Перейти к основному содержанию
CalcMax

Равносторонний треугольник

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Результат

15,5885 cm²

Площадь

Периметр
18,0000 cm
Высота
5,1962 cm

Калькулятор равностороннего треугольника берёт длину одной стороны и возвращает три измерения: площадь, которую треугольник покрывает, расстояние по всему его периметру и высоту от угла прямо вниз, к середине противоположной стороны. Это самая простая из страниц про треугольники, и причину стоит назвать прямо, потому что в ней весь смысл отдельного инструмента: равносторонний треугольник — единственный вид треугольника, который полностью определяется одним числом. Дайте обычному треугольнику три стороны — и форма закреплена; дайте две стороны и угол между ними — и он тоже закреплён; дайте одну сторону, и треугольников с такой стороной бесконечно много, от узкой щепки до фигуры почти такой же широкой, как длинной. Равносторонний треугольник уходит от этого тем, что его форма задана заранее — все три стороны одинаковы, все три угла по 60 градусов, — так что выбирать остаётся только размер, а сторона его и задаёт, масштабируя всю фигуру целиком. Поэтому на странице одно поле и поэтому же удвоение стороны удваивает периметр, а площадь умножает на четыре. Вся арифметика выводится из одного факта: опущенная высота разрезает треугольник на два прямоугольных, у каждого гипотенуза равна стороне, а катет у основания — половине стороны, и по теореме Пифагора высота равна корню из трёх, делённому на два, умножить на сторону. Площадь — это половина основания на высоту, что даёт корень из трёх, делённый на четыре, умножить на сторону в квадрате. Обе эти постоянные, √3 ÷ 2 и √3 ÷ 4, стоит узнавать с одного взгляда: из них двоих и состоит эта фигура, а формула ниже — не что иное, как обе они, применённые к стороне. Высота печатается как самостоятельное измерение, а не только как шаг к площади, потому что это то число, которое нужно чертежу, и то, которое читателю вероятнее всего понадобится следующим.

Равносторонние треугольники от стороны 0 до стороны 10

Сторона (cm)Площадь (cm²)Периметр (cm)Высота (cm)
615.5885185.1962
10.43330.866
21.732161.7321
33.897192.5981
510.8253154.3301
7.524.35722.56.4952
1043.3013308.6603
0000

Восемь треугольников, и первая строка — та, с которой страница открывается. Прочитайте третий и четвёртый столбцы сверху вниз и посмотрите, что не меняется: высота всегда равна 0,866 от стороны, а периметр — всегда утроенной стороне, то есть оба этих столбца есть сторона, умноженная на постоянное число. Второй столбец выбивается из ряда, и лучше всего это видно на второй и третьей строках: при переходе от стороны 1 к стороне 2 периметр и высота удваиваются, а площадь учетверяется, потому что площадь растёт как квадрат длины, а те две — как сама длина. Третья строка — та, где страница выглядит так, будто в неё закралась опечатка: у треугольника со стороной 2 площадь равна 1,7321 и высота равна 1,7321. Оба числа — это квадратный корень из трёх при такой стороне, ведь деление пополам в высоте отменяется половинной стороной, а деление на четыре в площади — возведением стороны в квадрат; но это по-прежнему разные величины — одна в квадратных сантиметрах, другая в сантиметрах. Это единственная строка таблицы, где два столбца совпадают, и совпадение относится к одной этой стороне, а не к столбцу, посчитанному дважды. Первая строка — ещё и та, где с этой страницей встречаются другие страницы про треугольники: сторона 6 даёт 15,5885 — то же число, к которому страница формулы Герона приходит от 6, 6, 6, а страница равнобедренного треугольника — от основания 6 с боковыми сторонами 6. Каждое число здесь пересчитывается из своей стороны при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака после запятой — те же четыре знака, что и в панели результатов. Числа в столбцах печатаются так, как их выдаёт расчёт, поэтому разделитель там — точка, а не запятая (1.7321 — это то же число, что 1,7321): столбцы берутся из вычисления, а этот текст написан по-русски.

Формула

A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s

Сторона
Длина любой из трёх сторон, в сантиметрах. Это единственный вход на странице: у равностороннего треугольника все три стороны равны, а все три угла закреплены на 60 градусах, так что решать остаётся только размер
Площадь
Место, которое треугольник занимает, в квадратных сантиметрах: корень из трёх, делённый на четыре, умножить на сторону в квадрате. Постоянная примерно равна 0,433, и это полезное число, чтобы носить его с собой: равносторонний треугольник покрывает чуть больше четырёх десятых квадрата, построенного на его стороне
Периметр
Расстояние по всему кругу, в сантиметрах: утроенная сторона, потому что все три одинаковы. Это единственный выход, который всегда точен, если точна сторона, — именно поэтому по нему и стоит сверять два других
Высота
Расстояние от угла прямо вниз до середины противоположной стороны, в сантиметрах: корень из трёх, делённый на два, умножить на сторону. Её же называют высотой, опущенной на сторону, и от какого угла ни отсчитывай, это одна и та же линия, потому что фигура симметрична
√3
Квадратный корень из трёх, примерно 1,7320508. Он появляется и в площади, и в высоте, и это не погрешность округления: разрезав треугольник пополам, вы получаете прямоугольный треугольник, стороны которого не могут быть целыми все сразу, так что иррациональное число обязано где-то вылезти
Четыре знака после запятой
Ширина записи каждого выхода. Площадь и высота почти всегда несут в себе корень из трёх и потому почти никогда не кончаются; периметр точен, и печатать его четырьмя знаками — это фиксированная ширина, а не заявление о точности

Страница нужна для всего, что делается из равносторонних треугольников, а такого больше, чем подсказывает название. Фермы крыш, велосипедные рамы, решётки мостов и полки-кронштейны используют их потому, что треугольник — единственный многоугольник, который нельзя вывести из формы, не изменив длину стороны: толкните квадратную раму вбок, и она сложится, — вот зачем на калитке стоит диагональная укосина. Если вы вырезаете треугольники из листа, площадь подсказывает, сколько их поместится, а высота — на какую высоту поднимется ряд: уложенные вершиной вверх рядами, два ряда перекрываются ровно на одну высоту, так что именно высота задаёт шаг, а не площадь. Если вы сгибаете полосу в фигуру, периметр — это длина полосы, которая понадобится, ещё до припуска на стык. А если вы проверяете чертёж, у высоты в треугольнике есть строго определённое место: она разрезает фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника и приходит на противоположную сторону ровно в её середину, — значит, посчитанная высота, которая не оставляет две равные половины, означает, что треугольник на чертеже не равносторонний, что бы ни было написано на подписи. И одно предупреждение об арифметике уместнее здесь, а не мелким шрифтом: высота, напечатанная на этой странице, уже округлена до четырёх знаков, поэтому, умножая её обратно вручную, вы получите площадь, отличающуюся на последнюю цифру. Обе цифры на панели верны; теряется разряд именно на обратном проходе через напечатанную высоту.

Разобранные примеры

  1. Сторона 6

    1. Периметр: 3 × 6 = 18
    2. Высота: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, что округляется до 5,1962
    3. Площадь: (√3 ÷ 4) × 36 = 15,588457…, что округляется до 15,5885

    То входное значение, с которым страница открывается, и та строка, за которую стоит держаться: именно здесь сходятся другие страницы о треугольниках. У треугольника со всеми сторонами 6 площадь на этой странице равна 15,5885, и те же 15,5885 выходят и на странице равнобедренного треугольника при основании 6 и боковой стороне 6, и на странице формулы Герона при 6, 6, 6. Три разных пути к одной фигуре — и все три сходятся до последней цифры. Здесь же видна и арифметическая ловушка: 6 × 5,1962 ÷ 2 даёт 15,5886, на одну цифру больше площади выше, и теряется эта цифра при округлении высоты, а не в какой-либо из формул.

  2. Сторона 1

    1. Периметр: 3 × 1 = 3
    2. Высота: (√3 ÷ 2) × 1 = 0,8660254…, что округляется до 0,866
    3. Площадь: (√3 ÷ 4) × 1 = 0,4330127…, что округляется до 0,433

    Единичный треугольник — и тот, по которому запоминают обе константы: у равностороннего треугольника со стороной 1 высота равна 0,8660, а площадь 0,4330. Рядом с квадратом со стороной 1, площадь которого равна 1, треугольник при той же стороне покрывает чуть меньше половины — это и есть самый наглядный способ увидеть, откуда берётся корень из трёх, делённый на четыре. Две из трёх величин печатаются с отброшенными конечными нулями: четвёртый знак после запятой в обоих случаях нулевой.

  3. Сторона 2

    1. Периметр: 3 × 2 = 6
    2. Высота: (√3 ÷ 2) × 2 = 1,7320508…, что округляется до 1,7321
    3. Площадь: (√3 ÷ 4) × 4 = 1,7320508…, что округляется до 1,7321

    Строка, которая выглядит ошибкой, но ею не является: площадь и высота обе печатают 1,7321. Для этой стороны обе равны корню из трёх — деление стороны пополам сокращает двойку в высоте, а возведение в квадрат сокращает четвёрку в площади, — но одна из них 1,7321 квадратного сантиметра, а другая 1,7321 сантиметра. Это разные величины, которые случайно совпали числом при одной этой длине стороны, и ни при какой другой стороне из таблицы такого больше не происходит.

  4. Сторона 10

    1. Периметр: 3 × 10 = 30
    2. Высота: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, что округляется до 8,6603
    3. Площадь: (√3 ÷ 4) × 100 = 43,301270…, что округляется до 43,3013

    Треугольник со стороной десять сантиметров — примерно размер кровельного кронштейна. Высота 8,6603 составляет 86,6 % от стороны, и это отношение никогда не меняется: высота равностороннего треугольника всегда равна 0,866 его стороны, какого бы размера он ни был. Если выкладывать такие треугольники рядами вершиной вверх, именно на это число и нужно разносить ряды: каждый ряд перекрывает нижний ровно на одну высоту.

  5. Сторона 0

    1. Периметр: 3 × 0 = 0
    2. Высота: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    3. Площадь: (√3 ÷ 4) × 0 = 0

    Ноль — это допустимое входное значение, а не пустое поле. У треугольника со стороной ноль все три измерения равны нулю, так что строка нулей — настоящий ответ. Оставленное пустым поле — другой случай: когда в нём ничего нет, страница не показывает результата вообще, потому что считать не из чего.

Ограничения

Страница только для равносторонних треугольников: все три стороны одинаковы и все три угла по 60 градусов. Треугольник, который всего лишь равнобедренный, или прямоугольный, или любой другой формы с такой же длиной одной стороны, одним этим числом не описывается, и страница выдаст для него равносторонние величины, а не скажет, что фигура у вас в голове другая. Если у обычного треугольника известны две стороны, страница площади принимает основание и высоту, а страница формулы Герона — все три стороны. Ответы всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, что бы ни стояло в переключателе единиц, так что сторона, набранная в дюймах, вернётся сантиметровым ответом. Четыре знака после запятой — это ширина вывода, а не заявление о точности, и для измеренной стороны её более чем достаточно. Высота и площадь печатаются независимо: площадь считается от неокруглённой высоты, поэтому если умножить напечатанную высоту обратно вручную, последняя цифра четвёртого знака разойдётся — это разница округления, а не ошибка в какой-либо из двух величин. Страница насквозь двумерная, поля для толщины физического треугольника у неё нет, поэтому объём треугольной призмы или вес треугольной пластины она не подскажет.

Частые вопросы

Почему одного измерения хватает, чтобы описать равносторонний треугольник?
Потому что форма задана ещё до того, как вы начали. У равностороннего треугольника все три стороны одинаковой длины и все три угла по 60 градусов, так что выбирать остаётся только размер, и сторона его и задаёт. У обычного треугольника такой свободы не израсходовано ничего: одна сторона оставляет бесконечно много форм, и нужны три стороны — или две стороны и угол между ними, — прежде чем треугольник будет закреплён.
Как получается высота и откуда берётся корень из трёх?
Опущенная из угла высота разрезает треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. У каждого гипотенуза равна стороне, а катет у основания — половине стороны, поэтому по теореме Пифагора высота равна корню из стороны в квадрате минус четверть стороны в квадрате, то есть корню из трёх, делённому на два, умножить на сторону. Иррациональное число здесь не погрешность округления: это то, что остаётся, когда фигуру с равными сторонами разрезают пополам.
Если умножить напечатанную высоту на половину основания, площадь выходит не та. Почему?
Потому что высота на панели уже округлена до четырёх знаков, а площадь считалась от неокруглённой высоты и округлялась отдельно. При стороне 6 высота печатается как 5,1962, половина основания равна 3, и произведение даёт 15,5886, тогда как площадь печатается как 15,5885. Обе цифры верны; четвёртый знак теряется на обратном проходе, а не в каком-либо из вычислений. Если нужна точная площадь, берите строку площади, а не собирайте её заново.
Какую долю стороны составляет высота?
Всегда 0,866 стороны, то есть примерно 86,6 процента, каким бы ни был размер треугольника. Это следует из того же корня из трёх, делённого на два: при увеличении стороны высота растёт вместе с ней, поэтому их отношение никогда не меняется. Именно этим числом и задают шаг, когда раскладывают треугольники рядами: каждый ряд вершин вверх перекрывает нижний ровно на одну высоту.
Как площадь соотносится с квадратом той же стороны?
Квадрат больше: 1 квадратная единица против примерно 0,433 у треугольника при стороне 1. Треугольник расходует меньше материала на ту же кромку, но у него и периметр короче при той же площади, так что сравнение осмысленно только в виде «материал на единицу кромки». На практике треугольник выбирают не ради площади, а ради жёсткости: его нельзя деформировать, не изменив длину стороны, а квадрат можно.
Может ли сторона быть нулевой и то же ли это, что пустое поле?
Ноль — настоящий ввод, и все три ответа возвращаются нулями, а для треугольника без размера это честный ответ. Пустое поле — другое дело: когда ничего не введено, страница не показывает результата вообще, потому что считать не из чего. Это различие важно, пока вы печатаете: стирание поля, чтобы набрать число заново, не должно вызывать вспышку строки нулей.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор площади треугольникаПоловина произведения основания на высоту.Калькулятор формулы ГеронаПлощадь треугольника по трём сторонам, по формуле Герона.Равнобедренный треугольникПлощадь, высота и углы равнобедренного треугольника.Калькулятор треугольникаТретья сторона, углы и площадь по двум сторонам и углу.