Калькулятор высоты треугольника
Результат
Высота
Калькулятор высоты треугольника берёт площадь треугольника и то основание, против которого она измерялась, и возвращает перпендикулярную высоту: на сколько она поднимается от этого основания до противоположной вершины, в сантиметрах. Это формула площади, прочитанная в обратную сторону. Страница площади умножает основание на высоту и делит результат пополам; эта страница удваивает площадь и делит на основание — то же соотношение, только неизвестное перенесено на другую сторону. О самом треугольнике знать ничего не нужно: ни его углов, ни двух других сторон, ни периметра, потому что площадь и основание вдвоём уже пришпиливают высоту к единственному числу. На этом стоит задержаться, потому что именно здесь люди удивляются. У треугольника с площадью 30 квадратных сантиметров и основанием 10 сантиметров высота равна 6, и никакой другой она быть не может, как бы криво фигура ни выглядела. Вся свобода треугольника — в том, где вдоль основания сидит верхняя вершина, а не в том, как высоко она поднята. Единственное, за чем нужно следить, — то же самое, о чём предупреждает страница площади, только с другой стороны: основание здесь — это та сторона, против которой измерялась высота, а перпендикулярная высота обязана падать на неё под прямым углом. Подставьте в качестве основания наклонную сторону — и ответ выйдет чуть меньше настоящего, причём ничто на странице не намекнёт, что что-то пошло не так. Если вы не уверены, какое из измерений у вас в руках, сначала разберитесь с этим на странице площади: она спрашивает пару явно. Формула высоты треугольника через площадь — это h = 2 × A ÷ b, и она работает по всем трём сторонам по очереди: какую из них вы назовёте основанием, против той и получите перпендикулярную высоту.
Перпендикулярная высота треугольника по площади и основанию
| Площадь (cm²) | Основание (cm) | Высота (cm) |
|---|---|---|
| 30 | 10 | 6 |
| 20 | 5 | 8 |
| 7.5 | 6 | 2.5 |
| 12 | 8 | 3 |
| 8 | 4 | 4 |
| 9 | 9 | 2 |
| 21 | 7 | 6 |
| 0 | 5 | 0 |
Восемь треугольников и три столбца, потому что формула на странице одна и ответ один. Первые три строки нарочно общие со страницей площади, только те же числа прочитаны в обратную сторону: площадь 30 при основании 10 даёт 6, площадь 20 при основании 5 даёт 8, а площадь 7,5 при основании 6 даёт 2,5 — и страница площади печатает 30, 20 и 7,5 для этих же трёх треугольников, когда вы подаёте ей основание и высоту. Читать две таблицы рядом — самый быстрый способ увидеть, что формула здесь одна, а не две. Пятая строка — равнобедренный прямоугольный треугольник, где площадь 8 при основании 4 возвращает высоту 4: тут основание — один катет, а высота — другой, поэтому они и равны. Это не та же линия, что высота к гипотенузе, которая равна 4 ÷ √2 = 2,8284 и падает на середину гипотенузы. Шестая строка — самопроверочная: площадь 9 при основании 9 всегда возвращает 2, каким бы ни было число, потому что удвоить его и разделить на него же можно получить только 2. В седьмой строке основание нечётное, и ответ всё равно выходит ровно 6 — в этом и смысл удвоения площади до деления: деление оказывается последним шагом, поэтому округление одно и происходит оно на выходе. Последняя строка — площадь 0: треугольник схлопнулся на собственное основание, и высота равна нулю, но это настоящий ответ, а не пропущенный. Каждое значение пересчитывается из своих двух чисел при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака — те же четыре знака, что и в панели результатов. Числа в столбцах печатаются так, как их выдаёт расчёт, поэтому разделитель там — точка, а не запятая (2.5 — это то же число, что 2,5): столбцы берутся из вычисления, а этот текст написан по-русски.
Формула
h = 2 × A ÷ b
- Площадь
- Какую поверхность треугольник покрывает, в квадратных сантиметрах. Это то самое число, которое выдаёт страница площади и которое здесь берётся за отправную точку
- Основание
- Сторона, против которой измеряется высота, в сантиметрах. Годится любая из трёх — при условии, что высота, которую вы ищете, перпендикулярна именно ей
- Высота
- То, что эта страница и вычисляет: перпендикулярное расстояние от основания до противоположной вершины, в сантиметрах. Не длина какой-либо наклонной стороны
- Два
- Откуда берётся удвоение. Формула площади делит произведение основания на высоту пополам, поэтому чтобы отменить это деление, площадь умножают на два до деления на основание
- 2A ÷ b
- Весь расчёт целиком. Умножить площадь на два первым действием, а не делить пополам основание, — это то, что сохраняет последний знак верным, когда числа не целые
- Четыре знака после запятой
- Ширина записи ответа. Высота и вправду может оказаться дробью: площадь 7,5 при основании 6 даёт ровно 2,5, а площадь 1 при основании 3 даёт две трети
- Сантиметры
- Единица ответа независимо от того, что выбрано в переключателе. Это длина, поэтому — в отличие от страницы площади — перевод не возводится в квадрат: основание, набранное в дюймах, всё равно вернёт высоту в сантиметрах, и чтобы прочитать её в дюймах, делить надо на 2,54
Очевидное применение — то, где площадь уже известна, а нужен размер. Земля — классический случай: площадь участка стоит в документе или в записях съёмки, основание идёт вдоль дороги или вдоль забора, а вопрос в том, на сколько участок уходит вглубь в самой глубокой своей точке. Это ровно такой расчёт, и именно поэтому эту формулу столетиями преподают рядом с формулой площади. Кровля и столярное дело добавляют второе семейство применений, где площадь треугольника уже посчитана для сметы, а высота нужна как размер для раскроя или разметки: подъём щипца от его пролёта, глубина сужающейся панели, расстояние от хорды до дальней стороны дуги. Чертёж и CAD дают третье: треугольник на чертеже с подписанной площадью, у которого нужно восстановить недостающую высоту. И есть школьная версия — та, на которой связь между двумя формулами щёлкает. Возьмите любой треугольник, у которого знаете площадь и основание, посчитайте высоту, а потом сверьте её с рисунком: полученное число окажется тем, которое и показывает картинка, и в этом весь смысл пары «эта страница и страница площади». Обе стороны одной формулы стоит хотя бы раз подержать перед глазами, потому что формула забывается куда труднее, когда вы уже прокрутили её в обратную сторону.
Разобранные примеры
Площадь 30 и основание 10
- Удваиваем площадь: 2 × 30 = 60
- Делим на основание: 60 ÷ 10 = 6
Та пара, с которой страница открывается, и та строка, которая связывает её со страницей площади: основание 10 при высоте 6 — ровно то, что даёт там площадь 30. Прогоните одну страницу, потом другую с подходящими числами — и вернётесь туда, откуда начали; это самая дешёвая проверка того, что формула понята.
Площадь 20 и основание 5
- Удваиваем площадь: 2 × 20 = 40
- Делим на основание: 40 ÷ 5 = 8
Тот же треугольник, которым страница площади иллюстрирует свою мысль о трапециях: основание 5 при высоте 8 даёт 20, и трапеция с верхним основанием 0, нижним 10 и высотой 4 тоже даёт 20. Ничего особенного здесь нет — невзрачная на вид пара входных чисел и ответ целым числом.
Площадь 7,5 и основание 6
- Удваиваем площадь: 2 × 7,5 = 15
- Делим на основание: 15 ÷ 6 = 2,5
Площадь с половиной — обычно именно так и выглядит результат деления пополам, — и чётное основание. Удвоение идёт первым и превращает половину в целое число ещё до деления, поэтому ответ ровно 2,5, а не что-то округлённое до такого вида.
Площадь 0 и основание 5
- Удваиваем площадь: 2 × 0 = 0
- Делим на основание: 0 ÷ 5 = 0
Площадь, равная нулю, означает, что треугольник сплющился на собственное основание и высоты у него не осталось. Ноль — это настоящее входное значение, а не пустое поле, поэтому и ответ настоящий; и он действительно отличается от случая, когда нулю равно основание: там страница отказывается считать, потому что делить не на что.
Ограничения
Эта страница принимает площадь и основание и ничего больше. По трём сторонам треугольника она не работает: это другая дорога к той же высоте, и площадь на ней придётся сначала посчитать. Углов и длин сторон она не даёт, а основание здесь — та сторона, против которой измеряется высота, а не любая из двух оставшихся: подставьте наклонную сторону, и высота вернётся чуть меньше настоящей, и ничто на странице об этом не предупредит. Основание должно быть больше нуля: площадь 0 принимается и возвращает высоту 0, а вот у основания 0 ответа нет вовсе — не бесконечного, а никакого, и страница так и говорит вместо того, чтобы напечатать очень большое число. Ответ всегда в сантиметрах, что бы ни стояло в переключателе, а поскольку высота — это длина, перевод линейный: основание, набранное в дюймах, вернёт сантиметры, и делить надо на 2,54, а не на 6,4516. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявление о точности, и высота и вправду может оказаться дробью: площадь 1 при основании 3 даёт две трети, записанные четырьмя знаками. Ничего здесь не обрабатывает изогнутую сторону, треугольник, нарисованный на сфере, или фигуру, площадь которой измерялась в другой плоскости, нежели основание.
Частые вопросы
- Какая сторона здесь основание?
- Та, к которой высота перпендикулярна, — а поскольку высоту задаёте вы, это та сторона, против которой вы измеряли площадь. Если площадь пришла из съёмки или с чертежа, основание — та сторона, от которой её и мерили на этом чертеже. Перепутать эту пару — единственный способ получить от этой страницы неверный ответ, когда всё с виду в порядке.
- Почему площадь удваивается, а не основание делится пополам?
- И то и другое даёт один ответ, и в вычислении оба одинаково точны: удвоение и деление пополам — точные операции, так что любой из путей выполняет одно деление и округляет один раз, в конце. Страница удваивает потому, что так записана формула: формула площади делит произведение основания на высоту пополам, и умножение площади на два эту половину и отменяет. Заодно деление остаётся последним шагом, поэтому округлённое значение никуда дальше не подставляется.
- Может ли высота выйти длиннее основания?
- Да, и ничего страшного в этом нет. У высокого узкого треугольника площадь, удвоенная и поделённая на короткое основание, даёт большую высоту. Высота и основание — два независимых направления, и ни одно из них не ограничивает другое: их связывает только площадь, а формула такова, какова она есть.
- А если основание равно нулю?
- Страница отказывается отвечать. Основание 0 означает деление на ноль, и честное описание такого результата — высоты нет, а не высота огромна. Нулевая площадь — совсем другое дело, и она принимается: у треугольника без площади высота действительно равна нулю, он расплющен на собственное основание.
- А где версия по трём сторонам?
- На отдельной странице. Площадь треугольника по трём длинам сторон считается по другой формуле, с квадратным корнем, и, получив площадь, вы возвращаетесь сюда с любой из трёх сторон в роли основания. Эти две страницы и задуманы как последовательность, и страница высоты не пытается делать работу страницы площади.
- Важны ли единицы измерения?
- Переключатель меняет то, что вы набираете, а не то, что получаете. Ответ всегда в сантиметрах. В отличие от страницы площади перевод здесь не возводится в квадрат, потому что высота — это длина: чтобы прочитать ответ в сантиметрах как дюймы, делите на 2,54. Набрать основание в дюймах и прочитать ответ как дюймы — вот за чем стоит следить.
Источники
- Triangle Area — the formula this page runs backwards, and the parallelogram argument that shows why the factor of two is there in the first place — Wolfram MathWorld (United States)
- Altitude — the perpendicular from a vertex to the opposite side, which is exactly the quantity this page returns, and why a triangle has three of them — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area and its altitudes can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)