Калькулятор трапеции

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

Две параллельные стороны, в сантиметрах, — основания. Любая из них может быть длиннее; страница работает от их разности и не смотрит, какую вы назвали верхней. Их среднее, (a + b) ÷ 2, умноженное на высоту, и даёт площадь — формула, вокруг которой построена вся страница

c, d

Две боковые стороны, в сантиметрах: непараллельные стороны. От их длин зависит, существует ли фигура вообще, ведь вдвоём они должны перекрыть разность оснований. Равными они быть не обязаны — трапеция с боковыми сторонами 5 и 4 совершенно обычна, — а когда они равны, фигура называется равнобедренной и высота считается просто как корень из квадрата боковой стороны минус квадрат половины разности оснований

Δ

Разность оснований, |b − a|, в сантиметрах. Это основание того треугольника, который образуют две боковые стороны и два основания, и именно эта величина решает, в каком из трёх случаев вы находитесь: меньше того, что могут перекрыть боковые стороны, ровно на пределе или больше. Когда она равна 0 — основания равны — фигура оказывается параллелограммом, и четыре стороны перестают определять высоту, поэтому страница сообщает об ошибке, а не отвечает

x

Куда вдоль разности оснований попадает высота, в сантиметрах: расстояние от одного конца разности до основания перпендикуляра. Оно получается из теоремы косинусов, применённой к треугольнику со сторонами c, d и Δ, и странице нужно только для того, чтобы добраться до высоты. Оно может выйти за пределы от 0 до Δ — так бывает, когда одна боковая сторона наклонена наружу за конец меньшего основания; трапецией фигура от этого быть не перестаёт, и счёт тоже сходится

h

Высота, в сантиметрах: расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными основаниями и то самое число, которое нужно формуле площади. Она равна корню из c² − x² и печатается с четырьмя знаками после запятой. Поскольку это корень из разности, случай, когда боковые стороны не могут перекрыть разность оснований, — это ровно тот случай, когда под корнем получилось бы отрицательное число; поэтому страница сначала проверяет неравенство треугольника, а не позволяет корню выдать бессмыслицу

A, P

Площадь в квадратных сантиметрах и периметр в сантиметрах. Площадь — это среднее оснований, умноженное на высоту, что то же самое, что половина их суммы, умноженная на высоту: трапеция и прямоугольник одной и той же высоты закрывают одинаковую площадь, когда ширина прямоугольника равна среднему двух оснований. Периметр — это все четыре стороны, сложенные вместе, и высота в нём не участвует вообще

Берите эту страницу, когда у вас на руках четыре ребра. Так обычно и бывает с землёй: участок с двумя параллельными сторонами и двумя непараллельными, обмерянный рулеткой по границе, где параллельные стороны и боковые стороны измеряются легко, а перпендикулярная высота — нет: её пришлось бы отмерять шагами поперёк участка, а на склоне или через посевы это как раз то, чего сделать нельзя. Так же обстоит дело с панелью, вырезанной по чертежу, где заданы четыре ребра и нет высоты, и с проверкой фигуры, которую задал кто-то другой: введите четыре стороны и посмотрите, описывают ли они вообще трапецию. Для такой проверки смотрите на седьмую строку таблицы: боковые стороны 4 и 2 при основаниях 10 и 4 дают высоту 0, потому что разность 6 в точности равна сумме двух боковых сторон и фигура сложилась в плоскость. Сделайте любую боковую сторону короче — и страница сообщит об ошибке. Берите калькулятор площади трапеции, когда у вас есть два основания и высота, но нет боковых сторон: он принимает эту пару напрямую и пропускает промежуточный шаг. Берите калькулятор площади параллелограмма, когда два основания равны, потому что тогда фигура — параллелограмм и четыре стороны этой страницы её уже не определяют. А калькулятор площади треугольника берите, когда меньшее основание равно 0: треугольник — это трапеция с одним нулевым основанием, и четвёртая строка таблицы ниже — найденный таким образом прямоугольный треугольник 6-8-10 с площадью 24.

1. Основания 4 и 10, боковые стороны 5 и 5

   1. Разность оснований: 10 − 4 = 6
   2. Боковые стороны равны, поэтому на каждую приходится половина: 6 ÷ 2 = 3
   3. Высота: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Среднее оснований: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Площадь: 7 × 4 = 28
   6. Периметр: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   Это та строка, с которой страница открывается, и та, которую стоит проверять вручную, потому что числа здесь — замаскированный треугольник 3-4-5: боковая сторона 5 и половина разности оснований 3 дают высоту ровно 4. Высота — ещё и единственная величина, которую нельзя прочитать по четырём сторонам, и в этом весь смысл страницы. Сравните площадь с прямоугольником той же высоты и шириной 7 — средним оснований — и получите те же 28 квадратных сантиметров; это самый аккуратный способ увидеть, почему формула делит сумму пополам, а не делает что-нибудь похитрее.

2. Основания 7 и 10, боковые стороны 5 и 4

   1. Разность оснований: 10 − 7 = 3
   2. Боковые стороны не равны, поэтому разность делится неравно: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. Высота: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Среднее оснований: (7 + 10) ÷ 2 = 8,5
   5. Площадь: 8,5 × 4 = 34
   6. Периметр: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   Разносторонняя трапеция, у которой боковые стороны разной длины, а высота попадает не в середину разности оснований. Ответ здесь таков: сторона в 4 сантиметра стоит вертикально между правыми концами обоих оснований — расстояние x выходит равным всей разности 3, поэтому другой стороне не достаётся ничего, — так и ведёт себя неравная пара боковых сторон; высота тогда получается равной длине самой этой стороны. Высота всё равно выходит ровно 4, поэтому у этой строки и у первой высота одинаковая, а площади разные — 28 и 34 квадратных сантиметра, — и исключительно потому, что различаются основания. Это напоминание о том, что в трапеции работают все четыре стороны: одна и та же высота 4 здесь опирается на две разные пары оснований, значит, площадь задают они все вместе, а не высота сама по себе.

3. Основания 0 и 10, боковые стороны 6 и 8

   1. Разность оснований: 10 − 0 = 10
   2. Неравные боковые стороны: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3,6
   3. Высота: √(36 − 12,96) = √23,04 = 4,8
   4. Среднее оснований: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. Площадь: 5 × 4,8 = 24
   6. Периметр: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   Треугольник в одежде трапеции: с одним основанием, равным нулю, фигура замыкается в треугольник, и числа здесь — это прямоугольный треугольник 6-8-10, площадь которого, 24 квадратных сантиметра, есть тот же ответ, что даёт калькулятор площади треугольника. Арифметика напоминает о том, что формула трапеции содержит в себе формулу треугольника: когда одно основание равно нулю, среднее оснований превращается в половину другого основания, то есть ровно в множитель из формулы треугольника. Периметр фигуры со стороной нулевой длины — это просто сумма трёх остальных, здесь тоже 24, и это совпадение именно этих чисел, а не правило.

4. Основания 4 и 10, боковые стороны 4 и 2

   1. Разность оснований: 10 − 4 = 6
   2. Две боковые стороны вместе дают 4 + 2 = 6, то есть ровно разность
   3. Высота: боковым сторонам еле-еле хватает на разность, значит, высота равна 0
   4. Среднее оснований: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Площадь: 7 × 0 = 0
   6. Периметр: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   Край того, что страница принимает, и причина, по которой она проверяет боковые стороны раньше, чем берёт квадратный корень. Здесь две боковые стороны в сумме дают ровно разность оснований, поэтому обе укладываются вдоль длинного основания, основания накладываются друг на друга, и фигура не охватывает ничего. Страница отвечает 0, а не отказывает, потому что эти четыре стороны действительно описывают фигуру — плоскую. Укоротите любую из боковых сторон на сантиметр, и такой трапеции не существует вовсе; именно этот случай и сообщается как ошибка, на том основании, что отрицательное число под квадратным корнем — это не высота.

Эта страница считает площадь, периметр и высоту трапеции по её четырём сторонам и ничего больше. Она не даёт углов, диагоналей, длины средней линии и положения высоты вдоль оснований, а ведь четыре стороны всё это определяют — страница просто о них не сообщает, и диагональ трапеции в частности требует второго применения той же треугольной арифметики, которую страница и так проделывает внутри. В обратную сторону она не работает: пути от площади к сторонам, которые её дают, здесь нет, а у трапеции с заданной площадью бесконечно много описаний через четыре стороны. Ответы всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в каких бы единицах ни были введены стороны, потому что списки единиц переводят каждую сторону в сантиметры до счёта. Страница предполагает, что фигура — трапеция ровно с одной парой параллельных сторон и что две стороны, введённые как основания, и есть эта параллельная пара: поменяйте местами основание и боковую сторону — и страница посчитает высоту другой фигуры и ни об одной ошибке не сообщит, ведь четыре числа, из которых с разностью оснований складывается правильный треугольник, всегда дают какой-нибудь ответ. Оба основания считаются длинами, которые не могут быть отрицательными. Равные основания сообщаются как ошибка, а не как ответ, и это сделано намеренно, но знать это стоит: фигура в таком случае — параллелограмм, и его высота действительно не определяется четырьмя сторонами, поэтому страница, вернувшая число, просто его выдумала бы. Сверх сообщения об ошибке страница не говорит, в каком из трёх вырожденных случаев вы находитесь: сложенная трапеция с высотой 0 получает ответ, а слишком короткие боковые стороны отклоняются, и разница между этими двумя случаями — один сантиметр на одной боковой стороне. Четыре знака после запятой — ширина записи, общая с другими страницами про площадь в этом подразделе, а не заявка на точность: сторона, измеренная с точностью до сантиметра, сдвигает высоту сильнее, чем четвёртый знак. Ничего здесь не учитывает отходы, ширину реза и неровность земли, поэтому возвращённая площадь — это площадь описанной фигуры, а не количество материала для заказа.

Как найти площадь трапеции по четырём сторонам?

Сначала найдите высоту, потом усредните основания и умножьте. Основания различаются на некоторую величину Δ; эта разность вместе с двумя боковыми сторонами образует треугольник, и высота трапеции равна высоте этого треугольника. Для оснований 4 и 10 и боковых сторон 5 и 5: разность равна 6, каждая боковая сторона забирает по 3, высота равна √(25 − 9) = 4, среднее оснований равно 7, а площадь — 28 квадратных сантиметров.

Почему страница отклоняет некоторые наборы из четырёх сторон?

Потому что большинство наборов из четырёх сторон трапецию не описывают. Две боковые стороны должны быть способны перекрыть разность оснований — точно так же, как две короткие стороны треугольника должны перекрыть самую длинную. Основания 10 и 4 различаются на 6, поэтому боковые стороны 4 и 2 дотягиваются еле-еле и высота равна 0, а стороны 3 и 2 не перекроют 6 никак, и такой фигуры не существует. Страница сообщает об этом вместо того, чтобы вернуть отрицательное число из-под корня.

А если два основания одинаковой длины?

Тогда фигура — параллелограмм, и четыре стороны её больше не определяют. Стороны 5, 5, 6 и 6 описывают прямоугольник 6 на 5 с высотой 5, а ещё фигуру, наклонённую почти в плоскость, с высотой почти нулевой: стороны одни и те же, площади разные. Эта страница сообщает об ошибке, а не выбирает одну из них за вас. Калькулятор площади параллелограмма принимает вместо этого основание и высоту и ответит на такой вопрос напрямую.

Что такое равнобедренная трапеция и чем она проще?

Это трапеция, у которой две боковые стороны равны. Тогда разность оснований делится между ними поровну, поэтому каждая боковая сторона и половина разности образуют прямоугольный треугольник, а высота равна √(боковая² − (Δ ÷ 2)²). При основаниях 4 и 10 и равных боковых сторонах Δ равна 6, её половина равна 3, и боковая сторона 5 даёт √(25 − 9) = 4. Первая строка таблицы — как раз этот случай, и фигура у него симметричная: углы при основаниях равны и диагонали тоже равны.

Треугольник — это частный случай трапеции?

Арифметически да, когда одно из оснований равно 0. Среднее оснований тогда превращается в половину оставшегося основания, и формула площади становится половиной произведения основания на высоту, то есть формулой треугольника. Введите верхнее основание 0, боковые стороны 6 и 8 и нижнее основание 10 — и страница вернёт 24 квадратных сантиметра, тот же ответ, который калькулятор площади треугольника даёт для треугольника 6-8-10. Считать ли треугольник трапецией — вопрос определения, но формуле это безразлично.

Почему высота не входит в число четырёх сторон?

Потому что в трапеции она вообще не сторона: это расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными основаниями, и лежит оно внутри фигуры, а не по её границе. Это единственная величина, которую нельзя получить, обойдя фигуру рулеткой, и именно поэтому такая страница и нужна: она выводит высоту из тех четырёх сторон, которые измерить можно. Высота совпадает с более короткой боковой стороной только в вырожденном случае, когда эта сторона стоит перпендикулярно обоим основаниям.

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)