Калькулятор прямоугольника
Результат
Площадь
- Периметр
- 14,0000 cm
- Диагональ
- 5,0000 cm
Калькулятор прямоугольника принимает длину и ширину прямоугольника и возвращает три его измерения: площадь, периметр и диагональ. Ничего неожиданного на этой странице не будет ни для кого, кто прошёл школу, и в этом-то и смысл: именно на прямоугольнике три разных вида измерения, с которыми имеет дело всё это семейство страниц, различаются отчётливее всего, потому что все три берут одни и те же два входа и все три ведут себя по-разному, когда эти входы меняются. Площадь — это длина, умноженная на ширину, и она отвечает на вопрос, сколько поверхности прямоугольник занимает. Периметр — это удвоенная сумма длины и ширины, и он отвечает на вопрос, сколько у него кромки, — а это и есть вопрос, который вы задаёте, покупая багет или окантовочную ленту. Диагональ — это квадратный корень из суммы квадратов длины и ширины, и она отвечает на вопрос, каково расстояние от одного угла до противоположного, — а это вопрос, который вы задаёте, проверяя, пролезет ли что-нибудь в дверной проём или поместится ли поперёк комнаты. Первые две формулы — школьные. Третья — это теорема Пифагора, и стоит заметить, что работу здесь делает именно она: диагональ разрезает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, длина и ширина — это два катета, а диагональ — гипотенуза, и потому ответ здесь есть корень из суммы квадратов, а не что-нибудь попроще. Если вы уже знаете две стороны прямоугольного треугольника, вы уже умеете пользоваться этой страницей, а если нет — соседняя страница про теорему Пифагора рассказывает об этом отдельно. Длина и ширина здесь полностью равноправны: страница не проверяет, какая из них больше, и не должна, — все формулы симметричны относительно них, а значит, перестановка чисел местами ничего не меняет.
Частые прямоугольники, от 4 на 3 до плоского
| Длина (cm) | Ширина (cm) | Площадь (cm²) | Периметр (cm) | Диагональ (cm) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 12 | 14 | 5 |
| 5 | 5 | 25 | 20 | 7.0711 |
| 6 | 4 | 24 | 20 | 7.2111 |
| 12 | 5 | 60 | 34 | 13 |
| 10 | 10 | 100 | 40 | 14.1421 |
| 100 | 50 | 5000 | 300 | 111.8034 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 14 | 7 |
Восемь прямоугольников, и первая строка — та, с которой страница открывается. Столбец, который стоит читать внимательно, — периметр, потому что он повторяется: первая и последняя строки обе дают 14, а вторая и третья обе дают 20. Это не арифметическая описка в таблице, а тот факт, что периметр не задаёт форму: у 5 на 5 и у 6 на 4 кромки одинаково, а площади и диагонали совсем разные, и потому страница спрашивает два числа, а не одно. Четвёртая строка — прямоугольник 5-12-13, единственный здесь, у которого все три величины целые, и его стоит держать рядом с 4 на 3 как вторую проверку. Пятая строка — квадрат 10 на 10, у которого диагональ 14,1421: квадратный корень, который никогда не заканчивается, и правильный ответ для квадрата такого размера. Шестая строка намеренно большая, чтобы показать, как площадь убегает от двух других: при 100 на 50 площадь равна 5000, а периметр всего 300, и диагональ 111,8034, потому что площадь идёт как квадрат размера, а две другие — как сам размер. Последняя строка — прямоугольник, сплющенный до нулевой ширины, у которого площадь 0, а периметр всё ещё 14. Каждое число здесь пересчитывается из своей длины и ширины при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака после запятой — те же четыре знака, что и на панели результатов. Числа приведены как есть: в самой таблице десятичный разделитель — точка (14.1421, а не 14,1421), а тысячи не группируются (5000, а не 5000), потому что значения считает машина, а не пишет текст.
Формула
A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)
- Длина
- Более длинная из двух сторон, в сантиметрах. Страница не проверяет, что она длиннее: если поменять два поля местами, получатся ровно те же три ответа, потому что все формулы здесь обращаются с длиной и шириной одинаково
- Ширина
- Вторая сторона, в сантиметрах, под прямым углом к длине. Вместе с длиной она задаёт прямоугольник полностью: прямоугольнику нужны два независимых числа, тогда как квадрату хватает одного, а треугольнику нужно три
- Площадь
- Поверхность, которую прямоугольник занимает, в квадратных сантиметрах, то есть длина, умноженная на ширину. Это единственная из трёх величин, которая растёт как квадрат размера, а не как сам размер: удвойте обе стороны — и площадь вырастет вчетверо
- Периметр
- Расстояние по всему контуру, в сантиметрах: удвоенная сумма длины и ширины, по разу на каждую из двух пар сторон. Это то измерение, которое нужно для всего, что идёт по кромке, и то, которое меньше всего говорит о форме, потому что один и тот же периметр есть у многих разных прямоугольников
- Диагональ
- Расстояние по прямой от одного угла до противоположного, в сантиметрах. Это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного длиной и шириной, и всегда самая длинная прямая, которая помещается внутри прямоугольника
- l² + w²
- Сумма двух квадратов, взятая до извлечения корня, а не после. Это теорема Пифагора в той форме, в которой её использует прямоугольник, и именно поэтому диагональ немного длиннее длины, но никогда не бывает длиной, сложенной с шириной
- Четыре знака после запятой
- Ширина, в которой печатается каждая величина. Площадь и периметр точны тогда же, когда точны оба входа, а диагональ почти никогда: это квадратный корень, поэтому она обычно несёт за собой вереницу цифр, и четыре знака — ширина записи, а не заявка на точность
Три величины отвечают на три разных практических вопроса об одном и том же предмете, и понять, какая из них нужна, — это почти вся работа. Половое покрытие, краску, газон и ткань покупают по площади, поэтому именно этот столбец читают, когда прямоугольник — это поверхность. Плинтус, окантовку, рамы, ограждения и отделку покупают по длине, поэтому нужен периметр; и стоит знать, что один периметр форму не задаёт: у комнаты 4 на 3 и у полосы 7 на 0 плинтуса одинаково, и это в равной мере верно и бесполезно. Диагональ всплывает, когда прямоугольник куда-то пропихивают или вставляют: дверной проём, проверяемая на прямоугольность картинная рама, экран, объявленный по диагонали, а не по сторонам, или самый длинный прямой предмет, который ляжет в коробку. Это же и самый быстрый способ проверить, что прямоугольник действительно прямоугольный: измерьте обе диагонали всего, что должно быть прямоугольным, и если они совпадут, углы прямые, — этим приёмом пользуются и столяры на комнатах, и багетчики на паспарту.
Разобранные примеры
Прямоугольник 4 на 3
- Площадь: 4 × 3 = 12
- Периметр: 2 × (4 + 3) = 14
- Диагональ: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Это тот ввод, с которым страница открывается, и единственный прямоугольник, у которого все три ответа — небольшие целые числа. Это треугольник 3-4-5, сложенный пополам по гипотенузе, и именно поэтому здесь всё выходит чисто: диагональ этого прямоугольника — один из древнейших целочисленных прямоугольных треугольников. Если вы вообще когда-нибудь будете проверять вручную только одну строку этой страницы, проверяйте эту: каждый шаг — арифметика, которую можно проделать без калькулятора.
Квадрат, 5 на 5
- Площадь: 5 × 5 = 25
- Периметр: 2 × (5 + 5) = 20
- Диагональ: √(5² + 5²) = √50 = 7,0710678…, что округляется до 7,0711
Прямоугольник, у которого стороны случайно оказались равны, то есть квадрат, но отдельная страница ему не нужна: введите одно и то же число в оба поля, и все три формулы дадут верные ответы. Диагональ равна 5√2, а это квадратный корень, который никогда не заканчивается, — поэтому соседний калькулятор квадрата печатает те же 7,0711 для стороны 5. Две страницы, одно число, и оно намеренно одно и то же.
Прямоугольник 6 на 4
- Площадь: 6 × 4 = 24
- Периметр: 2 × (6 + 4) = 20
- Диагональ: √(36 + 16) = √52 = 7,2111025…, что округляется до 7,2111
Та строка, которую стоит приложить к предыдущей: этот прямоугольник длиннее и тоньше, чем 5 на 5, он покрывает чуть меньше земли — 24 против 25, — и у него ровно тот же периметр 20, но диагональ у него 7,2111 против 7,0711. Одинаковая длина кромки, разная форма, и замечает это именно диагональ. В этом и причина, по которой периметр сам по себе — слабое описание прямоугольника.
Прямоугольник 5-12-13
- Площадь: 12 × 5 = 60
- Периметр: 2 × (12 + 5) = 34
- Диагональ: √(144 + 25) = √169 = 13
Второй целочисленный прямоугольный треугольник на этой странице, и побольше. Прямоугольник 5-12-13 стоит запомнить как вторую проверку в дополнение к 3-4-5, потому что он достаточно велик, чтобы ошибка в масштабе стала заметной: прямоугольник 12 на 5 метров — правдоподобная комната, а его диагональ, ровно 13 метров, — это измерение, которое можно проверить рулеткой, а не формулой.
Прямоугольник без ширины
- Площадь: 7 × 0 = 0
- Периметр: 2 × (7 + 0) = 14
- Диагональ: √(49 + 0) = 7
Ширина ноль допустима, и все три выхода, которые она даёт, верны и означают при этом разное. Прямоугольник расплющился в отрезок: он не покрывает никакой площади, поэтому площадь равна 0; диагонали у него, можно сказать, нет, поэтому она схлопывается на саму длину и равна 7; а периметр по-прежнему равен 2 × 7 = 14, то есть это расстояние вдоль отрезка до конца и обратно, дважды. Периметр у фигуры без площади выглядит ошибкой, но ею не является.
Ограничения
Страница только про прямоугольники: четыре стороны, четыре прямых угла, противоположные стороны равны. Параллелограмм, который не является прямоугольником, имеет ту же форму «два входа — три выхода», но другую диагональ, и этим занимается соседняя страница про параллелограмм. Величины выводятся в сантиметрах и квадратных сантиметрах независимо от того, что выбрано в списке единиц, поэтому длина, введённая в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, и переводить придётся самому. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявка на точность: площадь и периметр точны тогда же, когда точны входы, а диагональ есть квадратный корень, и её последние две цифры ничего не значат, если входы не были точными с самого начала. Страница не проверяет, какой из двух входов длиннее, и не нуждается в этом: все формулы здесь симметричны относительно длины и ширины, поэтому их перестановка даёт те же три ответа и не выдаёт предупреждения. Ширина, равная нулю, принимается и даёт настоящий, хоть и вырожденный, набор ответов; страница не считает её пустым полем. Ничего здесь не умеет работать с прямоугольником со скруглёнными углами, с прямоугольником на искривлённой поверхности или с толщиной прямоугольной доски либо бруса — это третье измерение, поля для которого у страницы нет.
Частые вопросы
- Имеет ли значение, какую сторону я введу в поле длины?
- Нет. Все формулы на этой странице обращаются с длиной и шириной одинаково: площадь их перемножает, периметр складывает, а диагональ возводит в квадрат и складывает, — поэтому перестановка двух полей даёт ровно те же три ответа. Страница не проверяет, какая из сторон длиннее, и не нуждается в этом. Если вам проще всегда ставить первым большее число, это привычка, а не требование.
- Почему диагональ длиннее длины, но короче суммы длины и ширины?
- Потому что это гипотенуза прямоугольного треугольника, который диагональ отсекает, то есть квадратный корень из суммы квадратов длины и ширины. Возведение в квадрат, сложение и извлечение корня всегда дают что-то среднее: больше каждой стороны по отдельности, ведь перед извлечением корня прибавилось положительное число, и меньше их суммы, ведь квадрат суммы больше суммы квадратов. Разница между диагональю и суммой длины и ширины — это то, что вы экономите, идя напрямик, а не в обход.
- Периметр у двух разных прямоугольников вышел одинаковым. Это ошибка?
- Нет, и таблица устроена так, чтобы показать это дважды: у 4 на 3 и у 7 на 0 периметр равен 14, а у 5 на 5 и у 6 на 4 он равен 20. Периметр задаёт, сколько у прямоугольника кромки, но не его форму: один и тот же периметр есть у многих разных прямоугольников, а площади и диагонали у них разные. Чтобы описать прямоугольник полностью, нужны два числа — ровно поэтому страница и спрашивает два.
- Можно ли этим проверить, прямой ли угол?
- Да, и это самый старый приём из существующих. Измерьте обе диагонали того, что проверяете. Если они равны, четыре угла прямые и перед вами прямоугольник; если нет — перед вами параллелограмм или фигура с погнутым углом, и более длинная диагональ лежит со стороны тупого угла. В большой комнате сравнить две измеренные диагонали проще, чем пытаться измерить угол в 90 градусов, — поэтому строители так и делают.
- Почему при нулевой ширине периметр равен 14, а не отсутствует?
- Потому что плоский прямоугольник — всё ещё фигура, просто вырожденная. Сплющив его до нулевой ширины, вы превращаете его в отрезок длиной 7, который не занимает площади, поэтому площадь равна 0, а диагональ ложится на саму длину. Формуле периметра всё равно: удвоенная сумма длины и ширины есть удвоенная семёрка, то есть расстояние вдоль отрезка и обратно, по разу на каждую из двух длинных сторон, которые теперь лежат друг на друге. Ответ настоящий, и страница считает ноль вводом, а не пустым полем.
- Чем это отличается от калькулятора квадрата?
- Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, поэтому здесь всё работает и для квадрата: поставьте одно и то же число в оба поля, и три ответа будут верными. Разница в направлении вопроса. Эта страница принимает два числа и выдаёт ответы; страница квадрата принимает любую одну из величин — сторону, периметр или площадь — и выводит из неё остальные, потому что у квадрата всего одна степень свободы, а у прямоугольника их две. Берите эту страницу, когда знаете обе стороны, а страницу квадрата — когда знаете одно измерение и хотите получить остальные.
Источники
- Rectangle — the four-sided figure with right angles, with the area, the perimeter and the diagonal this page computes, and the note that the diagonal follows from the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — the relation the diagonal output rests on, that the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides, which for a rectangle is the length squared plus the width squared — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family a rectangle belongs to, with the inclusion tree showing that every square is a rectangle and every rectangle is a parallelogram, which is why the square and parallelogram pages are the ones linked from here — Wolfram MathWorld (United States)