Калькулятор сферы
Результат
Объём
- Полная площадь поверхности
- 314,1593 cm²
- Радиус
- 5,0000 cm
- Диаметр
- 10,0000 cm
- Длина окружности
- 31,4159 cm
Калькулятор сферы принимает любое одно из трёх измерений шара — радиус, диаметр или длину окружности — и возвращает пять величин: объём, площадь поверхности и все три эти длины. Сфера — это множество точек, равноудалённых от центра, и её форма задаётся одним числом. На форму стоит посмотреть внимательно. Заполнить нужно ровно одно поле, и страница считает от того, что вы дали: все три длины — это одно измерение одного и того же шара в разной одежде, ведь измерить вокруг экватора — такое же полное описание шара, как измерить от центра до поверхности. Несимметрично здесь обратное направление. Четыре измерения круга равноправны, и соседняя страница про круг начнёт с любого из них. У сферы это не так: объём и площадь поверхности здесь только вычисляют, но не задают, потому что обратный ход от объёма требует кубического корня, а обратный ход от площади — квадратного, и у обоих этих вопросов уже есть отдельные страницы. Поэтому полей три, а величин пять, и две лишние величины — как раз то, ради чего эта страница существует. Объём — это сколько шар вмещает или вытесняет: сколько воздуха в футбольном мяче, сколько воды берёт сферический бак, сколько материала ушло на шарик подшипника. Площадь поверхности — это сколько у шара оболочки: сколько краски, сколько кожи, сколько гальванического покрытия. Именно эти две величины и делают сферу трёхмерным телом, и именно с ними нечего сравнить плоским фигурам со страниц по соседству.
Частые шары, заданные каждым из трёх измерений
| Задано как | Радиус (cm) | Диаметр (cm) | Длина окружности (cm) | Площадь поверхности (cm²) | Объём (cm³) |
|---|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 314.1593 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 452.3893 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 127.324 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 62.8319 | 1256.6371 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 12.5664 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 3.1416 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 314.1593 | 31415.9265 | 523598.7756 |
Восемь шаров, и первый столбец говорит, какое из трёх полей было заполнено: без него таблица не читалась бы, потому что все пять чисел напечатаны в каждой строке и больше ничто не указывает, какое измерение было входным. Первые три строки намеренно введены тремя разными способами: радиус 5 cm, диаметр 12 cm и длина окружности 20 cm, чтобы все три точки входа были видны рядом. Первая строка — тот шар, с которым страница загружается, и её длина окружности 31,4159 в точности такая, какую страница круга печатает для радиуса 5: длине окружности всё равно, нарисована она на плоскости или вокруг шара. Третья строка — та, которую стоит прочитать, если вы собираетесь считать вручную: введённая как длина окружности 20, она даёт объём 135,0949, а возведение в куб напечатанного рядом округлённого радиуса 3,1831 даёт 135,0950 — разница в последней цифре, и права страница, потому что истинный ответ принадлежит введённому 20, а не округлённому радиусу на экране. Пятая строка — единичный шар, у которого площадь поверхности равна 4π, а объём 4π/3. Шестая строка — то совпадение, на котором стоит задержаться: при радиусе в половину площадь поверхности и длина окружности обе равны 3,1416, потому что 4πr² и 2πr пересекаются ровно там. Седьмая строка — радиус ноль, где каждый столбец равен нулю и ответ настоящий, а не пропущенный. Последняя строка — диаметр 100, в десять раз больше радиуса первой строки, и масштабирование в ней видно: в десять раз больший радиус даёт в десять раз большую длину окружности, в сто раз большую площадь поверхности и в тысячу раз больший объём. Каждое число здесь пересчитывается из своего входа при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака после запятой — те же четыре знака, что использует панель результатов. Ячейки таблицы печатает программа, и она выводит их с точкой и без разделителя тысяч: те же самые числа в тексте этой страницы записываются с запятой — это одно и то же число в двух записях, и путаницы здесь нет.
Формула
V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr
- Радиус
- Расстояние от центра до поверхности, в сантиметрах. То единственное число, из которого сфера действительно построена: всё остальное на этой странице, включая два других поля ввода, — лишь способ его выразить.
- Диаметр
- Расстояние напрямую через середину, в сантиметрах, то есть удвоенный радиус. Это то измерение, которым пользуются, когда шар лежит в руках и через него приложена линейка: именно так в действительности описывают большинство мячей.
- Длина окружности
- Расстояние по всему обводу в самом широком месте, в сантиметрах, равное 2πr. Это измерение для случая, когда под рукой рулетка и обхватить удаётся только снаружи: ствол дерева, труба или шар, через который не дотянуться.
- Объём
- Сколько места занимает шар, в кубических сантиметрах. Это единственная величина здесь, которая растёт как куб радиуса, и потому при увеличении шара она убегает от остальных так быстро.
- Площадь поверхности
- Сколько у шара оболочки, в квадратных сантиметрах, то есть учётверённая площадь круга того же радиуса. Она в точности равна площади боковой поверхности цилиндра, который только-только вместил бы этот шар.
- 4⁄3 πr³
- Формула объёма, и запомнить в ней стоит именно четыре третьих. Сфера занимает две трети цилиндра, который её в точности описывает, — результат, который Архимед просил высечь на своей могиле.
- 4πr²
- Площадь поверхности, и рядом с четыре третьих из объёма стоит заметить эту простую четвёрку. Это площадь четырёх плоских кругов того же радиуса — совпадение из математического анализа, а не то, что можно увидеть, развернув оболочку.
- Четыре знака после запятой
- С какой шириной печатается каждая величина. Точными могут быть только радиус и диаметр; длина окружности, площадь поверхности и объём несут в себе π, а объём вдобавок ещё и куб, поэтому их последние цифры — это ширина вывода, а не заявление о точности.
Эта страница — для всего круглого в трёх измерениях, и две величины, которые она добавляет к странице про круг, как раз и нужны для настоящих предметов. Объём — это про вместимость и вытеснение: сколько воздуха держит футбольный мяч, сколько берёт сферический бак или газгольдер, сколько весит шарик подшипника, если знать его материал, какую подъёмную силу даёт поплавок. Площадь поверхности — это про всё, что шар покрывает: краска, кожаные панели футбольного мяча, гальваническое покрытие на подшипнике, поверхность охлаждения у капли или доза лекарства, нанесённая на поверхность частицы. Есть и обратный ход, и он самый частый из всех: шар в руках и рулетка, а нужно число, до которого не дотянуться. Оберните рулетку вокруг экватора, введите длину окружности — и страница выдаст диаметр и объём, не разрезая шар, и именно так узнают размер дерева, трубы или планеты.
Разобранные примеры
Шар радиуса 5
- Диаметр: 2 × 5 = 10
- Длина окружности: 2 × π × 5 = 10π = 31,4159…
- Площадь поверхности: 4 × π × 5² = 100π = 314,1593…
- Объём: (4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523,5987…, что округляется до 523,5988
Это тот вход, с которым страница загружается. Обе записи через π здесь стоит прочитать как целые числа π: площадь поверхности равна 100π, а объём 500π/3. Это ещё и строка, на которой числа шара можно сверить с числами страницы круга: длина окружности этого шара 31,4159 в точности такая, какую страница круга печатает для радиуса 5, потому что длине окружности всё равно, нарисована она на плоском листе или вокруг шара. А объём — это то место, где появляется третье измерение.
Шар диаметром 12
- Радиус: 12 ÷ 2 = 6
- Длина окружности: 2 × π × 6 = 12π = 37,6991…
- Площадь поверхности: 4 × π × 6² = 144π = 452,3893…
- Объём: (4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904,7787…
Тот вход, которым пользуются, когда шар стоит перед вами: диаметр — это то, что даёт линейка через середину, и именно так на самом деле задают футбольные мячи, подшипники и планеты. Здесь всё выходит целыми кратными π — 12π, 144π, 288π, — а так бывает всегда, когда радиус получается целым, и это хороший признак того, что арифметика верна.
Шар, измеренный по экватору
- Радиус: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…, что округляется до 3,1831
- Диаметр: 2 × 3,1830988… = 6,3661977…, что округляется до 6,3662
- Площадь поверхности: 4 × π × 3,1830988…² = 400 ÷ π = 127,3239…, что округляется до 127,324
- Объём: (4 ÷ 3) × π × 3,1830988…³ = 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, что округляется до 135,0949
Строка, которую стоит прочитать, если вы собираетесь считать это вручную, потому что именно на ней кусает раннее округление. Напечатанный выше радиус 3,1831 уже округлён: возведите его в куб, и объём выйдет 135,0950 вместо 135,0949, которые печатает страница. Оба числа можно защищать, но право только одно: истинный ответ принадлежит введённому вами 20, а 3,1831 — это его показ, а не он сам. Это ещё и тот вход, которым пользуются для всего, что удаётся обхватить лентой, — например, для ствола дерева или трубы.
Шар радиусом в половину
- Диаметр: 2 × 0,5 = 1
- Длина окружности: 2 × π × 0,5 = π = 3,1416…
- Площадь поверхности: 4 × π × 0,5² = π = 3,1416…
- Объём: (4 ÷ 3) × π × 0,5³ = π ÷ 6 = 0,5236…
Строка, на которой стоит задержаться: длина окружности и площадь поверхности выходят одним и тем же числом 3,1416, и это не описка. Формулы здесь 2πr и 4πr², и при радиусе в половину они пересекаются: 2π × ½ и 4π × ¼ — обе равны π. Ниже этого радиуса площадь поверхности меньше из двух, выше — больше. Такое совпадение выпадает только тогда, когда длину и площадь измеряют в одних и тех же единицах, а на этой странице они именно так и измеряются.
Шар радиуса ноль
- Диаметр: 2 × 0 = 0
- Длина окружности: 2 × π × 0 = 0
- Площадь поверхности: 4 × π × 0² = 0
- Объём: (4 ÷ 3) × π × 0³ = 0
Шар нулевого размера — это одна точка, и все пять показаний равны нулю. Ноль — законный вход, а не пустое поле, поэтому строка нулей это настоящий ответ: страница отличает её от случая, когда все три поля оставлены пустыми, а тогда не показывается ничего, потому что считать не из чего.
Ограничения
Страница только про сферы: тела, каждая точка поверхности которых находится на одном и том же расстоянии от центра. Яйцо, мяч для регби или сама Земля — не сферы, и полусфера тоже: это разрезанная пополам сфера с дополнительной плоской гранью, площадь которой здесь не учитывается. Объём и площадь поверхности ввести нельзя — это ответы, а не входные данные, — поэтому шар, заданный тем, сколько он вмещает, придётся сначала пересчитать в радиус на другой странице. Все пять величин выводятся в сантиметрах, квадратных и кубических сантиметрах, что бы ни было выбрано в списке единиц, поэтому диаметр, введённый в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, и переводить его придётся самому. Четыре знака после запятой — это ширина вывода, а не заявление о точности: точными могут быть только радиус и диаметр, а остальные три несут в себе π, причём объём вдобавок ещё и куб. Величины округляются независимо от точного радиуса, поэтому напечатанное здесь значение не всегда воспроизведёт другое, напечатанное рядом: истинный ответ принадлежит введённому вами числу. Заполнить можно ровно одно поле; два сразу отклоняются, а не разрешаются молча, потому что радиус 5 и диаметр 10 — это один и тот же шар, а радиус 5 и диаметр 12 — уже нет, и страница предпочтёт сказать об этом, а не выбирать за вас. Ничего из этого не учитывает толщину стенки полого шара, материал, из которого он сделан, и его вес.
Частые вопросы
- Почему заполнить можно только одно поле?
- Потому что все три поля описывают один и тот же шар. Радиус, диаметр и длина окружности — это одно измерение в трёх разных нарядах: заполните любое, и страница узнает шар. Два заполненных поля отклоняются, а не разрешаются, потому что радиус 5 и диаметр 10 согласуются между собой, а радиус 5 и диаметр 12 — нет, и честного способа угадать, какое из двух вы имели в виду, у страницы нет.
- Почему нельзя ввести объём и получить радиус?
- Потому что это другой вопрос, и для него нужен кубический корень, а не умножение. То же самое с площадью поверхности: там нужен квадратный корень. И то и другое совершенно разумно хотеть, но это отдельные задачи, а на этой странице входными данными служат три длины, чтобы объём и площадь были ответами. Обратный ход — это отдельная страница.
- Площадь поверхности и длина окружности вышли одинаковым числом. Это ошибка?
- Нет: при радиусе в половину они действительно равны. Длина окружности равна 2πr, площадь поверхности равна 4πr², и при r = ½ это π и π. Ниже этого радиуса площадь поверхности меньше длины окружности, выше — больше. Это величины разного рода, поэтому равенство здесь — числовое совпадение, а не утверждение, что длина равна площади.
- Откуда в формуле объёма берутся четыре третьих?
- Благодаря им сфера составляет ровно две трети цилиндра, который её в точности описывает. Архимед это вычислил и счёл настолько важным, что попросил высечь сферу и цилиндр на своей могиле. Это же объясняет, почему формула объёма выглядит куда тяжелее формул для коробок и призм: кривую поверхность нельзя заполнить, складывая плоские слои, без математического анализа.
- Какое измерение использовать для шара, который удаётся только обхватить?
- Длину окружности. Оберните рулетку вокруг самого широкого места, введите это число в поле длины окружности — и страница даст вам диаметр и радиус вместе с объёмом и площадью поверхности. Так обычно и измеряют ствол дерева, трубу или что угодно слишком большое или неудобное, чтобы измерять его поперёк, и именно поэтому длина окружности здесь вход, а не просто ещё одна величина.
- Ответ должен быть в кубических сантиметрах или в литрах?
- Страница печатает кубические сантиметры, и перевод обычный: тысяча кубических сантиметров — это литр, поэтому объём 523,5988 cm³ составляет примерно 0,5236 литра. Для меньших объёмов миллилитр — то же самое, что кубический сантиметр. Список единиц меняет то, что вы вводите, а не то, что получается на выходе, поэтому диаметр в дюймах всё равно вернётся ответом в сантиметрах.
Источники
- Sphere — the three-dimensional ball, with the volume and the surface area this page computes and the two-thirds relation to the enclosing cylinder — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the same measurements in two dimensions, and the page next door where a circumference is an input rather than an echo — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — the general treatment of what the volume output measures, including the sphere among the solids whose volume has a closed form — Wolfram MathWorld (United States)