Калькулятор восьмиугольника

A = 2(1 + √2) × s² P = 8s a = s(1 + √2) ÷ 2 короткая диагональ = s√(2 + √2) средняя диагональ = s(1 + √2) длинная диагональ = s√(4 + 2√2) внутренний угол = 135°

Сторона

Длина любой из восьми сторон в сантиметрах. Как и у любого правильного многоугольника, это единственный вход, который здесь есть, потому что все восемь сторон равны, а все восемь углов зафиксированы на 135 градусах, так что это одно число решает, каким будет размер всей фигуры

Площадь

Пространство, которое занимает восьмиугольник, в квадратных сантиметрах: два умножить на единицу плюс квадратный корень из двух, умноженное на квадрат стороны. Константа равна примерно 4,828, и это та величина, которую стоит держать в голове: восьмиугольник покрывает почти в пять раз больше площади, чем квадрат, построенный на одной его стороне

Периметр

Расстояние по всему контуру в сантиметрах: восемь сторон, ведь все восемь одинаковы. Это единственный выход, который точен всегда, когда точна сторона, поэтому именно с ним стоит сверять остальные, когда результат выглядит неверным

Апофема

Расстояние от центра прямо до середины стороны в сантиметрах, то есть сторона, умноженная на единицу плюс квадратный корень из двух и поделённая пополам. Это радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри восьмиугольника, и именно она задаёт, на каком расстоянии друг от друга стоят плоские стороны: удвоенная апофема — это восьмиугольник, измеренный по граням

Короткая диагональ

Расстояние между двумя углами, между которыми стоит один угол, в сантиметрах, то есть сторона, умноженная на квадратный корень из двух плюс квадратный корень из двух. Она чуть короче средней диагонали и чуть длиннее стороны, а у восьмиугольника она настолько близка к стороне, что на чертеже их легко перепутать

Средняя диагональ

Расстояние между двумя углами, между которыми стоят два угла, в сантиметрах: сторона, умноженная на единицу плюс квадратный корень из двух. Она ровно вдвое больше апофемы, потому что обе — одно и то же выражение с двойкой в разных местах, и именно вокруг неё построена геометрия самого правильного восьмиугольника

Длинная диагональ

Расстояние из одного угла прямо через центр в противоположный угол, в сантиметрах, то есть сторона, умноженная на квадратный корень из четырёх плюс два квадратных корня из двух. Это самая широкая мерка, которую можно снять через эту фигуру, и заодно диаметр окружности, описанной вокруг восьмиугольника, так что половина её даёт радиус, которым эта окружность проведена

Внутренний угол

Угол между двумя соседними сторонами внутри восьмиугольника: 135 градусов, заданные одним лишь числом сторон. От длины стороны он не зависит вовсе, поэтому этот столбец таблицы одинаков во всех строках — у восьмиугольника со стороной 1 и у восьмиугольника со стороной 10 один и тот же внутренний угол, а различаются они только размером

√2

Квадратный корень из двух, примерно 1,4142136. Он появляется в каждом из семи выходов, кроме периметра и внутреннего угла, и появляется потому, что восьмиугольник — это квадрат с отрезанными углами: отрезание угла под 45 градусов — ровно оттуда и берётся квадратный корень из двух

Страница предназначена для восьмиугольника как физического объекта, и два самых частых случая — это плоская деталь и круглая посадка. Если вы вырезаете восьмиугольник из листа — столешницу, плитку, тротуарную плиту, торцевую накладку на столб, — площадь говорит, сколько материала уйдёт, а апофема подсказывает, как его разметить. Апофему размечают первой: удвоенная она даёт ширину по граням, а по граням вырезанный восьмиугольник и измеряют, потому что по углам линейкой провести неудобно. Длинная диагональ тогда даёт ширину по углам, а она определяет, поместится ли готовая деталь внутрь окружности, из которой вы её вырезаете; эта же величина есть диаметр описанной окружности восьмиугольника, так что круглая заготовка такого диаметра вместит восьмиугольник без запаса. Если вы делаете что-то, соединяя восемь деталей, — рамку, фонарь, крышу беседки, — вам нужен внутренний угол 135 градусов, поскольку ус на каждой детали равен его половине, 67,5 градуса, и эта настройка одинакова для любого восьмиугольника, какого бы размера он ни был. Если же случай — круглая посадка, то длинная диагональ отвечает на вопрос, пройдёт ли восьмиугольник через круглое отверстие, а апофема — на вопрос, сколько плоской поверхности он предъявит, когда уже там окажется. А если вам просто нужно сравнить восьмиугольник с квадратом той же стороны, то константа площади 4,83 против 1 у квадрата — это всё сравнение целиком: восьмиугольник покрывает больше земли при том же ребре, но и рёбер у него вдвое больше, так что когда вы покупаете материал, честнее смотреть на столбец периметра.

1. Сторона 6

   1. Периметр: 8 × 6 = 48
   2. Апофема: 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7,242640…, что округляется до 7,2426
   3. Средняя диагональ: 6 × (1 + √2) = 14,485281…, что округляется до 14,4853
   4. Короткая диагональ: 6 × √(2 + √2) = 11,086554…, что округляется до 11,0866
   5. Длинная диагональ: 6 × √(4 + 2√2) = 15,678754…, что округляется до 15,6788
   6. Площадь: 2 × (1 + √2) × 36 = 173,823376…, что округляется до 173,8234
   7. Внутренний угол: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135 градусов ровно

   Это тот ввод, с которым страница открывается. В этой одной строке видны сразу две проверки. Средняя диагональ, 14,4853, ровно вдвое больше апофемы, 7,2426, — и это выполняется при любой стороне, а не только при этой, потому что обе выходят из одного и того же выражения с двойкой в разных местах. А длинная диагональ 15,6788 есть диаметр окружности, описанной вокруг восьмиугольника, так что восьмиугольник со стороной 6 помещается в окружность диаметром 15,6788 сантиметра и ни в какую меньшую. Это ещё и та строка, которую можно сравнить с двумя соседними страницами при той же длине стороны: сторона 6 даёт 173,8234 здесь, 93,5307 на странице шестиугольника и 61,9372 на странице пятиугольника — одно и то же ребро, и тем больше им охвачено, чем больше сторон.

2. Сторона 1

   1. Периметр: 8 × 1 = 8
   2. Апофема: (1 + √2) ÷ 2 = 1,207106…, что округляется до 1,2071
   3. Средняя диагональ: 1 + √2 = 2,414213…, что округляется до 2,4142
   4. Короткая диагональ: √(2 + √2) = 1,847759…, что округляется до 1,8478
   5. Длинная диагональ: √(4 + 2√2) = 2,613125…, что округляется до 2,6131
   6. Площадь: 2 × (1 + √2) = 4,828427…, что округляется до 4,8284
   7. Внутренний угол: 135 градусов

   Единичный восьмиугольник, и именно на этой строке обе константы видны яснее всего: площадь равна 4,8284, а средняя диагональ равна 2,4142 — то же самое число, поделённое надвое. На короткой диагонали 1,8478 стоит задержаться, потому что это диагональ, пропускающая один угол, и она меньше удвоенной стороны — у восьмиугольника углы стоят теснее, чем у шестиугольника, и именно поэтому фигура выглядит почти круглой. По сравнению с квадратом со стороной единица, площадь которого равна 1, восьмиугольник покрывает в 4,83 раза больше площади.

3. Сторона 5

   1. Периметр: 8 × 5 = 40
   2. Апофема: 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6,035533…, что округляется до 6,0355
   3. Средняя диагональ: 5 × (1 + √2) = 12,071067…, что округляется до 12,0711
   4. Короткая диагональ: 5 × √(2 + √2) = 9,238795…, что округляется до 9,2388
   5. Длинная диагональ: 5 × √(4 + 2√2) = 13,065628…, что округляется до 13,0656
   6. Площадь: 2 × (1 + √2) × 25 = 120,710678…, что округляется до 120,7107
   7. Внутренний угол: 135 градусов

   Восьмиугольник со стороной пять сантиметров — примерно размер небольшой плитки или торец столба ограды. Это та строка, которая сходится с другой строкой этой же таблицы так, что это выглядит ошибкой: средняя диагональ здесь, 12,0711, состоит из тех же четырёх цифр, что и апофема при стороне 10. Так и должно быть, потому что удвоение стороны удваивает каждую длину в этом списке, поэтому любое значение, которое апофема принимает при стороне 10, обязано где-то появиться при стороне 5 — здесь оно появилось как диагональ, ровно вдвое большая апофемы меньшего восьмиугольника. Ничего не посчитано дважды.

4. Сторона 10

   1. Периметр: 8 × 10 = 80
   2. Апофема: 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12,071067…, что округляется до 12,0711
   3. Средняя диагональ: 10 × (1 + √2) = 24,142135…, что округляется до 24,1421
   4. Короткая диагональ: 10 × √(2 + √2) = 18,477590…, что округляется до 18,4776
   5. Длинная диагональ: 10 × √(4 + 2√2) = 26,131259…, что округляется до 26,1313
   6. Площадь: 2 × (1 + √2) × 100 = 482,842712…, что округляется до 482,8427
   7. Внутренний угол: 135 градусов

   Восьмиугольник со стороной десять сантиметров — обычный размер тротуарной плитки или декоративной плитки. Апофема 12,0711 — это то число, которым его размечают: удвоенная она, 24,1421, есть ширина по граням, и именно это расстояние откладывают на верстаке. Длинная диагональ 26,1313 — это ширина по углам, поэтому круглое отверстие такого диаметра будет наименьшим, в которое этот восьмиугольник пройдёт. Сравните две ширины — 24,14 по граням против 26,13 по углам, — и восьмиугольник описан одной строкой: углы выступают примерно на 8 процентов за грани, и в этом и состоит всё, чего достигло отрезание углов у квадрата.

5. Сторона 0

   1. Периметр: 8 × 0 = 0
   2. Апофема: 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
   3. Средняя диагональ: 0 × (1 + √2) = 0
   4. Короткая диагональ: 0 × √(2 + √2) = 0
   5. Длинная диагональ: 0 × √(4 + 2√2) = 0
   6. Площадь: 2 × (1 + √2) × 0 = 0
   7. Внутренний угол: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135 градусов

   Ноль — это допустимый ввод, а не пустое поле, и эта строка — самое наглядное объяснение того, чем является внутренний угол: восьмиугольник со стороной ноль схлопнулся в точку, шесть из семи величин равны нулю, а внутренний угол по-прежнему 135 градусов. Это свойство формы, а не размера, поэтому он переживает и полное исчезновение размера. Оставить поле пустым — это другой случай: когда в нём ничего нет, страница не показывает результата вообще.

Страница рассчитана только на правильные восьмиугольники: все восемь сторон одной длины и все восемь углов по 135 градусов. У восьмиугольника неправильной формы — например, у квадрата с неравно отрезанными углами или у вытянутого — нет единой длины стороны, и одним числом его не описать, а страница молча выдаст величины правильного восьмиугольника с такой стороной, не сообщив, что задуманная вами фигура другая. Выходные значения — в сантиметрах и квадратных сантиметрах независимо от того, что выбрано в списке единиц, поэтому сторона, введённая в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить самому. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявление о точности, и для измеренной стороны её более чем достаточно; последние две цифры ничего не значат, если вход не был точным. Внутренний угол точен и равен 135 градусам, и печатается он без дробной части именно поэтому, но он одинаков во всех строках, так что страница, которая как будто не реагирует на смену стороны, не зависла: шесть из семи величин изменились. Страница двумерная, и поля для толщины материала у неё нет, поэтому она не даст объём восьмиугольной призмы, вес восьмиугольной пластины или глубину восьмиугольного отверстия. Она также не моделирует квадратные вставки, которые заполняют промежутки при укладке восьмиугольников: это вопрос раскладки, а не измерение одной фигуры.

Почему внутренний угол не меняется при изменении стороны?

Потому что углы правильного восьмиугольника задаются числом сторон и ничем больше. Внутренний угол правильного многоугольника — это число сторон минус два, умноженное на 180 градусов и делённое на число сторон; для восьми сторон это 135 градусов, и длина стороны в это выражение не входит вовсе. У восьмиугольника со стороной 1 и у восьмиугольника со стороной 100 ровно одни и те же углы, а различаются они только размером. Именно поэтому последний столбец таблицы одинаков во всех строках, и именно поэтому настройка уса в 67,5 градуса годится для любого восьмиугольника, который вы когда-либо будете вырезать.

Какая из трёх диагоналей какая?

Короткая диагональ пропускает один угол и равна стороне, умноженной на квадратный корень из двух плюс квадратный корень из двух: 1,85 при единичной стороне. Средняя диагональ пропускает два угла и равна стороне, умноженной на единицу плюс квадратный корень из двух: 2,41. Длинная диагональ идёт прямо через центр и равна стороне, умноженной на квадратный корень из четырёх плюс два квадратных корня из двух: 2,61. У шестиугольника таких всего две, потому что при шести углах есть только два различных расстояния; восемь углов дают три. Средняя ровно вдвое больше апофемы, и это самый быстрый способ отличить её от остальных.

Что такое апофема и почему для восьмиугольника она важна?

Это расстояние от центра прямо до середины стороны, и оно же радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри. Для восьмиугольника она важнее, чем для большинства фигур, потому что измеряют готовую деталь именно по граням: удвоенная апофема — это ширина по граням, а по граням, в отличие от углов, линейкой провести легко. Если вы размечаете вырезанный восьмиугольник, апофема — первое число, которое наносят на заготовку.

Насколько восьмиугольник больше квадрата с той же стороной?

Примерно в 4,83 раза по площади: единичный восьмиугольник покрывает 4,8284 квадратных единицы, а единичный квадрат — 1. Это число и есть вся история фигуры: восьмиугольник — это квадрат с четырьмя отрезанными углами, а отрезание углов отнимает у квадрата площадь, но оставляет четыре грани почти во всю ширину. Впрочем, у восьмиугольника ещё и восемь рёбер вместо четырёх, так что если вы покупаете материал на кромку или на рамку, сравнивайте периметры, а не площади.

В какое наименьшее круглое отверстие пройдёт восьмиугольник?

В окружность, диаметр которой равен длинной диагонали, ведь это самая широкая мерка через фигуру, и идёт она из угла в угол через центр. Для стороны 10 это 26,1313 сантиметра. Та же величина, прочитанная в обратную сторону, — это диаметр окружности, в которую восьмиугольник вписывается точно, всеми восемью углами касаясь её; именно она нужна, когда вы вырезаете восьмиугольник из круглой заготовки и хотите отходов поменьше.

Замощает ли восьмиугольник пол сам по себе?

Нет, и промежутки тут — самое интересное. Плоско уложенные восьмиугольники оставляют маленькое квадратное отверстие между каждыми четырьмя, и эти квадраты как раз и делают восьмиугольное замощение узором: в классическом полу из восьмиугольников и квадратов покрывают восьмиугольники, а заполняют квадраты. Страница измеряет один восьмиугольник и не моделирует раскладку, так что количество плиток на пол — это отдельный расчёт, не тот, что показан здесь.

• Octagon — the eight-sided polygon, with the area, the apothem, the three diagonals and the interior angle this page computes, and the construction as a square with its corners cut off — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular octagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side, which is what makes the middle diagonal exactly twice it — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)