Калькулятор круга
Результат
Радиус
- Диаметр
- 10,0000 cm
- Длина окружности
- 31,4159 cm
- Площадь
- 78,5398 cm²
Калькулятор круга берёт любую одну из четырёх величин, которая у вас есть, и выдаёт остальные три. Радиус, диаметр, длина окружности и площадь — это один и тот же круг, описанный четырьмя способами, поэтому любая из них задаёт остальные: введите 5 в поле радиуса, и страница вернёт диаметр 10, длину окружности 31,4159 и площадь 78,5398. За этим стоят две формулы и их обращения. Длина окружности равна π, умноженному на диаметр, площадь равна π, умноженному на квадрат радиуса, а деление на два, на два π или на π возвращает радиус из любой из трёх остальных величин. Именно поэтому страница просит заполнить ровно одно поле, а не делает радиус обязательным: обязательный радиус был бы удобен, только если бы радиус всегда и был тем, что у вас есть, — но круг на чертеже часто достаётся вам своей площадью или длиной окантовки, и страница, которая требовала бы радиуса, заставила бы вас сначала делить самому. Поэтому все четыре поля необязательны, и подойдёт любое одно. Заполнить два — отказ, а не «на всякий случай»: две из четырёх величин никогда не бывают независимыми, а радиус и диаметр, которые друг другу противоречат, не описывают никакого круга; тихо выбрать один из них значило бы спрятать противоречие, а не показать его. Прежде чем пользоваться ответами, стоит знать о них две вещи. Результаты — в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в каких бы единицах ни стоял список рядом с полем ввода. Это осознанный выбор, а не недосмотр: четыре вывода — фиксированный набор, который для всех считается одинаково, таблица ниже посчитана в тех же единицах, чтобы страница не противоречила сама себе, а переключение ввода на дюймы меняет только то, как ваше число читается на входе. Если вы измеряли в дюймах, ответ всё равно показан в сантиметрах, и переводить его обратно придётся самому. И четыре напечатанных числа принадлежат введённому значению, а не друг другу. Длина окружности 20 даёт радиус 3,1831, а истинная площадь такого круга — 31,8310; умножение напечатанного радиуса на себя и на π даёт вместо этого 31,8309, потому что 3,1831 — уже округлённая версия числа, которое никогда не кончается. Напечатанная площадь — правильная: она получена из неокруглённого радиуса, а расхождение — свойство самой записи иррационального числа.
Круги, полученные из каждой из четырёх отправных точек
| Дано | Радиус (cm) | Диаметр (cm) | Длина окружности (cm) | Площадь (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 78.5398 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 113.0973 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 31.831 |
| A | 5.6419 | 11.2838 | 35.4491 | 100 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 3.1416 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 0.7854 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 564.1896 | 1128.3792 | 3544.9077 | 1000000 |
Восемь кругов, и первый столбец говорит, из какой из четырёх величин начинается каждая строка: r для радиуса, d для диаметра, C для длины окружности и A для площади. Этот столбец нужен потому, что все четыре числа напечатаны в каждой строке: как только круг решён, в нём не остаётся ничего неизвестного, и без первого столбца нельзя было бы понять, какое из четырёх было дано. Первые четыре строки берут четыре отправные точки по порядку, и первая из них — это то, с чем страница загружается. Третья строка — та, которую стоит изучить: она начинается с длины окружности и показывает арифметику, из-за которой напечатанные числа не воспроизводят друг друга. Площадь 31,831 — это сто, делённое на π, а возведение в квадрат напечатанного радиуса дало бы 31,8309. Четвёртая строка начинается с площади 100 и даёт радиус 5,6419 — тот самый квадратный корень, который забывают; деление 100 на π дало бы 31,831. Пятая и шестая строки — единичный круг и его половина, и вместе они дают наблюдение, на которое стоит взглянуть дважды: площадь круга радиуса 1 равна 3,1416, и это ровно длина окружности круга радиуса 0,5, напечатанная строкой ниже. Одни и те же четыре цифры означают площадь в одной строке и длину в другой — самое резкое напоминание на этой таблице о том, что заголовок столбца несёт в ответе не меньше, чем само число. Седьмая строка — круг радиуса 0, где каждый столбец равен нулю и ответ настоящий, а не пустой. Восьмая начинается с площади 1 000 000 квадратных сантиметров и даёт радиус 564,1896 сантиметра, то есть чуть больше пяти с половиной метров — примерно под такой ввод и рассчитано поле площади. Заметьте ещё, что первый столбец разделён неравномерно: четыре из восьми строк начинаются с радиуса, потому что именно от радиуса определены остальные три величины, а диаметр и длина окружности встречаются по одному разу. Каждое число здесь пересчитано из своего начального значения при сборке страницы, и все они в сантиметрах. Об одной особенности записи стоит сказать прямо: в клетках таблицы те же величины напечатаны с точкой — 31.831, 5.6419, 3.1416, — а в этом тексте они записаны с запятой: 31,831, 5,6419, 3,1416. Это одно и то же число в двух записях, а не два разных.
Формула
d = 2r C = 2πr = πd A = πr² и обратно: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)
- Радиус
- Расстояние от центра до края, в сантиметрах. Ноль допустим и описывает круг нулевого размера, и тогда все четыре вывода равны нулю
- Диаметр
- Расстояние напрямую через центр, вдвое больше радиуса. Заполнить это поле вместо радиуса ничего не меняет в ответе: страница первым делом делит его пополам
- Длина окружности
- Расстояние по всему краю, π на диаметр. Окружность — это сама граница круга, а её длина — то, что здесь считается. Это единственный вход, для возврата к радиусу требующий деления на два π, поэтому именно здесь четырёх напечатанных цифр не хватает, чтобы воспроизвести остальные вручную
- Площадь
- Пространство внутри круга, π на квадрат радиуса, в квадратных сантиметрах. Площадь круга — единственная из четырёх величин, которая измеряется в квадратных единицах. Обратный ход означает деление на π и извлечение корня, поэтому поле площади принимает значения до куда большего числа, чем три поля длины
- π
- Отношение длины окружности к её диаметру, примерно 3,14159. Страница использует полное значение двойной точности, а не укорачивает его до трёх знаков, поэтому расчёт вручную с 3,14 разойдётся с напечатанным ответом
- Четыре знака после запятой
- Так записывается ширина каждого вывода. Радиус и диаметр часто точны и печатаются с хвостовыми нулями, а длина окружности и площадь почти всегда иррациональны, поэтому для них четыре цифры — это место, где ответ обрезан, а не где он заканчивается
Страница полезна именно потому, что круг редко достаётся вам радиусом. Круглый стол продают по диаметру, ограждение вокруг круглой клумбы продают метрами, а это длина окружности, банка краски покрывает столько-то квадратных метров, а участок под покраску — круг, и велосипедное колесо называют по размеру покрышки. С каждой из этих величин приходят разные из четырёх чисел, и каждое можно сразу вписать в своё поле. Ошибаются обычно на обратном ходе. По площади радиус — это не площадь, делённая на π, а квадратный корень из этого; забыть корень значит получить радиус, отличающийся в разы, и для среднего сада это не маленькая погрешность. По длине окружности радиус — это длина, делённая на два π, и замена полного значения на 3,14 сдвигает последнюю напечатанную цифру. Страница делает и то и другое правильно, так что ею удобно проверять расчёт, в котором вы не уверены. И одна привычка стоит того, чтобы её перенести: что бы вы ни считали, диаметр не может оказаться больше длины окружности, поэтому если он больше — число введено не в то поле.
Разобранные примеры
Радиус пять
- Диаметр: 5 × 2 = 10
- Длина окружности: 2 × π × 5 = 31,415926…, что округляется до 31,4159
- Площадь: π × 5 × 5 = 78,539816…, что округляется до 78,5398
- Радиус возвращается без изменений, потому что именно его и задали
Ввод, с которым страница загружается, и самый простой для проверки: у круга радиуса пять диаметр равен десяти, а площадь чуть больше трёх четвертей сотни — так и должно быть, ведь π немногим больше трёх, а пять в квадрате это двадцать пять. Радиус печатается как 5,0000, а не как 5: это ширина поля вывода, а не заявление о точности, — на самом деле там ровно пять.
Диаметр двенадцать
- Радиус: 12 ÷ 2 = 6
- Длина окружности: π × 12 = 37,699111…, что округляется до 37,6991
- Площадь: π × 6 × 6 = 113,097335…, что округляется до 113,0973
- Диаметр остаётся таким, каким его задали
Та же фигура, только с другого конца, и заодно напоминание, что диаметр и радиус выходят точными, а два других числа — нет: деление чётного числа на два не вносит погрешности вообще, а умножение на π вносит её всегда. Площадь чуть больше 113 — разумная проверка: шесть в квадрате это тридцать шесть, а тридцать шесть на π — немногим больше ста тринадцати.
Длина окружности двадцать
- Радиус: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…, что округляется до 3,1831
- Диаметр: удвоенный радиус равен 6,3661977…, что округляется до 6,3662
- Площадь: π × неокруглённый радиус в квадрате, то есть 100 ÷ π = 31,830988…, округляется до 31,8310
- Длина окружности остаётся такой, какой её задали
Случай, который показывает, почему четыре напечатанных числа не всегда воспроизводят друг друга. Площадь здесь — ровно сто, делённое на π, и считается она по неокруглённому радиусу, а не по тому 3,1831, что на экране; если возвести в квадрат напечатанный радиус и умножить на π, получится 31,8309. Правильно напечатанное число. При обратном чтении: площадь круга с длиной окружности 20 — это треть сотни, и это та быстрая прикидка в уме, которая говорит, что 31,83 лежит в нужной области.
Площадь сто квадратных сантиметров
- Радиус: √(100 ÷ π) = 5,6418958…, что округляется до 5,6419
- Диаметр: удвоенный радиус равен 11,2837916…, что округляется до 11,2838
- Длина окружности: 2 × π × неокруглённый радиус = 35,449077…, что округляется до 35,4491
- Площадь остаётся такой, какой её задали
То направление, в котором чаще всего ошибаются на бумаге: радиус — это квадратный корень из площади, делённой на π, а не площадь, делённая на π, — от такого деления вышло бы 31,831. Сто квадратных сантиметров — это фигура поперёк примерно одиннадцать сантиметров, и это полезная проверка на здравый смысл: у круга радиуса 31,8 площадь была бы три тысячи, а не сто. То же самое число 31,831 — это площадь, посчитанная в примере выше, из длины окружности двадцать; здесь же оно оказалось бы результатом неверного расчёта, и это совпадение именно этих двух вводов, а не что-то, за чем стоит искать смысл.
Радиус ноль
- Диаметр: 0 × 2 = 0
- Длина окружности: 2 × π × 0 = 0
- Площадь: π × 0 × 0 = 0
- Все четыре вывода равны нулю, и это верное прочтение круга, у которого нет размера
Ноль здесь — законный ввод, а не пустое поле. Круг радиуса ноль — это одна точка, и все четыре измерения равны нулю, так что строка нулей — настоящий ответ. Страница отличает это от случая, когда всё оставлено пустым: тогда она отказывается считать и просит заполнить хотя бы одно поле, — разница между фигурой, схлопнувшейся в ничто, и формой, которую не заполнили.
Ограничения
Выводы всегда в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в каком бы положении ни стоял список единиц у поля ввода. Выбор дюймов меняет то, как ваше число читается на входе, и ничего — в том, как показывается ответ, поэтому круг, введённый как десять дюймов, вернётся с радиусом 25,4 сантиметра. Это осознанный выбор, и таблица ниже следует тому же правилу, так что страница не противоречит сама себе, но ответ всё равно придётся переводить самому, если он нужен в тех единицах, которые вы ввели. Четыре напечатанных значения выведены из введённого значения, а не друг из друга, поэтому они не всегда воспроизводят друг друга до последней цифры: умножение напечатанного радиуса на π может отличаться от напечатанной длины окружности в четвёртом знаке, и верить нужно напечатанной длине окружности. Длина окружности и площадь почти всегда иррациональны, так что четыре знака — это обрез, а не полный ответ, и именно двойное округление (прочитать напечатанное значение и подставить его в следующий расчёт) и порождает расхождение. Радиус и диаметр точны всегда, когда точным был вход, но и они округляются, когда получаются из площади или из длины окружности. Заполнить можно не более одного поля: два и больше — отказ, потому что четыре величины не независимы, и пара, которая друг другу противоречит, не описывает никакого круга. Страница не примет отрицательное значение ни в одном поле и не подскажет, что радиус по заданной площади быстрее было бы найти извлечением корня, а не делением.
Частые вопросы
- Сколько полей нужно заполнить?
- Ровно одно, то, которое у вас есть. Все четыре поля необязательны, и подойдёт любое: страница берёт заданное значение, вычисляет по нему радиус и выводит из него остальные три. Заполнить два поля — отказ, а не попытка разобраться, потому что четыре величины не независимы друг от друга: радиус 5 и диаметр 12 не могут описывать один круг, и страница предпочтёт сказать об этом, а не молча выбрать одно из двух.
- Почему ответ в сантиметрах, если я вводил дюймы?
- Потому что четыре вывода — фиксированный набор в сантиметрах и квадратных сантиметрах, выбранный так, чтобы панель результатов и таблица под ней всегда совпадали. Список единиц меняет то, как ваше число понимается на входе, а не то, как записывается ответ, поэтому радиус, введённый как 10 дюймов, вернётся как 25,4 сантиметра. Если ответ нужен в дюймах, разделите выводы длины на 2,54, а вывод площади на 6,4516.
- Почему площадь не совпадает с показанным радиусом?
- Потому что напечатанный радиус уже округлён, и площадь считается не из него. Страница вычисляет площадь по радиусу полной точности и округляет только показ в самом конце, поэтому для длины окружности 20 площадь равна 31,8310, а если возвести в квадрат напечатанный радиус 3,1831 и умножить на π, получится 31,8309. Правильна напечатанная площадь. То же самое происходит в обратную сторону каждый раз, когда вы берёте число с экрана и подставляете его в расчёт.
- Страница использует 3,14 вместо π?
- Нет. Она использует полную точность, доступную в арифметике двойной точности, то есть π примерно до пятнадцати значащих цифр, и округляет только показанный результат. Это заметно в четвёртом знаке: длина окружности, посчитанная вручную с 3,14, обычно разойдётся с напечатанным ответом в последней или предпоследней цифре, и разница эта от укороченной константы, а не от ошибки в расчёте. Для быстрой прикидки 3,14 вполне годится, и большинству так и стоит считать.
- Как получить радиус из площади?
- Разделить площадь на π и извлечь квадратный корень. Забывают именно корень: без него получается число размером с саму площадь, то есть для ста квадратных сантиметров 31,831 вместо правильных 5,6419. Проверить результат просто — возведите его в квадрат и умножьте на π: должно получиться исходное значение площади, с точностью до округления напечатанных цифр.
- Может ли радиус быть нулём?
- Да, и тогда все четыре вывода равны нулю, что и есть честное описание круга нулевого размера. Ноль здесь считается настоящим вводом, а не пустым полем, поэтому строка нулей на панели результатов — не признак того, что что-то не заполнилось. Совсем пустая форма — другое дело: если ни в одном из четырёх полей нет значения, страница просит его ввести, потому что работать не с чем.
Источники
- Circle — the set of points at a fixed distance from a centre, with the relations between radius, diameter, circumference and area that this page solves in both directions — Wolfram MathWorld (United States)
- Circumference — the distance around a circle, π times the diameter, which is the relation the circumference box inverts — Wolfram MathWorld (United States)
- Pi — the ratio of a circle's circumference to its diameter, and the constant that makes the circumference and area outputs irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)