Калькулятор площади трапеции
Результат
Площадь
Калькулятор площади трапеции принимает две параллельные стороны и расстояние между ними и возвращает, сколько поверхности занимает фигура, в квадратных сантиметрах. Трапеция — это четырёхугольник с одной парой параллельных противоположных сторон: эти две и есть основания, а всё остальное следует из них. Формула площади трапеции — это среднее двух оснований, умноженное на высоту, и вот в усреднении и стоит разобраться, потому что оно объясняет, почему эта страница общее страниц по соседству. Возьмите трапецию, скопируйте её, поверните копию на пол-оборота и приставьте к исходной вдоль одной из наклонных сторон — получится параллелограмм, основание которого равно сумме двух оснований, а высота та же. Трапеции принадлежит половина этого, а это то же самое, что сказать «среднее двух оснований, умноженное на высоту». Когда основания случайно оказываются равны, усреднение ничего не меняет и формула сворачивается в «основание на высоту» — то есть в параллелограмм. Когда одно из них равно нулю, среднее равно половине другого, и формула сворачивается в формулу треугольника. Так что трапеция — не какая-то отдельная фигура, которой понадобилось собственное правило: это общий случай, а те две — то, во что он превращается на концах. Перед тем как начать вводить числа, стоит узнать одну вещь, и она экономит на удивление много времени: неважно, какое основание в какое поле попало. Формула складывает их прежде всего остального, поэтому трапеция, стоящая на длинной стороне, и та же трапеция, стоящая на короткой, дают один ответ, и верхнее основание длиннее нижнего — не ошибка, а просто фигура перевёрнута. А вот слово «высота» требует внимания. Это расстояние по перпендикуляру между двумя основаниями, а не длина наклонной стороны, — по той же причине, что и на странице про треугольник.
Площадь трапеции по двум параллельным сторонам и расстоянию между ними
| Верхнее основание (cm) | Нижнее основание (cm) | Высота (cm) | Площадь (cm²) |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | 32 |
| 5 | 9 | 6 | 42 |
| 3 | 7 | 2 | 10 |
| 8 | 8 | 5 | 40 |
| 0 | 10 | 4 | 20 |
| 12 | 4 | 7 | 56 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 9 | 10 | 50 |
Восемь трапеций и четыре столбца, и две строки из этих восьми — причина, по которой страница существует. Четвёртая — строка параллелограмма: два основания 8 при высоте 5 дают 40, то самое, что страница параллелограмма печатает для такой фигуры, так что эта таблица и та сходятся ровно на этой строке. Пятая — строка треугольника: верхнее основание 0 при нижнем основании 10 и высоте 4 даёт 20, то же, что даёт страница треугольника, если ввести основание 10 и высоту 4. Прочитанные вместе, эти две строки говорят, что трапеция — общий случай, а остальные фигуры — её концы. Первая строка — та пара, с которой страница открывается, а шестая — её зеркальное отражение: верхнее основание 12 над нижним основанием 4 — это фигура, стоящая на своей длинной стороне, и перестановка двух чисел местами приводит к тем же 56: попробуйте и убедитесь, что ответ меняться отказывается. Седьмая — маленький параллелограмм, два основания по 2 при высоте 3, и общая формула справляется с ним без всяких особых случаев. Каждое значение здесь пересчитывается из своих трёх входов при сборке страницы, в сантиметрах.
Формула
A = (a + b) ÷ 2 × h
- a
- Одна из двух параллельных сторон, в сантиметрах. Какую из них вы назовёте a, а какую b, неважно: они складываются, поэтому в другом порядке получается тот же ответ
- b
- Другая параллельная сторона, в сантиметрах. Она может быть длиннее или короче a; верхнее основание длиннее нижнего — это просто фигура, перевёрнутая вверх ногами
- h
- Расстояние по перпендикуляру между двумя основаниями, в сантиметрах, — отмеренное под прямым углом к обоим и никогда вдоль наклонной стороны
- (a + b) ÷ 2
- Среднее двух оснований, то есть полусумма оснований, — и в нём весь фокус формулы. Площадь трапеции ведёт себя так, как если бы фигура была прямоугольником, ширина которого равна среднему двух её оснований
- Два
- Делитель, и причина, по которой эта страница содержит две другие фигуры. Когда основания равны, деление пополам и усреднение взаимно сокращаются и возвращается «основание на высоту»; когда одно основание равно нулю, среднее равно половине другого и появляется половина из формулы треугольника
- Площадь
- Сколько поверхности заключает в себе трапеция, в квадратных сантиметрах, — всегда в этих единицах, что бы ни было выбрано в списках
- Четыре знака после запятой
- Ширина записи ответа. Деление пополам суммы двух оснований точно для целых сантиметров, поэтому дробь появляется только тогда, когда её несут сами входные числа
Всё, что имеет форму трапеции и оценивается или покрывается по площади. Крыши — классический случай и причина, по которой у этой фигуры есть название в лексиконе любого кровельщика: вальмовая крыша, фронтон, видимый сбоку, трапеция между двумя слуховыми окнами — всё это одна и та же формула, а кровлю заказывают квадратными метрами. Земля — второй старый случай. Участок с двумя параллельными сторонами и двумя непараллельными и есть трапеция, а участок с бо́льшим числом сторон обычно разбивают на трапеции и треугольники — именно так землемеры измеряли неправильные участки задолго до появления калькуляторов. За этими двумя случаями идёт всё то же самое, где предмет шире с одного конца, чем с другого: сужающаяся подъездная дорожка, клин земли между двумя расходящимися дорогами, акустическая панель, участок воздуховода, который расширяется, столешница в форме трапеции, грань плотины, водоотводный лоток. Полезно знать её и по причине, к трапециям отношения не имеющей. Поскольку случай равных оснований даёт параллелограмм, а случай нулевого основания — треугольник, эта одна формула покрывает площадь любого четырёхугольника с парой параллельных сторон: запомнив только её, вы бесплатно получаете и те две, и прямоугольник в придачу. Именно в этом смысле страница и является общей.
Разобранные примеры
Верхнее основание 6, нижнее 10 и высота 4
- Складываем два основания: 6 + 10 = 16
- Делим пополам, чтобы получить среднюю ширину: 16 ÷ 2 = 8
- Умножаем на высоту: 8 × 4 = 32
Это та пара, с которой страница открывается. Это ещё и та строка, на которой можно показать, что порядок оснований не важен: поставьте 10 в верхнее поле, а 6 в нижнее, и снова получится 32. Оба складываются раньше, чем происходит что-либо ещё, поэтому поля — вовсе не верхнее и нижнее, а просто две параллельные стороны.
Верхнее основание 12, нижнее 4 и высота 7
- Складываем два основания: 12 + 4 = 16
- Делим пополам: 16 ÷ 2 = 8
- Умножаем на высоту: 8 × 7 = 56
Трапеция, у которой верхнее основание длиннее нижнего; это не ошибка и ничем существенным не другая фигура — просто она стоит на более длинной своей стороне. Поскольку оба основания складываются раньше, чем происходит что-либо ещё, ввод 4 сверху и 12 снизу даёт те же 56. Попробуйте оба способа и убедитесь, что ответ меняться отказывается.
Верхнее основание 8 и нижнее 8
- Складываем два основания: 8 + 8 = 16
- Делим пополам: 16 ÷ 2 = 8
- Умножаем на высоту: 8 × 5 = 40
Граница с параллелограммом. Когда два основания равны, усреднять нечего, и формула делает то же, что делает страница параллелограмма: основание умножить на высоту, 40. Деление пополам и усреднение взаимно сокращаются в точности, поэтому эта страница и включает ту в себя, а не соперничает с ней.
Верхнее основание 0 и нижнее 10
- Складываем два основания: 0 + 10 = 10
- Делим пополам: 10 ÷ 2 = 5
- Умножаем на высоту: 5 × 4 = 20
Граница с треугольником и другой конец формулы. Верхнее основание, равное нулю, означает, что фигура сжалась в точку, то есть это треугольник с основанием 10 и высотой 4, — а страница треугольника даёт 20 ровно для этих двух чисел. Среднее от 0 и 10 равно 5, то есть половине основания, а это собственное деление пополам из формулы треугольника, пришедшее с другой стороны.
Верхнее основание 1, нижнее 9 и высота 10
- Складываем два основания: 1 + 9 = 10
- Делим пополам: 10 ÷ 2 = 5
- Умножаем на высоту: 5 × 10 = 50
Узкая полоса поверх гораздо более широкой — именно так выглядит сужающийся участок или расширяющийся воздуховод. Среднее от 1 и 9 равно 5, и 5 — это ещё и среднее от 0 и 10, а это тот же факт, что и в строке выше, только увиденный на другой паре чисел. Ничего здесь не потребовало дробей, и ничего не округлялось.
Ограничения
Эта страница считает площадь и ничего больше. Она не даёт ни периметра, ни наклонных сторон, ни высоты, ни углов и не работает в обратную сторону — от площади к недостающему измерению, — потому что площадь сама по себе трапецию не определяет и искать в обратную сторону просто нечего. Высота — это расстояние по перпендикуляру между двумя основаниями, а не длина наклонной стороны; если единственное измерение, которое у вас есть, идёт вдоль наклонного ребра, для этого поля оно не годится. Оба основания и высота должны быть в одних и тех же единицах, а ответ всегда в квадратных сантиметрах, что бы ни было выбрано в списках, поэтому фигура, измеренная в дюймах, вернётся числом в квадратных сантиметрах, которое придётся разделить на 6,4516, чтобы прочитать его в квадратных дюймах. У фигуры должна быть ровно одна пара параллельных сторон: произвольный четырёхугольник без параллельных сторон придётся разбивать на треугольники, а фигура с двумя парами параллельных сторон — это параллелограмм, который эта страница тоже посчитает, но у которого есть собственная страница. Трапеция, начерченная на кривой поверхности, вне области применения, как и объём тела с трапециевидными гранями.
Частые вопросы
- Имеет ли значение, какое основание в какое поле вводить?
- Нет, и это стоит знать заранее. Формула складывает их прежде всего остального, поэтому основание 6 с основанием 10 дают один и тот же ответ, как их ни вводи. Верхнее основание длиннее нижнего — тоже не ошибка: это просто значит, что трапеция стоит другой стороной вверх.
- Что такое высота трапеции на самом деле?
- Это расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными сторонами, отмеренное под прямым углом к обеим. Это не длина наклонной стороны, а она всегда длиннее, если фигура наклонена. Предупреждение то же, что и на странице про треугольник, и по той же причине: наклонная сторона, введённая вместо высоты, даёт бо́льшую площадь, которая выглядит совершенно правдоподобно.
- Зачем нужна страница параллелограмма, если эта его покрывает?
- Потому что большинство тех, кому нужна площадь параллелограмма, не думают о нём как о трапеции с двумя равными основаниями, и заставлять их делать этот шаг — работа без всякой пользы. Обе страницы дают ровно одно и то же: введите здесь два основания 8 и высоту 5 — и получите 40, то же самое, что страница параллелограмма печатает для такой фигуры. Пересечение сделано намеренно, и в таблице каждой из страниц есть строка, стоящая ровно на этой точке.
- А если одно из оснований равно нулю?
- Тогда трапеция сжата в точку и представляет собой треугольник, и ответ при этом верный. Верхнее основание 0 при нижнем основании 10 и высоте 4 даёт 20 — те же 20, которые страница треугольника даёт для основания 10 и высоты 4, потому что это одна и та же фигура. Ноль считается настоящим значением, а не пустым полем; оставить поле пустым — другое дело, и тогда вообще не показывается никакого результата.
- Можно ли найти недостающее основание по площади?
- По одной только площади — нет. Площадь трапецию не определяет: трапеций с одинаковой площадью и совершенно разными сторонами бесконечно много, поэтому решать в обратную сторону нечего. Если же известны площадь, высота и одно из оснований, то второе действительно находится из формулы её преобразованием, но это арифметика, которую вы проделаете вручную, а не то, что предлагает эта страница.
- Годится ли это для фигуры с двумя парами параллельных сторон?
- Правильное число она даст, да, ведь фигура с двумя парами параллельных сторон — это параллелограмм, а эта формула, как уже было показано, сворачивается в «основание на высоту», когда основания равны, то есть ровно в случай параллелограмма. Но у такой фигуры есть собственная страница, и пользоваться ею обычно понятнее, чем считать прямоугольник трапецией.
Источники
- Trapezoid — the shape, the vocabulary of bases and legs, and the area formula this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — what a trapezoid becomes when its two bases are equal, and the base-times-height result it collapses into — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family this shape belongs to, and where the trapezoid sits in it relative to the parallelogram and the rectangle — Wolfram MathWorld (United States)