Равнобедренный треугольник

h = √(l² − (b ÷ 2)²) A = b·h ÷ 2 P = b + 2l apex = 2·asin((b ÷ 2) ÷ l) base = (180° − apex) ÷ 2

Основание

Длина неравной стороны, той, на которой стоят обе боковые, в сантиметрах. Именно её горизонтальное положение делает треугольник симметричным слева направо, и именно от неё отсчитывается высота

Боковая сторона

Длина каждой из двух равных сторон, в сантиметрах. По определению они одинаковы, поэтому поле для них одно, и каждая боковая сторона служит гипотенузой того прямоугольного треугольника, который даёт сгиб

Площадь

Место, которое треугольник занимает, в квадратных сантиметрах: половина основания на высоту. Считается она прямо из основания и боковой стороны, а не из напечатанной высоты, поэтому собственные числа панели сходятся между собой до последнего знака

Периметр

Расстояние по всему кругу, в сантиметрах: основание плюс удвоенная боковая сторона. Это единственный ответ, которому не нужны ни корень, ни тригонометрия, поэтому он точен всюду, где точны два входа

Высота

Расстояние от вершины прямо вниз до середины основания, в сантиметрах, по теореме Пифагора на сложенной половине: боковая сторона в квадрате минус половина основания в квадрате, под корнем. Это ещё и линия, относительно которой треугольник симметричен, — потому она и приходит ровно в середину основания, а не куда-то вбок

Угол при вершине

Угол между двумя боковыми сторонами, наверху, в градусах; это единственный угол равнобедренного треугольника, у которого нет пары. Он вдвое больше угла, синус которого равен половине основания, делённой на боковую сторону, и приближается к 180 градусам по мере того, как треугольник расплющивается

Угол при основании

Угол между основанием и боковой стороной, в градусах. Два угла при основании равны по определению, поэтому страница печатает одно число на оба: это то, что остаётся от 180 градусов после вычета угла при вершине, разделённое пополам

Два знака после запятой для углов

Углы печатаются двумя знаками там, где длины печатаются четырьмя: транспортир читается примерно до сотой доли градуса, а хвостовые разряды арксинуса — это шум плавающей точки, а не что-то кем-то измеренное

Страница нужна для всего, что построено на равнобедренном треугольнике, а эта фигура появляется всюду, где над плоским основанием сидит симметричная вершина. Крыша — самый ясный случай: два ската — это боковые стороны, пролёт — основание, а плотнику нужны уклон, то есть угол при основании, и высота конька над обвязкой — а это как раз высота с этой страницы. Разрежьте этот треугольник пополам, и длина стропила окажется гипотенузой, — вот почему сгиб здесь рабочий приём, а не трюк из учебника. Фронтоны, щипцы, наконечники стрел, воронки и передняя стенка палатки — та же фигура под другими именами. В слесарном деле и в столярке угол при основании — это то, на что выставляют торцовочную пилу, а угол при вершине — то, с чем сверяют готовую деталь. Эта же страница нужна, когда вы измерили основание и одну наклонную сторону, а не высоту: на крыше, на пандусе или на треугольной укосине достать можно именно наклонную кромку, а перпендикуляр — нет. И к ней же стоит идти, когда на чертеже равнобедренный треугольник размечен по своей симметрии — скажем, основание и общая высота: высота здесь выход, а не вход, и эти две пары не взаимозаменяемы: основание с боковой стороной — одна пара входов, основание с высотой — другая, и на этой странице есть только одна из двух. Если ваш треугольник не равнобедренный, страница площади принимает основание и высоту, а страница формулы Герона — три стороны.

1. Основание 6 и боковые стороны по 5

   1. Половина основания: 6 ÷ 2 = 3
   2. Высота: √(25 − 9) = √16 = 4
   3. Площадь: 6 × 4 ÷ 2 = 12
   4. Периметр: 6 + 2 × 5 = 16
   5. Половина угла при вершине: asin(3 ÷ 5) = 36,8699…, значит угол при вершине равен 73,7398…, что округляется до 73,74
   6. Угол при основании: (180 − 73,7398) ÷ 2 = 53,1301…, что округляется до 53,13

   То входное значение, с которым страница открывается, и самое чистое на ней: высота получается ровно 4, площадь ровно 12, периметр ровно 16, и только два угла оставляют после себя десятичную дробь. Стороны здесь 6, 5 и 5, так что это вторая сверка в этой подборке: страница формулы Герона берёт те же три стороны и возвращает ту же площадь 12 и тот же периметр 16. Два пути к одному треугольнику — один ответ. Угол при основании 53,13 градуса тоже не совпадение: если сложить этот треугольник пополам, получится прямоугольный треугольник 3-4-5, а 53,13 — это угол, который подъём на 4 при заложении 3 образует с горизонтом, — и именно этому правилу следует столбец углов при основании для каждой строки.

2. Основание 6 и боковые стороны по 6

   1. Половина основания: 6 ÷ 2 = 3
   2. Высота: √(36 − 9) = √27 = 5,196152…, что округляется до 5,1962
   3. Площадь: 6 × 5,196152… ÷ 2 = 15,588457…, что округляется до 15,5885
   4. Периметр: 6 + 2 × 6 = 18
   5. Половина угла при вершине: asin(3 ÷ 6) = 30, значит угол при вершине равен 60, а угол при основании (180 − 60) ÷ 2 = 60

   Равнобедренный треугольник, у которого основание и боковые стороны случайно оказались равны 6, то есть равносторонний, — и страница это показывает, а не прячет: оба угла выходят по 60 градусов, что и есть примета такой фигуры. Площадь 15,5885 — третья сверка в этой подборке, она совпадает и со страницей равностороннего треугольника при стороне 6, и со страницей формулы Герона при 6, 6, 6. Это ещё и единственная строка таблицы, где два угла равны: угол при вершине сравнивается с углом при основании, только когда все три равны 60.

3. Основание 8 и боковые стороны по 5

   1. Половина основания: 8 ÷ 2 = 4
   2. Высота: √(25 − 16) = √9 = 3
   3. Площадь: 8 × 3 ÷ 2 = 12
   4. Периметр: 8 + 2 × 5 = 18
   5. Половина угла при вершине: asin(4 ÷ 5) = 53,1301…, значит угол при вершине равен 106,2602…, что округляется до 106,26
   6. Угол при основании: (180 − 106,2602) ÷ 2 = 36,8699…, что округляется до 36,87

   Треугольник более плоский, чем заданный по умолчанию, — основание длиннее при тех же боковых сторонах, — и два угла движутся в противоположные стороны; за этим и стоит следить. Угол при вершине вырос с 73,74 до 106,26, а каждый угол при основании упал с 53,13 до 36,87, и обе величины по-прежнему связаны правилом: все три угла дают в сумме 180. Площадь осталась 12, а периметр вырос до 18, и это напоминание о том, что растянутое основание делает треугольник площе, но больше места он от этого не занимает. Прямоугольный треугольник 3-4-5 спрятан и внутри этого: половина основания 4, высота 3, боковая сторона 5.

4. Основание 10 и боковые стороны по 13

   1. Половина основания: 10 ÷ 2 = 5
   2. Высота: √(169 − 25) = √144 = 12
   3. Площадь: 10 × 12 ÷ 2 = 60
   4. Периметр: 10 + 2 × 13 = 36
   5. Половина угла при вершине: asin(5 ÷ 13) = 22,6198…, значит угол при вершине равен 45,2397…, что округляется до 45,24
   6. Угол при основании: (180 − 45,2397) ÷ 2 = 67,3801…, что округляется до 67,38

   Вторая половина треугольника 5-12-13 в этой подборке: половина основания 5, высота 12, боковая сторона 13, так что прямоугольный треугольник внутри — тот же самый, с которым страница формулы Герона встречается с другой стороны. Всё, кроме двух углов, выходит целым. Угол при вершине 45,24 градуса — чуть больше половины прямого, и это удобная проверка фигуры на здравый смысл: треугольник с основанием 10 и боковыми сторонами 13 близок к равнобедренному прямоугольному, но не равен ему, а вот основание, равное 13 × √2, сделало бы угол при вершине ровно 90.

5. Основание 0 и боковые стороны по 5

   1. Половина основания: 0 ÷ 2 = 0
   2. Высота: √(25 − 0) = 5
   3. Площадь: 0 × 5 ÷ 2 = 0
   4. Периметр: 0 + 2 × 5 = 10
   5. Половина угла при вершине: asin(0 ÷ 5) = 0, значит угол при вершине равен 0, а угол при основании (180 − 0) ÷ 2 = 90

   Основание, равное нулю: это допустимо и не то же самое, что оставить поле пустым. Две боковые стороны ложатся друг на друга, так что фигура — удвоенный отрезок длиной 5: высота 5, периметр 10, площадь ноль, а угол при вершине схлопнулся в ничто. Угол при основании 90 градусов — честное прочтение этой картины: длина основания равна нулю, поэтому угол между ним и боковой стороной по определению прямой. Оттого страница и считает нулевое основание настоящим входным значением, а не отказывается его принимать: вся арифметика здесь определена, и ответы верно описывают сплющенную фигуру.

6. Основание 6 и боковые стороны по 3

   1. Половина основания: 6 ÷ 2 = 3
   2. Высота: √(9 − 9) = 0
   3. Площадь: 6 × 0 ÷ 2 = 0
   4. Периметр: 6 + 2 × 3 = 12
   5. Половина угла при вершине: asin(3 ÷ 3) = 90, значит угол при вершине равен 180, а угол при основании (180 − 180) ÷ 2 = 0

   Точная граница — и она пропускается: две боковые стороны, сложенные встык, ровно такой же длины, как основание, так что треугольник сплющился в прямую линию. Угол при вершине равен 180 градусам — столько измеряет полностью развёрнутая вершина, — а два угла при основании сошлись к нулю. Ничего похожего на NaN здесь нет: каждое слагаемое арифметики определено, включая арксинус ровно единицы. Сдвиньте основание до 6,2 при тех же боковых сторонах — и страница откажется считать, потому что тогда две боковые стороны вообще не смогут дотянуться друг до друга и никакого треугольника не существует.

Страница только для равнобедренных треугольников: ровно две стороны одинаковой длины — это боковые стороны, — стоящие на неравном основании. Разносторонний треугольник требует всех трёх сторон и относится на страницу формулы Герона; прямоугольный заслуживает своей страницы, а равносторонний оказывается частным случаем этого только тогда, когда его основание и боковая сторона заданы равными. Две боковые стороны должны дотягиваться друг до друга: если удвоенная боковая сторона меньше основания, треугольника не существует, и страница так и говорит, вместо того чтобы вернуть число. Точный случай, когда удвоенная боковая сторона равна основанию, пропускается и описывает треугольник, расплющенный в отрезок, с нулевыми высотой и площадью и углом при вершине 180 градусов. Страница принимает основание и боковую сторону, а не основание и высоту, поэтому чертёж, размеченный наоборот, потребует сначала перевести высоту в боковую сторону — по теореме Пифагора на половине основания. Ответы всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, что бы ни стояло в переключателе единиц, а углы — в градусах, без варианта с радианами. Четыре знака для длин и два для углов — это ширина вывода, а не заявление о точности; на треугольнике, измеренном рулеткой, высота и площадь — те величины, чьи последние знаки вообще имеют шанс что-то значить, и даже они зависят от того, насколько хорошо измерены основание и боковая сторона. Страница двумерная, поля для толщины у неё нет, поэтому объём треугольной призмы или вес косынки она не даст.

Почему страница спрашивает боковую сторону, а не высоту?

Потому что форму задаёт именно пара «основание и боковая сторона», а высота из них следует. Две боковые стороны заданной длины могут сойтись только в одной точке над основанием заданной длины, так что выбирать нечего. Основание и высота — другая пара двух чисел для того же треугольника, и страница, принимающая обе пары сразу, переопределила бы форму: основание 6 с высотой 5 заставило бы боковые стороны равняться корню из 34, и странице пришлось бы решать, какое из трёх введённых чисел неверно.

Почему углов два и бывают ли они одинаковыми?

Угол при вершине — между двумя боковыми сторонами, наверху, а угол при основании — между основанием и боковой стороной. Это разные величины, и отвечают они на разные вопросы: угол при вершине говорит, насколько фигура остроконечна, а угол при основании — то, в чём выражают уклон крыши или настройку торцовочной пилы. Равны они только в равностороннем случае, где все три угла по 60 градусов, — поэтому страница и печатает оба, а не одно число с подписью «угол».

Как получить углы из двух сторон?

Разрежьте треугольник пополам по оси симметрии. Каждая половина — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне, и катетом, равным половине основания, поэтому синус половины угла при вершине равен половине основания, делённой на боковую сторону. Удвойте его — и получите угол при вершине; угол при основании — это то, что осталось от 180 градусов после вычета угла при вершине, разделённое пополам. Страница делает ровно это, поэтому половина основания 3 при боковой стороне 5 даёт угол при вершине 73,74, а не что-то, что пришлось бы угадывать.

Почему у углов два знака после запятой, а у длин четыре?

Потому что измерялись они по разным стандартам. Длина может быть точной — основание 6 это ровно 6, — и четыре знака это та ширина, в которой этот сайт печатает длины. Угол же получается из арксинуса, а транспортир или торцовочная пила читаются примерно до сотой доли градуса, так что третий и четвёртый знаки угла были бы шумом плавающей точки, выданным за точность. Два знака — это предел, до которого число ещё что-то значит.

Что будет, если боковые стороны слишком коротки, чтобы дотянуться через основание?

Страница останавливается и говорит об этом, а не возвращает число. Две боковые стороны должны суметь сойтись над основанием, то есть их суммарная длина должна быть больше основания; если это не так, треугольника не существует. Точный случай, когда сумма равна основанию, пропускается: он описывает треугольник, расплющенный в отрезок, с углом при вершине 180 градусов и нулевой площадью, и это настоящий ответ, а не отказ.

Могут ли основание или боковая сторона быть нулевыми?

Оба принимаются и оба дают осмысленные ответы. Нулевая боковая сторона ставит обе боковые в одну точку с растянутым основанием, а нулевое основание кладёт две боковые друг на друга, давая высоту, равную боковой стороне, периметр в две боковые и угол при основании 90 градусов. Ни то, ни другое не равно пустому полю: пустое поле не показывает результата вообще, потому что считать не из чего, а ноль — это фигура, которую можно описать.

• Isosceles triangle — the two-equal-sides case, with the axis of symmetry, the equal base angles and the height that this page computes from the base and a leg — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case the isosceles triangle is a constrained member of, including the rule that the three angles always add to 180 degrees, which is what the base angle is worked out from — Wolfram MathWorld (United States)
• Equilateral triangle — the one isosceles triangle whose apex angle equals its base angles, both 60 degrees, and the case where the two figures this page prints separately come out the same — Wolfram MathWorld (United States)