Калькулятор формулы Герона

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

Сторона a

Первая из трёх длин сторон, в сантиметрах. Три поля взаимозаменяемы: от того, какую сторону вы назовёте a, а какую b, ответ не меняется, — так что вводите их в том порядке, в каком измеряли

Сторона b

Вторая длина стороны, в сантиметрах. Вместе с двумя другими она должна удовлетворять неравенству треугольника: каждая сторона обязана быть короче суммы двух других, иначе эти три длины вообще не сомкнутся в треугольник

Сторона c

Третья длина стороны, в сантиметрах. Самую длинную сторону стоит ввести в любое поле и сразу посмотреть на полупериметр: он должен быть больше неё, и одного этого сравнения хватает, чтобы проверить три длины быстрее, чем пересчитывать три суммы

Полупериметр

Половина расстояния по кругу, в сантиметрах: три стороны сложены и поделены на два. Он печатается как ответ, а не остаётся рабочим шагом, потому что это величина, вокруг которой названа формула, и потому что он же служит проверкой того, что три стороны вообще могут сойтись

Площадь

Место, которое треугольник занимает, в квадратных сантиметрах: корень из полупериметра, умноженного на три разности между ним и каждой из сторон. Это единственный ответ, которому нужны все три входа: периметр их только складывает, а полупериметр только делит сумму пополам

Периметр

Расстояние по всему кругу, в сантиметрах: три стороны сложены. Он здесь потому, что эти две величины легко перепутать, когда одна вложена в другую как шаг, и потому что именно по периметру покупают окантовку или погонаж

√

Квадратный корень, взятый от произведения четырёх множителей. Почти любой треугольник даёт иррациональную площадь, так что тройка сторон, дающая целое число — например 3, 4, 5 с ответом 6, — это исключение, которое стоит заметить, а не правило

Беритесь за эту страницу всякий раз, когда измерили три стороны, а высоту — нет; на практике так бывает чаще всего. Земля — классический случай: участок с прямыми границами обмеряют, откладывая стороны цепью, и площадь получается из них напрямую — разбейте неправильный участок на треугольники и прогоните каждый через эту страницу. Листовой материал — второй случай: треугольная косынка, угловая полка или парус задаются тремя кромками, и именно площадь говорит, какой лист нужен и сколько он прибавит веса. В учёбе это способ получить площадь, когда высота неудобна или вообще вышла бы за пределы фигуры, — а так бывает у любого тупоугольного треугольника: перпендикуляр из самого широкого угла падает за противоположную сторону, и вдоль материала его не отмерить. Эта же страница — честный путь, когда треугольник задан тремя длинами, пришедшими откуда-то ещё: из экспорта CAD, из раскройного списка, с чертежа, размеченного по кромкам, — потому что тут нечего пересчитывать и нечего домеривать. За двумя вещами стоит следить. Первое: три стороны должны смыкаться — если самая длинная длиннее суммы двух других, треугольника не существует, и страница говорит об этом, а не возвращает число, потому что арифметике потребовался бы корень из отрицательного. Второе: настоящие измерения никогда не удовлетворяют неравенству в точности. Участок, стороны которого записаны как 10, 4 и 6 метров, треугольником быть не может, но тот же участок, измеренный до сантиметра, даст что-то вроде 10,01, 3,99 и 6,00, и площадь выйдет крошечной — и это арифметика говорит вам, что три точки стоят почти на одной прямой, а не то, что формула дала сбой.

1. Стороны 3, 4 и 5

   1. Периметр: 3 + 4 + 5 = 12
   2. Полупериметр: 12 ÷ 2 = 6
   3. Три разности: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
   4. Площадь: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

   Треугольник 3-4-5 — тот самый, которым размечают любой прямой угол в строительстве, и самый наглядный случай, когда ответ выходит целым числом. Это ещё и сверка между этой страницей и страницей площади треугольника: основание 3 при высоте 4 даёт там 6, а три стороны дают 6 здесь. Один и тот же треугольник, два набора входных данных, одна площадь. То, что корень извлёкся нацело, — свойство именно этой тройки, а не формулы: почти любая другая тройка оставляет после себя иррациональное число.

2. Стороны 6, 5 и 5

   1. Периметр: 6 + 5 + 5 = 16
   2. Полупериметр: 16 ÷ 2 = 8
   3. Три разности: 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
   4. Площадь: √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

   Равнобедренный треугольник с основанием 6 и двумя сторонами по 5 — ровно то, с чем открывается соседняя страница равнобедренного треугольника, и она возвращает те же 12 и тот же периметр 16. Это вторая из двух сверок в этой подборке: страница равнобедренного треугольника приходит к своей площади от основания и боковой стороны, эта — от трёх сторон, и обе сходятся до последней цифры. Обратите внимание, что полупериметр 8 заметно больше самой длинной стороны 6 — именно так и проверяют, что эти три длины вообще замыкаются.

3. Стороны 6, 6 и 6

   1. Периметр: 6 + 6 + 6 = 18
   2. Полупериметр: 18 ÷ 2 = 9
   3. Три разности: 9 − 6 = 3, и так трижды
   4. Площадь: √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15,588457…, что округляется до 15,5885

   Равносторонний случай — и третий путь к числу 15,5885: страница равностороннего треугольника получает его из одной стороны 6, страница равнобедренного — из основания 6 и боковых сторон по 6, а эта страница — из трёх сторон по 6. Три страницы, три способа описать один и тот же треугольник, одна площадь. √243 — это 9√3, и именно отсюда корень из трёх, который страница равностороннего треугольника носит в своей константе, всплывает здесь.

4. Стороны 5, 12 и 13

   1. Периметр: 5 + 12 + 13 = 30
   2. Полупериметр: 30 ÷ 2 = 15
   3. Три разности: 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
   4. Площадь: √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

   Строка, которая бросается в глаза: площадь 30 и периметр 30. Это не одна и та же величина и даже не одни и те же единицы — одна измеряется в квадратных сантиметрах, другая в сантиметрах, — просто у этого конкретного треугольника дважды получилось одно и то же число. 5-12-13 — пифагорова тройка, то есть треугольник прямоугольный, а прямоугольные треугольники чаще всего и попадают в целые числа, потому что квадраты их сторон тоже целые.

5. Стороны 9, 10 и 17

   1. Периметр: 9 + 10 + 17 = 36
   2. Полупериметр: 36 ÷ 2 = 18
   3. Три разности: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
   4. Площадь: √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36

   Вторая строка, где площадь и периметр печатают одно и то же число, и на этот раз треугольник не прямоугольный: 9 в квадрате плюс 10 в квадрате даёт 181, а 17 в квадрате — 289. Значит, совпадение 36 и 36 идёт не от прямого угла, и именно поэтому на него стоит указать. Две такие строки в одной таблице — ровно то, что заставляет первую выглядеть правилом; вторая и служит доказательством, что это не правило.

6. Стороны 1, 1 и 2

   1. Периметр: 1 + 1 + 2 = 4
   2. Полупериметр: 4 ÷ 2 = 2
   3. Три разности: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
   4. Площадь: √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

   Точный граничный случай, и он пропускается, а не отвергается: 1 плюс 1 равно ровно 2, так что треугольник сплющился в прямую линию, где две короткие стороны лежат встык. Площадь здесь действительно ноль, а периметр действительно 4, так что ответ «ноль» тут верен, а не сигнализирует о сбое. Сдвиньте третью сторону до 2,1 — и страница откажется считать, потому что тогда две короткие стороны не смогут дотянуться друг до друга и никакого треугольника не существует.

Три числа должны образовывать треугольник: каждая сторона короче суммы двух других. Если это не так, страница останавливается и говорит об этом, а не возвращает число, потому что формуле потребовался бы корень из отрицательного. Точный случай, когда самая длинная сторона равна сумме двух других, пропускается и даёт площадь 0 — честный ответ для треугольника, расплющившегося в отрезок. Ответы всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, что бы ни стояло в переключателе единиц, так что стороны, набранные в дюймах, вернутся сантиметровым ответом. Четыре знака после запятой — это ширина вывода, а не заявление о точности, и при трёх измеренных сторонах погрешность каждой из них переносится в площадь: у треугольника, измеренного до миллиметра, площадь запросто окажется неопределённой уже в третьем знаке, так что последнюю напечатанную цифру не стоит читать как что-то значащую. Формула Герона к тому же плохая компания для очень тонких треугольников: когда одна сторона почти равна сумме двух других, среди четырёх множителей оказывается совсем маленький, и квадратный корень усиливает всё округление, которое уже было в измерениях, так что площадь узкой полоски стоит считать приблизительной, сколько бы знаков ни было напечатано. Страница двумерная, поля для толщины физического треугольника у неё нет, поэтому объём призмы или вес пластины она не даст.

Зачем пользоваться этим вместо половины основания на высоту?

Потому что высоту трудно измерить, а три стороны — легко. Высота — это перпендикуляр из угла на противоположную сторону, так что для её измерения нужно подпереть треугольник угольником, а на тупоугольном треугольнике она вообще падает вне фигуры. Лента, протянутая вдоль каждой стороны, такой заботы не требует, и формула Герона превращает эти три отсчёта в площадь, нигде не используя высоту. Если основание и высота у вас уже есть, идите на страницу площади: там арифметика короче.

Что такое полупериметр и почему он показан?

Это половина периметра: три стороны сложены и поделены на два. Именно вокруг него написана формула Герона — площадь равна корню из s, умноженного на s минус a, на s минус b и на s минус c. Он печатается, а не остаётся рабочим шагом, потому что заодно служит проверкой. Если полупериметр не больше самой длинной стороны, три длины треугольником быть не могут, и одно это сравнение избавляет от возни с тремя разностями.

Что будет, если три стороны не образуют треугольник?

Страница останавливается и говорит вам об этом, а не возвращает число. Три длины сомкнутся только тогда, когда каждая короче суммы двух других; когда это нарушено, один из четырёх множителей под корнем выходит отрицательным, и действительной площади нет. Сообщение называет самую длинную сторону и то, что дают в сумме две другие, — так видно, насколько велик разброс измерений. Пропускается ровно один случай — точная граница, когда самая длинная сторона равна сумме двух других: такой треугольник действительно расплющился в отрезок, и его нулевая площадь — настоящий ответ.

Откуда взялось название?

От Герона Александрийского, который записал формулу в первом веке, — это делает её одним из самых старых результатов, до сих пор применяемых на практике. Написана она была для землемерия, где три стороны участка — ровно то, что даёт мерная цепь, а высоты нет. В англоязычных источниках того же человека называют и Героном, и Героем — отсюда и второе название формулы.

На некоторых треугольниках площадь и периметр выходят одним числом. Это правило?

Нет, и таблица показывает почему. У треугольника 5-12-13 площадь равна 30 и периметр равен 30, у треугольника 9-10-17 — 36 и 36, но это разные величины в разных единицах, квадратные сантиметры против сантиметров, и равенство целиком зависит от того, в каких единицах были длины. Измерьте тот же треугольник в метрах — и периметр упадёт в сто раз, а площадь в десять тысяч, и два числа разойдутся. Это стоит знать прежде, чем совпадение прочтут как свойство треугольников.

Насколько точен результат, если стороны измерены рулеткой?

Менее точен, чем намекают четыре знака, и на тонких треугольниках ошибка растёт. Каждая измеренная сторона несёт свою неопределённость во все четыре множителя, а когда одна сторона почти равна сумме двух других, один множитель становится совсем маленьким, и квадратный корень усиливает всё округление, которое уже есть в ваших числах. Округляйте ответ под измерение: если стороны верны до миллиметра, площадь верна примерно до трёх значащих цифр — что бы панель ни печатала дальше.

• Heron's formula — the area of a triangle from its three side lengths by way of the semiperimeter, which is the whole of what this page computes, including the proof and the note on the degenerate case — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case, with the triangle inequality that decides whether three lengths can close, and the base-and-height area formula that the triangle area page beside this one uses — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — the half-sum of the sides that Heron's formula is written around, and which doubles as the cheapest test of whether three lengths form a triangle at all — Wolfram MathWorld (United States)