Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор шестиугольника

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Результат

93,5307 cm²

Площадь

Периметр
36,0000 cm
Большая диагональ
12,0000 cm
Малая диагональ
10,3923 cm
Апофема
5,1962 cm
Внутренний угол
120 °

Калькулятор шестиугольника принимает длину стороны правильного шестиугольника и возвращает шесть его измерений: площадь, периметр, обе диагонали, апофему и внутренний угол. Правильный шестиугольник — это форма ячейки сот, гайки, головки болта и напольной плитки, и встречается он так часто потому, что это самый экономный способ разбить поверхность на равные ячейки без зазоров; поэтому пчёлы нашли его раньше, чем это кто-либо доказал. Другое его достоинство — арифметическое: правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, сходящихся в одной точке, и почти всё остальное следует из одного этого факта. Периметр — это шесть сторон. Длинная диагональ, та, что идёт из угла через центр в противоположный угол, — это две стороны, потому что это два таких треугольника, поставленных вплотную. Короткая диагональ, та, что пропускает ровно один угол, — это высота двух таких треугольников, поставленных спина к спине, то есть квадратный корень из трёх, умноженный на сторону. Площадь — это шесть равносторонних треугольников, каждый из которых равен четверти квадратного корня из трёх, умноженной на квадрат стороны, а шесть таких дают три квадратных корня из трёх, делённые на два и умноженные на квадрат стороны. А апофема — расстояние от центра прямо до середины стороны, оно же радиус окружности, вписанной в шестиугольник, — это половина короткой диагонали, то есть квадратный корень из трёх, делённый на два и умноженный на сторону. Шесть выходов, один вход. На этом единственном входе стоит задержаться, потому что именно он отличает эту страницу от большинства соседних. Прямоугольнику нужно два числа, треугольнику три, произвольному четырёхугольнику и того больше; правильному шестиугольнику нужна только его сторона, потому что слово «правильный» уже зафиксировало все углы на 120 градусах, а все стороны — на одной длине. Меняете сторону — и вся фигура масштабируется вместе с ней: удвойте сторону, и периметр удвоится, диагонали удвоятся, а площадь вырастет вчетверо, ведь площадь всегда идёт по квадрату длины, и эта страница не исключение. Внутренний угол — единственная величина, которая при изменении стороны не двигается вовсе: он зафиксирован на 120 градусах самим фактом того, что сторон шесть, и это стоит увидеть в таблице ниже, где одно и то же число идёт по последнему столбцу каждой строки. Пять величин размера печатаются с четырьмя знаками после запятой, потому что три из них несут квадратный корень из трёх и почти никогда не получаются точными, тогда как периметр и длинная диагональ точны всегда, когда точна сторона; угол — целое число, целым и печатается.

Правильные шестиугольники от стороны 0 до стороны 10

Сторона (cm)Площадь (cm²)Периметр (cm)Длинная диагональ (cm)Короткая диагональ (cm)Апофема (cm)Внутренний угол (°)
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

Восемь шестиугольников, и первая строка — та, с которой страница открывается. Читайте сверху вниз первые два столбца, чтобы увидеть то единственное соотношение, на котором люди и спотыкаются: переход со стороны 5 на сторону 10 удваивает периметр, диагонали и апофему, а площадь идёт с 64,9519 до 259,8076 — вчетверо, а не вдвое, потому что площадь идёт по квадрату длины. Последний столбец — одно и то же 120 в каждой строке, и это свойство, а не ошибка копирования: внутренний угол правильного шестиугольника задан тем, что у него шесть сторон, поэтому он не меняется при изменении размера, и это единственная величина на этой странице, которая переживает обращение стороны в ноль, тогда как все пять остальных схлопываются в ничто. Вторая строка — единичный шестиугольник, где три выхода с квадратным корнем из трёх видны в самом чистом виде: 1,7321 для короткой диагонали и 0,866 для апофемы, то есть √3 и √3 пополам. В третьей строке сидит первое совпадение: у шестиугольника со стороной 2 площадь равна 10,3923, и у шестиугольника со стороной 6 из первой строки короткая диагональ равна тем же 10,3923. Седьмая строка, сторона 10, несёт второе: её апофема равна 8,6603, а это короткая диагональ шестиугольника со стороной 5 — и то и другое есть 5√3, полученное с разных сторон. Две величины, совпадающие в четырёх напечатанных цифрах на одной и той же таблице, — ровно то, что выглядит ошибкой копирования, и обе они настоящие. Последняя строка — сторона ноль, где пять столбцов размера равны нулю и ответ настоящий, а не пропущенный, и где столбец угла по причине, названной выше, по-прежнему равен 120. Каждое число здесь пересчитывается из своей стороны при сборке страницы, в сантиметрах и градусах, и знаков после запятой столько же, сколько в панели результатов. Числа приведены как есть: в самой таблице десятичный разделитель — точка (10.3923, а не 10,3923), потому что значения считает машина, а не пишет текст.

Формула

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s длинная диагональ = 2s короткая диагональ = √3 × s апофема = (√3 ÷ 2) × s внутренний угол = 120°

Сторона
Длина любой из шести сторон в сантиметрах. Вход здесь только один, потому что у правильного шестиугольника все шесть сторон равны, а все шесть углов зафиксированы на 120 градусах, так что это число само определяет всю фигуру
Площадь
Пространство внутри шестиугольника в квадратных сантиметрах: три квадратных корня из трёх, делённые на два и умноженные на квадрат стороны. Шесть равносторонних треугольников, из которых он состоит, — вот откуда берётся эта константа, а не формула, которую надо заучивать
Периметр
Расстояние по всему контуру в сантиметрах: шесть сторон, ведь все шесть одинаковы. Это единственный выход, который точен всегда, когда точна сторона, поэтому именно с ним и стоит сверять остальные
Длинная диагональ
Расстояние из одного угла прямо через центр в противоположный угол, в сантиметрах. Она ровно в два раза больше стороны, а значит, это диаметр окружности, описанной вокруг шестиугольника, и заодно самая широкая мерка, которую через эту фигуру можно снять
Короткая диагональ
Расстояние между двумя углами, между которыми ровно один угол, в сантиметрах, то есть квадратный корень из трёх, умноженный на сторону. Она чуть меньше удвоенной апофемы и чуть больше полутора сторон, и она делит шестиугольник на прямоугольник и два треугольника
Апофема
Расстояние от центра прямо до середины стороны в сантиметрах, то есть квадратный корень из трёх, делённый на два и умноженный на сторону. Это радиус окружности, вписанной в шестиугольник, и она ровно вдвое меньше короткой диагонали: это одна и та же мерка, увиденная из центра и из угла
√3
Квадратный корень из трёх, примерно 1,7320508. Он появляется в площади, в короткой диагонали и в апофеме, и он же — высота равностороннего треугольника со стороной единица: то число, которое превращает сторону треугольника в его высоту
Внутренний угол
Угол между двумя соседними сторонами внутри шестиугольника, равный 120 градусам у любого правильного шестиугольника и потому не зависящий от стороны вовсе. Он следует из правила, по которому сумма углов любого многоугольника равна числу сторон минус два, умноженному на 180 градусов: шесть сторон, четыре треугольника, 720 градусов, поделённые между шестью равными углами. Это единственный выход на этой странице, который шестиугольник покрупнее печатает точно так же
Четыре знака после запятой
Ширина записи каждого выхода. Площадь, короткая диагональ и апофема почти всегда несут в себе √3 и потому почти никогда не заканчиваются; периметр и длинная диагональ точны, и печатать их с четырьмя знаками — это ширина записи, а не заявление о точности. Внутренний угол равен ровно 120, поэтому он печатается целым числом вообще без запятой: ширина задаётся для каждого выхода отдельно, а не одна на всю страницу

Страница предназначена для шестиугольника как физического объекта, и именно соты — причина, по которой он то и дело всплывает. Если вы облицовываете поверхность и хотите знать, сколько материала уйдёт на шестиугольную плитку, нужна площадь, и полезно знать, что у шестиугольника со стороной единица площадь примерно 2,6, тогда как у квадрата со стороной единица — 1: шестиугольник покрывает больше земли при той же длине края, и именно эта экономичность заставляет копировать соты в упаковке и в панелях. Если вы вырезаете плитки из листа, апофема говорит, на каком расстоянии друг от друга располагать центры, а две диагонали — сколько места нужно готовой фигуре: длинная по самому широкому месту, короткая между размерами «по граням», которые и определяют, сядет ли гайка на ключ. Головку болта называют размером «под ключ», то есть по удвоенной апофеме, и ключ под неё называют так же, поэтому обращаться надо к выходу с апофемой, а не к длинной диагонали. А если вы проверяете чертёж, у двух диагоналей есть жёсткое отношение: короткая равна ровно половине длинной, умноженной на квадратный корень из трёх, так что у посчитанного шестиугольника, диагонали которого в это отношение не укладываются, в нём опечатка, а не разница в округлении.

Разобранные примеры

  1. Сторона 6

    1. Периметр: 6 × 6 = 36
    2. Длинная диагональ: 2 × 6 = 12
    3. Апофема: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, что округляется до 5,1962
    4. Короткая диагональ: √3 × 6 = 10,392304…, что округляется до 10,3923
    5. Площадь: (3√3 ÷ 2) × 36 = 93,530743…, что округляется до 93,5307
    6. Внутренний угол: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 градусов, и он одинаков для любого правильного шестиугольника

    Это тот ввод, с которым страница открывается. Два из шести выходов точны — периметр 36 и длинная диагональ 12, — а три несут в себе квадратный корень из трёх и печатаются с четырьмя цифрами после запятой. Внутренний угол — шестой: 120 градусов, то же число, которое таблица ниже печатает во всех своих восьми строках. Проверка, которую стоит сделать один раз: апофема ровно вдвое меньше короткой диагонали, 5,1962 против 10,3923, и это выполняется при любой стороне, а не только при этой.

  2. Сторона 1

    1. Периметр: 6 × 1 = 6
    2. Длинная диагональ: 2 × 1 = 2
    3. Короткая диагональ: √3 × 1 = 1,7320508…, что округляется до 1,7321
    4. Апофема: 0,8660254…, что округляется до 0,866
    5. Площадь: (3√3 ÷ 2) × 1 = 2,5980762…, что округляется до 2,5981
    6. Внутренний угол: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 градусов, и он одинаков для любого правильного шестиугольника

    Единичный шестиугольник, и именно по нему стоит запоминать константы: у правильного шестиугольника со стороной единица площадь равна 2,5981, короткая диагональ равна 1,7321, а апофема равна 0,8660. Он ещё и обыгрывает квадрат со стороной единица, у которого площадь равна 1, — вот арифметика, стоящая за пчелиными сотами. Апофема печатается как 0,866, а не как 0,8660, потому что четвёртый знак после запятой — нуль в конце, а печатается число в самой короткой возможной записи; у внутреннего же угла, 120, дробной части для печати нет вовсе.

  3. Сторона 2

    1. Периметр: 6 × 2 = 12
    2. Длинная диагональ: 2 × 2 = 4
    3. Короткая диагональ: √3 × 2 = 3,4641016…, что округляется до 3,4641
    4. Апофема: 1,7320508…, что округляется до 1,7321
    5. Площадь: (3√3 ÷ 2) × 4 = 10,392304…, что округляется до 10,3923
    6. Внутренний угол: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 градусов, и он одинаков для любого правильного шестиугольника

    Строка, которая удивляет людей: площадь этого шестиугольника равна 10,3923, а у шестиугольника со стороной 6 короткая диагональ равна 10,3923. Две разные величины у двух разных шестиугольников, печатающиеся одними и теми же четырьмя цифрами, — это совпадение чисел, а не повторённое вычисление, и о нём стоит знать заранее, чтобы, заметив его в справочной таблице, не подумать худшее. Внутренний же угол — наоборот, единственный столбец без неожиданностей: 120 в каждой строке.

  4. Сторона 10

    1. Периметр: 6 × 10 = 60
    2. Длинная диагональ: 2 × 10 = 20
    3. Короткая диагональ: √3 × 10 = 17,320508…, что округляется до 17,3205
    4. Апофема: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, что округляется до 8,6603
    5. Площадь: (3√3 ÷ 2) × 100 = 259,807621…, что округляется до 259,8076
    6. Внутренний угол: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 градусов, и он одинаков для любого правильного шестиугольника

    Шестиугольник со стороной десять сантиметров — примерно размер небольшой плитки. Апофема 8,6603 — второе из двух совпадений на этой странице: это те же четыре цифры, что и короткая диагональ шестиугольника со стороной 5, поскольку и то и другое есть 5√3, увиденное с разных мест. А число, которое стоит вынести из этой строки, — длинная диагональ 20 против короткой 17,32: по углам шестиугольник шире, чем по граням, примерно на 15 процентов, и именно поэтому гайку и ключ к ней называют по размеру под ключ.

  5. Сторона 0

    1. Периметр: 6 × 0 = 0
    2. Длинная диагональ: 2 × 0 = 0
    3. Короткая диагональ: √3 × 0 = 0
    4. Апофема: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    5. Площадь: (3√3 ÷ 2) × 0 = 0
    6. Внутренний угол: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 градусов, и он одинаков для любого правильного шестиугольника

    Ноль — это допустимый ввод, а не пустое поле. Шестиугольник со стороной ноль — это одна точка, и все пять измерений размера равны нулю, поэтому строка нулей — это настоящий ответ, а не признак того, что что-то не заполнилось. Исключение — внутренний угол, он остаётся 120 градусов, потому что это свойство шести сторон, а не размера: форма схлопнулась, но другой формой не стала. Страница различает ноль и пустое поле: пустое не показывает результата вообще, потому что считать не из чего.

Ограничения

Страница рассчитана только на правильные шестиугольники: все шесть сторон одной длины и все шесть углов по 120 градусов. У шестиугольника неправильной формы нет единой длины стороны, и одним числом его не описать, а страница молча выдаст величины правильного шестиугольника с такой стороной, не сообщив, что задуманная вами фигура другая. Внутренний угол зафиксирован на 120 градусах при любом размере и печатается неизменным в каждой строке таблицы, включая строку, где сторона равна нулю; внешнего угла и центрального угла страница не даёт, как и вообще никакого угла для неправильного шестиугольника, потому что единого ответа тут нет. Выходные значения — в сантиметрах, квадратных сантиметрах и градусах, какая бы единица ни была выбрана в списке, поэтому сторона, введённая в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить самому. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявление о точности: для измеренной стороны её более чем достаточно, а последние две цифры ничего не значат, если вход не был точным. Площадь растёт по квадрату стороны, тогда как периметр и диагонали растут вместе с самой стороной, поэтому при увеличении шестиугольника эти величины меняются с разной скоростью — не меняется вовсе только внутренний угол. Апофема и короткая диагональ напечатаны как два выхода, хотя одна ровно вдвое меньше другой, потому что в разных ремёслах называют именно их, и страница предпочитает напечатать обе, а не заставлять вас делить одну пополам. Ничего из этого не описывает шестиугольник с отверстием, шестиугольник на кривой поверхности или толщину шестиугольной плитки или гайки — это третье измерение, поля для которого здесь нет.

Частые вопросы

Почему для шестиугольника достаточно одного измерения?
Потому что страница рассчитана на правильные шестиугольники, у которых все шесть сторон равны, а все шесть углов зафиксированы на 120 градусах. Эти два факта оставляют на долю размера только одно, и одна длина стороны его решает. Именно это и отличает правильный шестиугольник от прямоугольника, которому нужно два числа, или от произвольного треугольника, которому нужно три.
Что такое апофема и чем она полезна?
Это расстояние от центра шестиугольника прямо до середины стороны, и оно же радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри. Польза в том, что именно так на практике измеряют предметы с плоскими гранями: гайку и подходящий к ней ключ называют размером «под ключ», то есть по удвоенной апофеме, а не по углам, по которым идёт длинная диагональ.
Какая диагональ какая?
Длинная диагональ идёт из угла прямо через центр в противоположный угол и ровно вдвое больше стороны. Короткая диагональ идёт между двумя углами, между которыми стоит один угол, и равна квадратному корню из трёх, умноженному на сторону. Длинная примерно на 15 процентов длиннее короткой, а короткая ровно вдвое больше апофемы.
Почему у трёх выходов четыре знака после запятой, а у остальных ни одного?
Потому что ширина записи задаётся для каждого выхода отдельно, а не для всей страницы. Площадь, короткая диагональ и апофема содержат квадратный корень из трёх, который никогда не заканчивается, поэтому и ответы почти никогда не заканчиваются, и их печатают с четырьмя знаками. Периметр — это шесть сторон, а длинная диагональ — две стороны, поэтому обе точны всегда, когда точна сторона; их печатают с четырьмя знаками как с фиксированной шириной, и конечные нули просто не показываются. Внутренний угол равен ровно 120, поэтому он печатается целым числом вообще без запятой.
Как шестиугольник соотносится с квадратом той же стороны?
Шестиугольник покрывает больше. У правильного шестиугольника со стороной единица площадь примерно 2,6 квадратных единицы против 1 у квадрата со стороной единица, при одинаковой длине края у обоих; но и периметр у него для этого края длиннее — шесть сторон против четырёх, — так что сравнение честно только тогда, когда сформулировано как площадь на единицу длины края. Эта экономичность и есть причина, по которой соты, вкладыши в упаковке и панели радиаторов делают шестиугольными ячейками.
Может ли сторона быть нулевой?
Да, и все шесть выходов возвращаются нулями: это честное описание шестиугольника без размера. Ноль считается настоящим входом, а не пустым полем, поэтому строка нулей — это ответ. Пустое поле — другое дело: когда в нём ничего нет, страница не показывает результата вообще, потому что считать не из чего.
Почему внутренний угол не меняется при изменении стороны?
Потому что это свойство фигуры, а не её размера. Сумма углов любого многоугольника равна числу сторон минус два, умноженному на 180 градусов; для шести сторон это 720 градусов, а правильный шестиугольник делит их поровну между шестью углами, что и даёт по 120. Ни в одной из этих выкладок длина стороны не упоминается, поэтому и у шестиугольника со стороной 1, и у шестиугольника со стороной 10 углы по 120 градусов, — а шестиугольник, сжавшийся в точку, всё равно сообщает 120, и это честный ответ для фигуры, которая потеряла размер, но не форму.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор периметраПериметр основных плоских фигур по длинам их сторон.Калькулятор параллелограммаПлощадь и периметр параллелограмма по основанию и высоте.Калькулятор многоугольникаПо числу сторон — площадь, периметр и углы правильного n-угольника.Калькулятор восьмиугольникаПлощадь, периметр, апофема и три диагонали восьмиугольника.