Калькулятор площади треугольника
Результат
Площадь
Калькулятор площади треугольника берёт основание и перпендикулярную высоту над ним и возвращает, какую поверхность треугольник занимает, в квадратных сантиметрах. Формула здесь одна из самых коротких в математике — основание умножить на высоту и разделить пополам, — и понять стоит именно деление пополам, потому что всё остальное на этой странице из него и следует. Возьмите любой треугольник, сделайте его копию, поверните копию на пол-оборота и приложите её к исходному по совпадающей стороне — получится параллелограмм: то же основание, та же высота, вдвое большая площадь. Вот почему у треугольника ровно половина, а не целое, и это верно для любого треугольника, а не только для аккуратных. Прямоугольный треугольник — самый наглядный случай: копия приставляется встык, и параллелограмм превращается в прямоугольник. Но само рассуждение не требует, чтобы в фигуре был прямой угол, и формула тоже не требует. Слово, с которым нужно быть внимательным, — высота. Это перпендикулярное расстояние от основания до противоположной вершины, измеренное под прямым углом к основанию, а не длина какой-либо наклонной стороны. Эти два числа совпадают только тогда, когда треугольник оказался прямоугольным, и подстановка наклонной стороны вместо высоты — самый частый способ получить ответ, который выглядит правдоподобно и при этом неверен. Калькулятор, который спрашивает перпендикулярную высоту, просит вас сделать это измерение до того, как вы что-то наберёте, так что стоит заранее убедиться, какое из двух чисел у вас в руках. Формула площади треугольника в этом виде работает и для фигуры, у которой ни одна сторона не лежит горизонтально: основанием можно назвать любую из трёх сторон, и площадь от этого не изменится. Оба поля обязательны, и у каждого свой собственный переключатель единиц: выбрать сантиметры в одном и дюймы в другом — законно, каждое число переведётся само, и несогласованности единиц не возникнет. Ответ при этом всегда печатается в квадратных сантиметрах, что бы ни стояло в переключателях. Есть и обратная задача — по площади и основанию найти высоту, — ею занимается отдельная страница; а если у вас три стороны и ни одной высоты, площадь считается по формуле Герона, и это тоже отдельная страница.
Площадь треугольника по основанию и перпендикулярной высоте
| Основание (cm) | Высота (cm) | Площадь (cm²) |
|---|---|---|
| 10 | 6 | 30 |
| 7 | 4 | 14 |
| 5 | 8 | 20 |
| 12 | 9 | 54 |
| 4 | 4 | 8 |
| 6 | 2.5 | 7.5 |
| 1 | 1 | 0.5 |
| 0 | 5 | 0 |
Восемь треугольников и три столбца, потому что формула на странице одна и ответ один. Первая строка — та пара, с которой страница открывается, и она же объясняет формулу: сравните её со страницей параллелограмма, где основание 10 и высота 6 дают 60, а не 30. Ровно вдвое каждый раз — вот и всё деление пополам. Третья строка — та, которую стоит сравнить со страницей трапеции: основание 5 при высоте 8 даёт 20, и трапеция с верхним основанием 0, нижним 10 и высотой 4 тоже даёт 20, потому что такая трапеция и есть треугольник. Пятая строка — равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого основание и высота случайно совпали, а площадь равна половине этого квадрата: 4 и 4 дают 8. Шестая — высота с десятичной дробью, где деление 15 пополам даёт ровно 7,5 и ничего не теряется на округлении. Седьмая — единичный треугольник, основание 1 при высоте 1: его площадь 0,5, и это стоит запомнить как самый маленький осмысленный ответ. Последняя строка — основание 0 при высоте 5: от треугольника остаётся отрезок, и он не покрывает ничего, но это настоящий ответ, а не пропущенный. Каждое значение пересчитывается из своих двух чисел при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака — те же четыре знака, что и в панели результатов. Числа в столбцах печатаются так, как их выдаёт расчёт, поэтому разделитель там — точка, а не запятая (7.5 — это то же число, что 7,5): столбцы берутся из вычисления, а этот текст написан по-русски.
Формула
A = b × h ÷ 2
- Основание
- Любая из трёх сторон, в сантиметрах. Какую выбрать — неважно, лишь бы высота измерялась к той же самой стороне
- Высота
- Перпендикулярное расстояние от основания до противоположной вершины, в сантиметрах — измеренное под прямым углом к основанию и никогда вдоль наклонной стороны. Нужна именно высота, а не длина боковой стороны: у наклонного треугольника это два разных числа, и сторона всегда длиннее
- Площадь
- Какую поверхность треугольник ограничивает, в квадратных сантиметрах. Половина того, что занял бы параллелограмм с тем же основанием и той же высотой
- Два
- Делитель и вся причина, по которой формула не сводится к произведению основания на высоту. Треугольник — это половина параллелограмма, полученного поворотом его копии на пол-оборота
- b × h
- Площадь того самого параллелограмма: сначала произведение, деление пополам потом. Именно такой порядок сохраняет последний знак верным, когда числа не целые
- Четыре знака после запятой
- Ширина записи ответа, а не заявление о точности. Деление пополам точного произведения может дать настоящую дробь: основание 7 при высоте 5 даёт 17,5, а основание в полсантиметра — четверть
- Квадратные сантиметры
- Единица ответа независимо от того, что выбрано в переключателях. Площадь всегда в квадратных единицах, поэтому основание и высота, набранные в дюймах, вернутся числом в квадратных сантиметрах, которое придётся разделить на 6,4516, чтобы прочитать его в квадратных дюймах
Эта страница отвечает на вопрос о площади для любой фигуры, которая является треугольником, из чего бы она ни была сделана и как бы ни была нарисована. Земля — самое старое применение: участок, сходящийся в точку, это треугольник, а участок с четырьмя углами — два треугольника, и именно поэтому землемеры считают так с тех пор, как появились межевые записи. Кровля, облицовка и остекление — применения современные, и все они тянут за собой счёт: щипец, треугольное стекло, клин листового металла, каждое по цене за квадратный метр, так что площадь должна быть верной до того, как заказ уйдёт. Ткань и бумага, разрезанные по диагонали, — тот же расчёт с другой единицей, как и парус лодки или треугольная грань пирамиды. Это ещё и вторая половина великого множества других работ. Любой многоугольник разбивается на треугольники, и как только вы умеете считать один, остальное — арифметика; поэтому эта формула встречается внутри калькуляторов четырёхугольников, призм и кровель, и поэтому стоит быть уверенным в ней самой по себе. И есть школьная версия: прямоугольные треугольники, равнобедренные, фигуры на клетчатой бумаге, где квадратики можно посчитать и проверить ответ руками. Такую проверку стоит сделать один раз, потому что именно она превращает деление пополам из правила, которое надо помнить, в то, что видно.
Разобранные примеры
Основание 10 и высота 6
- Умножаем основание на высоту: 10 × 6 = 60
- Делим пополам: 60 ÷ 2 = 30
Та пара, с которой страница открывается, и та строка, которая показывает родство с параллелограммом: введите те же основание и высоту для параллелограмма — получите 60, ровно вдвое больше. Если с этой страницы запомнить одно число, пусть это будет оно: быстрее всего именно так проверить, правдоподобен ли предложенный вам ответ для треугольника.
Основание 7 и высота 4
- Умножаем основание на высоту: 7 × 4 = 28
- Делим пополам: 28 ÷ 2 = 14
Обычный случай: нечётное основание, чётная высота и ответ целым числом. Ничего особенного в этой фигуре нет, и мерить её под удобным углом не пришлось. Именно так выглядят большинство настоящих треугольников — неровный участок, торцевая стена под скатом, кусок картона, отрезанный наискось, — и формуле всё равно, что стороны у него разные.
Основание 5 и высота 8
- Умножаем основание на высоту: 5 × 8 = 40
- Делим пополам: 40 ÷ 2 = 20
Строка для сравнения со страницей трапеции. Задайте трапеции верхнее основание 0, нижнее 10 и высоту 4 — получите 20, то же самое число, ведь трапеция с одним основанием, равным нулю, и есть треугольник. Обе страницы печатают одну и ту же величину для одной и той же фигуры, ради чего они и существуют вместе.
Основание 12,5 и высота 8
- Умножаем основание на высоту: 12,5 × 8 = 100
- Делим пополам: 100 ÷ 2 = 50
Измерение с десятичной дробью — обычно именно такое и даёт рулетка. Умножение происходит до деления, а деление получается точным, поэтому погрешность округления не закрадывается вовсе: ответ ровно 50, а не 50,0000 с хвостиком.
Основание 20 и высота 0
- Умножаем основание на высоту: 20 × 0 = 0
- Делим пополам: 0 ÷ 2 = 0
Высота, равная нулю, означает, что треугольник сплющился на собственное основание и стал отрезком. Ноль — допустимое входное значение, так что это настоящий ответ, а не отсутствующий: страница отличает его от пустого поля, при котором результата нет вообще, потому что считать не из чего.
Ограничения
Эта страница принимает основание и перпендикулярную высоту и ничего больше. По трём сторонам треугольника она не работает: это другой расчёт, со своей формулой и своей страницей. Периметра, углов и длин сторон она не даёт, а высота — не наклонная сторона: если единственное измерение, которое у вас есть, идёт вдоль ребра треугольника, это ребро сначала придётся превратить в перпендикулярную высоту, иначе толку от него здесь не будет. Ответ всегда в квадратных сантиметрах, что бы ни стояло в переключателе, а поскольку это площадь, перевод возводится в квадрат: основание и высота, набранные в дюймах, вернутся в квадратных сантиметрах, и чтобы прочитать это в квадратных дюймах, делить надо примерно на 6,45, а не на 2,54. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявление о точности, и половина точного произведения действительно может оказаться дробью: основание 7 при высоте 5 даёт 17,5. Ноль принимается на любом из двух входов и даёт ответ ноль, и это верно для вырожденного треугольника — это не то же самое, что оставить поля пустыми. Ничего здесь не обрабатывает изогнутую сторону, треугольник, нарисованный на сфере, или толщину материала: это только плоская двумерная фигура.
Частые вопросы
- Какая сторона считается основанием?
- Любая из трёх — важно лишь то, чтобы высота измерялась к выбранной вами стороне. У треугольника три возможные пары «основание и высота», и все три дают одну и ту же площадь; это полезно проверить один раз: возьмите треугольник, посчитайте площадь от каждого угла по очереди и убедитесь, что три ответа совпали. Странице всё равно, какую пару вы выбрали.
- Почему ответ равен половине произведения основания на высоту?
- Потому что две копии треугольника складываются в параллелограмм. Возьмите треугольник, сделайте копию, поверните её на пол-оборота и приложите к исходному по совпадающей стороне — у получившейся фигуры то же основание, та же высота и ровно вдвое большая площадь. Треугольник составляет её половину. На этом рассуждение заканчивается, и оно годится для любого треугольника, а не только для аккуратных.
- Можно ли взять в качестве высоты наклонную сторону?
- Нет, и именно эту ошибку страница и призвана предотвратить. Высота — это перпендикулярное расстояние от основания до противоположной вершины, измеренное под прямым углом к основанию. Перпендикулярная высота всегда короче наклонной стороны, как только треугольник хоть немного наклонён, поэтому подстановка стороны завышает площадь. Совпадают эти два числа только в прямоугольном треугольнике, где одна из сторон и так стоит под прямым углом к основанию. Вот почему площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 равна 6, а не 12: за высоту там годится сторона 4, и она перпендикулярна стороне 3.
- А где версия по трём сторонам?
- На отдельной странице. Площадь треугольника по трём длинам сторон считается по другой формуле, где вместо деления пополам стоит квадратный корень, и это отдельный инструмент. Эта страница намеренно делает одно дело — тот же выбор, что и у страниц круга и сферы в этом же подразделе: страница, отвечающая на один вопрос, удобнее страницы, которая сначала спрашивает, какой из нескольких вопросов вы имели в виду.
- Важны ли единицы измерения?
- Переключатель единиц меняет то, что вы набираете, а не то, что получаете. Ответ всегда в квадратных сантиметрах, и поскольку это площадь, перевод возводится в квадрат: треугольник, измеренный в дюймах, вернётся числом в квадратных сантиметрах, и чтобы прочитать его в квадратных дюймах, делить надо на 6,4516. Набирать футы и читать ответ как квадратные футы — вот за чем стоит следить.
- Что, если одно из чисел равно нулю?
- Ответ будет нулём, и это правильно: треугольник без высоты расплющен на собственное основание и не покрывает ничего. Ноль считается настоящим значением, а не пустым полем, поэтому страница печатает результат. Оставить поле пустым — другое дело: работать не с чем, и страница не показывает результата вовсе.
Источники
- Triangle Area — the half-base-times-height formula this page computes, with the parallelogram argument that shows why the halving is there — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — the shape two copies of a triangle make, whose area is exactly double, and the reason the divisor in the formula is two — Wolfram MathWorld (United States)