Калькулятор параллелограмма

Площадь = b × h Периметр = 2(b + a)

Основание

Длина одной из двух параллельных сторон, на которых параллелограмм стоит, в сантиметрах. Основанием можно назвать любую из двух параллельных пар; важно лишь то, что высота отмеряется перпендикулярно к той, которую вы выбрали

Высота

Расстояние по перпендикуляру от основания до противоположной стороны, в сантиметрах, — отмеренное строго вверх, а не вдоль наклонной стороны. Именно от этого числа зависит площадь, и именно его путают со смежной стороной, а это другое число у любого параллелограмма, кроме прямоугольника

Смежная сторона

Длина одной из двух наклонных сторон, в сантиметрах. Площадь её полностью игнорирует, а периметр без неё обойтись не может: периметр равен удвоенному основанию плюс удвоенная эта сторона. Она не может быть короче высоты, ведь она равна высоте, делённой на синус угла между ней и основанием

Площадь

Пространство внутри, в квадратных сантиметрах: основание на высоту, та же формула, что и у прямоугольника. Она ровно вдвое больше площади треугольника с тем же основанием и той же высотой, и это показано во второй строке таблицы ниже

Периметр

Длина всего обвода, в сантиметрах: удвоенное основание плюс удвоенная смежная сторона, ведь две пары сторон равны. Высота в нём не участвует вовсе, и потому страница, которая спрашивала бы только основание и высоту, это число выдать не могла бы

Сантиметры и квадратные сантиметры

Единицы обоих ответов, всегда, что бы ни было выбрано в списках. Периметр — это длина, а площадь — длина в квадрате, поэтому величины несравнимы между собой и удвоение одной не удваивает другую

Четыре знака после запятой

Ширина записи обоих ответов. Четыре, а не два, потому что в таблице ниже страница работает с целыми числами, но не ограничена ими, а основание, введённое в метрах через список единиц, приходит числом с дробной частью

Формула площади здесь важнее всего, и стоит помнить, что это общая формула «основание на высоту» для любого параллелограмма, включая прямоугольник. Своё она оправдывает тем, что показывает: наклонная фигура не меньше прямой с тем же основанием и той же высотой. Поле, которое перекосило наклонившимся забором, не теряет в площади ничего, а глаз говорит обратное. Но если вам нужна площадь участка, у которого вы измерили стороны по земле, будьте осторожны: высота — это расстояние по перпендикуляру, и рулетка его почти никогда не даёт, а смежная сторона его не заменяет. Для периметра тому же участку нужны две длины сторон, и вот здесь страница и просит третье число. Отказ стоит увидеть намеренно, а не случайно: если ввести смежную сторону короче высоты, эти два числа противоречат друг другу, и самая частая причина в том, что измерили основание и наклонную сторону, а перпендикулярную высоту угадали или взяли за неё другую сторону. Соседняя страница про треугольник берёт те же основание и высоту и возвращает половину площади, а страница прямоугольника возвращает ту же площадь при смежной стороне, равной высоте, — это две самые быстрые проверки того, что страница ведёт себя правильно.

1. Основание 6, высота 4 и наклонная сторона 5

   1. Площадь: 6 × 4 = 24 квадратных сантиметра
   2. Периметр: 2 × (6 + 5) = 22 сантиметра
   3. Высота 4 не участвует в периметре, а наклонная сторона 5 не участвует в площади

   Это тот ввод, с которым страница открывается, и та пара вычислений, которая показывает, зачем странице три числа: площадь берётся из основания и высоты, а периметр — из основания и наклонной стороны, и ни один из выходов не использует все три. Фигура — это прямоугольник, сдвинутый вбок на треугольнике 3-4-5, поэтому числа и выходят такими аккуратными.

2. Основание 3, высота 4 и наклонная сторона 5

   1. Площадь: 3 × 4 = 12 квадратных сантиметров
   2. Периметр: 2 × (3 + 5) = 16 сантиметров
   3. Двенадцать ровно вдвое больше площади треугольника с тем же основанием и той же высотой, которая равна 3 × 4 ÷ 2 = 6

   Та строка, на которой удвоение становится видимым. Разрежьте параллелограмм по диагонали — и получите два треугольника с тем же основанием и той же высотой, поэтому площадь параллелограмма ровно вдвое больше площади треугольника: 12 против 6. Вот откуда берётся двойка в формуле площади треугольника, прочитанная в обратную сторону.

3. Основание 12, высота 5 и наклонная сторона 13

   1. Площадь: 12 × 5 = 60 квадратных сантиметров
   2. Периметр: 2 × (12 + 13) = 50 сантиметров
   3. Треугольник 5-12-13 — второй по величине целочисленный прямоугольный треугольник, и именно поэтому эти числа круглые

   Длинный низкий параллелограмм, и та строка, где два выхода расходятся сильнее всего: площадь равна 60, а периметр равен 50, и это напоминание о том, что это разные величины, измеряемые в разных единицах, и никакого правила «одна больше другой» тут нет. Числа 5, 12 и 13 в трёх полях — это стороны прямоугольного треугольника, а это самый аккуратный способ построить параллелограмм, у которого наклон равен ровно перпендикуляру.

4. Основание 1, высота 1 и наклонная сторона 1

   1. Площадь: 1 × 1 = 1 квадратный сантиметр
   2. Периметр: 2 × (1 + 1) = 4 сантиметра
   3. Наклонная сторона равна высоте, значит, угол прямой, а фигура — квадрат

   Та граница, которую страница допускает, а не отвергает. Когда наклонная сторона равна высоте, синус угла равен единице, угол прямой, и параллелограмм оказывается квадратом — настоящим членом семейства, а не вырожденным. Правило, которое применяет страница, состоит в том, что наклонная сторона должна быть не меньше высоты, а не больше неё, и именно этот случай и показывает разницу.

5. Основание 5, высота 0 и наклонная сторона 3

   1. Площадь: 5 × 0 = 0 квадратных сантиметров
   2. Периметр: 2 × (5 + 3) = 16 сантиметров
   3. Обе величины следуют из своих формул и описывают разное в одной и той же расплющенной фигуре

   Тот случай, когда два выхода выглядят противоречивыми, а на самом деле нет. Высота ноль означает, что верхняя сторона опустилась на нижнюю и фигура расплющилась в отрезок, поэтому она вовсе не охватывает площади — ноль и есть верный ответ. Периметр же — это полная длина четырёх сторон, то есть то, что считает формула и что периметр и означает: пройти по основанию, вернуться по наклонной стороне, снова по основанию, снова по наклонной. Это не длина получившегося расплющенного отрезка, которая была бы равна 2 × 5 = 10. Страница даёт длину кромки четырёхсторонней фигуры, и это стоит знать прежде, чем одно из двух чисел покажется ошибкой.

Высота — это расстояние по перпендикуляру между основанием и противоположной стороной, и страница не может определить, не измерили ли вы вместо неё смежную сторону. Смежная сторона, введённая в поле высоты, даёт слишком большую площадь, и это самая частая ошибка, которую эта страница видит, потому что рулеткой достают именно до наклонной стороны. Периметр использует основание и смежную сторону и не принимает в расчёт высоту, поэтому если вы задали высоту, а смежную сторону нет, страница не сможет посчитать вообще ничего. Смежная сторона короче высоты отклоняется, потому что она не описывает никакого параллелограмма: высота равна смежной стороне, умноженной на синус угла между ней и основанием, а синуса больше единицы не бывает. Ответы всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, что бы ни было выбрано в списках единиц. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявка на точность. Страница предполагает настоящий параллелограмм с двумя парами параллельных сторон, поэтому четырёхугольник с неравными противоположными сторонами она не проверит, а углов, диагоналей и возможности ввести угол между сторонами напрямую она не даёт. Высота ноль принимается и возвращает площадь ноль при ненулевом периметре: арифметически это верно, а физически это отрезок, а не фигура, и периметр тогда описывает путь вокруг четырёх сторон, а не длину получившегося сплющенного отрезка.

Почему страница спрашивает три числа, когда для площади нужно два?

Потому что периметру нужно число, которое площади не нужно. Площадь — это основание на высоту; периметр — это удвоенное основание плюс удвоенная смежная сторона, а высота и смежная сторона совпадают только у прямоугольника. Основание и высота задают площадь, но оставляют фигуру свободной: её можно сжимать, и от сжатия изменится периметр, а площадь останется на месте.

Высота и смежная сторона — это одно и то же?

Нет, и это самая частая ошибка, которую видит страница. Высота — это расстояние по перпендикуляру от основания строго вверх до противоположной стороны; смежная сторона — это длина самого ребра. Равны они только у прямоугольника. У параллелограмма с наклоном 30 градусов смежная сторона вдвое длиннее высоты, поэтому смежная сторона, введённая в поле высоты, удвоила бы площадь.

Почему не принимается смежная сторона короче высоты?

Потому что такого параллелограмма не существует. Высота равна смежной стороне, умноженной на синус угла между этой стороной и основанием, а синус не поднимается выше единицы, поэтому смежная сторона всегда не короче высоты. Равенство смежной стороны и высоты означает угол 90 градусов и прямоугольник, и потому страница разрешает равенство, а не отклоняет его.

Почему площадь получается такой же, как у прямоугольника?

Потому что параллелограмм и прямоугольник с одинаковым основанием и одинаковой перпендикулярной высотой заключают в себе одинаковую площадь, как бы сильно параллелограмм ни наклонили. Сдвиньте треугольник с одного конца параллелограмма — и он точно ляжет на другой конец, превратив фигуру в прямоугольник с теми же основанием и высотой. Наклон удлиняет смежные стороны, не меняя того, что фигура охватывает.

Площадь ноль, а периметр нет — что из них неверно?

Ни то, ни другое. Высота ноль означает, что верхняя сторона опустилась на нижнюю, то есть фигура выродилась в отрезок и не охватывает ничего; ноль здесь правильный. Периметр — это суммарная длина четырёх сторон: по основанию, обратно по смежной стороне, снова по основанию, снова обратно по смежной стороне, — и этот путь по-прежнему равен 16 сантиметрам при основании 5 и стороне 3. Это не длина получившегося сплющенного отрезка, которая была бы равна 10.

Как получить площадь треугольника вместо параллелограмма?

Разделите площадь этой страницы пополам, если у треугольника те же основание и перпендикулярная высота. Разрез параллелограмма по диагонали даёт два треугольника равной площади, и именно оттуда берётся половина в формуле площади треугольника. Если же вы измеряли у треугольника стороны, а не основание с высотой, то страницы про треугольник на этом сайте принимают три стороны напрямую.

• Parallelogram — the quadrilateral with two pairs of parallel sides, with the base-times-height area formula and the note that a parallelogram and a rectangle on the same base and height have equal areas — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure a parallelogram splits into along a diagonal, which is why the triangle's area carries a half and the parallelogram's does not — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine — the function that relates a parallelogram's sloping side, its height and the angle between them, and the reason a sloping side can never be shorter than the height — Wolfram MathWorld (United States)