заданных вами угла делят оставшиеся 120 градусов пропорционально противолежащим сторонам — меньшей стороне 7 достаётся меньшая доля, 53,41 против 66,59. Площадь 24,2487 близка к 24 квадратным сантиметрам, которые страница трапеции получает из другого набора четырёх сторон, но не равна им, и этот почти попавший ответ напоминает: круглые числа берутся из исходных данных, а не из формулы.

  4. Стороны 10 и 10 под углом 120 градусов

    1. Косинус 120° равен −0,5: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
    2. Площадь: ½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
    3. Периметр: 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
    4. Две равные стороны оставляют два равных угла: (180 − 120) ÷ 2 = 30 каждый
    5. Наибольший угол равен 120°, поэтому страница сообщает о тупоугольном треугольнике

    Тупоугольный треугольник — и случай, когда поправочное слагаемое в теореме косинусов не убывает, а растёт: косинус 120 градусов отрицателен, поэтому его вычитание прибавляет к сумме, и третья сторона выходит длиннее любой из заданных — 17,3205 против 10. Это примета угла больше 90 градусов, и именно её читает классификация. Площадь 43,3013 меньше 50 квадратных сантиметров, которые те же две стороны охватили бы под прямым углом, так что расширение угла за 90 покупает длину противоположной стороны ценой площади — та же сделка, которую совершает страница ромба, когда его наклоняют, и причина, по которой страница сообщает тип сама, а не оставляет выводить его из чисел.

Ограничения

Эта страница решает один треугольник по двум сторонам и углу между ними и не решает ни одной из остальных пяти комбинаций трёх известных частей. Дайте ей три стороны — и ей не с чем работать; их принимает калькулятор формулы Герона, который даёт площадь, а углы пришлось бы искать вторым шагом, которого эта страница не делает. Два угла и сторона тоже не помогут, хотя внутренне она считает ровно это. Обратного хода нет: от площади или периметра к породившему их треугольнику пути не существует, а у треугольника с заданной площадью бесконечно много форм. Ответы выводятся в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в каких бы единицах ни вводились исходные числа, а два угла всегда печатаются в градусах, даже если вы набрали радианы или грады: переключатель единиц меняет то, как читается ваш угол, а не то, как записываются ответы. Этот же переключатель — единственная ловушка, которую стоит назвать: 60 радиан это не 60 градусов, и страница посчитает треугольник для той единицы, которая выбрана, вместо того чтобы сообщить, что число для угла слишком велико. Обе стороны должны быть больше нуля, поэтому треугольник со стороной 0 отвергается; а вот угол ровно 0 или 180 градусов принимается и даёт плоский треугольник с углами 0, 180 и 0, который страница относит к тупоугольным — арифметически непротиворечиво и почти никогда не то, что нужно, и страница не предупреждает, что фигура схлопнулась. Треугольник с двумя равными сторонами и углом 0 отвергается, а не считается: третья сторона вышла бы нулевой, и от треугольника не осталось бы ничего. Вид, напечатанный под ответами, определяется по углам в том виде, в каком они напечатаны, то есть округлёнными до двух знаков, поэтому треугольник с наибольшим углом 89,999 градуса будет назван прямоугольным — это честное прочтение чисел на экране и напоминание, что классификация точна ровно настолько, насколько точен вывод. Страница не проверяет, описывают ли ваши три числа треугольник, ничем, кроме диапазона угла, поскольку любые две положительные стороны и любой угол в пределах диапазона всегда его описывают. Четыре знака у длин и два у углов — это ширина вывода, общая для всего подраздела, а не заявление о точности. Ничего здесь не учитывает отходы и потери при раскрое.

Частые вопросы

Как найти третью сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними?
Теорема косинусов даёт третью сторону напрямую: она равна квадратному корню из a² + b² − 2ab × cos C, где C — угол между двумя известными сторонами. Для сторон 3 и 4 с прямым углом между ними косинус равен 0 и ответ равен √25 = 5. При 60 градусах косинус равен 0,5, поправка равна 12, и третья сторона равна √13, то есть примерно 3,6056 — заметно короче при тех же двух сторонах.
Как страница решает, остроугольный треугольник, прямоугольный или тупоугольный?
По наибольшему из трёх углов. Меньше 90 градусов — треугольник остроугольный, ровно 90 — прямоугольный, больше 90 — тупоугольный. Наибольший угол всегда лежит против наибольшей стороны, поэтому ту же проверку можно сделать по сторонам: возведите в квадрат две меньшие и сравните их сумму с квадратом наибольшей — равенство означает прямоугольный, больше — остроугольный, меньше — тупоугольный. Стороны 5, 5 и 8,6603 дают угол 120 градусов и тупоугольный треугольник.
Почему двух сторон и угла между ними достаточно, чтобы определить весь треугольник?
Потому что две стороны могут расходиться, как ножки циркуля, а угол как раз и задаёт, насколько далеко они разойдутся. Как только угол задан, между двумя свободными концами возможно только одно расстояние, поэтому третья сторона определена, а с тремя сторонами определены и углы. Вот почему двух сторон мало: 3 и 4 могут заключать от почти 0 до 6 квадратных сантиметров, а больше всего — при прямом угле; и почему трёх углов тоже мало: они задают форму, но не размер.
Какая формула площади здесь используется?
Половина произведения двух известных сторон на синус угла между ними: A = ½ × a × b × sin C. Это обычная формула «половина основания на высоту» с заменённой высотой, потому что высота, опущенная на одну из сторон, равна другой стороне, умноженной на синус заключённого угла. Стороны 3 и 4 при прямом угле дают ½ × 12 × 1 = 6 квадратных сантиметров; те же две стороны при 60 градусах дают 5,1962, поскольку sin 60 равен 0,866.
Что произойдёт, если угол равен 0 или 180 градусам?
Треугольник вырождается в отрезок, и страница всё равно отвечает: при угле 0 между сторонами 3 и 4 третья сторона равна 1, один угол равен 180 градусам, а два других — 0. Классификация возвращается как тупоугольная, что согласуется с правилом «всё, что больше 90, — тупоугольное», хотя расплющенный треугольник — это вырожденный случай, а не настоящая фигура. Единственная комбинация, которая отвергается сразу, — две равные стороны с углом 0, где третья сторона была бы нулевой и не осталось бы ничего.
Можно ли пользоваться этой страницей для прямоугольного треугольника?
Да, и страница вам об этом скажет: введите 3 и 4 с углом 90, и вид вернётся прямоугольным. Арифметика аккуратно вырождается, потому что косинус 90 градусов равен 0 и теорема косинусов сворачивается в a² + b² = c². Если все ваши треугольники прямоугольные, калькулятор теоремы Пифагора в этом подразделе принимает две стороны напрямую и обходится без тригонометрии, — но эта страница нужна, когда вы не уверены, что угол действительно прямой.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор площади треугольникаПоловина произведения основания на высоту.Калькулятор формулы ГеронаПлощадь треугольника по трём сторонам, по формуле Герона.Калькулятор теоремы ПифагораНаходит любую сторону прямоугольного треугольника по двум другим.Равносторонний треугольникПлощадь, высота и периметр равностороннего треугольника.