Калькулятор объёма шара
Результат
Объём
Калькулятор объёма шара принимает одно измерение шара — радиус, диаметр или длину окружности — и говорит, сколько места шар занимает, в кубических сантиметрах. Это соседняя страница про сферу, у которой убрано всё остальное. Там те же три входа, а ответов сразу пять; здесь остаётся один — тот, с которым обычно и приходят: сколько шар вмещает, сколько вытесняет и на что его хватает. Формула объёма шара — четыре третьих умножить на π и на радиус в кубе, и в её виде стоит задержаться. Почти каждая формула объёма в этой группе — это основание, умноженное на высоту, потому что почти любое тело отсюда можно нарезать плоскими слоями и сложить. С шаром так не выйдет: его слои меняют размер на каждой высоте, у середины они широкие, у полюсов крошечные, и сложить их — это ровно та задача, для которой придумали анализ бесконечно малых. Четыре третьих — это то, во что сумма в итоге сворачивается, и запоминается это приятнее всего так: шар составляет ровно две трети самого маленького цилиндра, в который он влезает. Это вычислил Архимед и попросил высечь шар и цилиндр на своей надгробной плите. Объём сферы и объём шара — одно и то же число: сфера это поверхность, шар — то, что внутри, и в объёме участвует только второе. Ещё стоит представлять, как быстро это число растёт. Объём идёт по кубу радиуса, поэтому удвоение размера умножает объём на восемь, а утроение — на двадцать семь. Оттого небольшое изменение размера так сильно меняет то, сколько вмещает бак, и оттого ответ здесь очень быстро становится очень большим.
Сколько места занимает шар, введённый каждым из трёх измерений
| Что дано | Радиус (cm) | Диаметр (cm) | Объём (cm³) |
|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 523598.7756 |
Восемь шаров и четыре столбца — на два столбца уже, чем на соседней странице про сферу, где те же три входа дают ещё и площадь поверхности с длиной окружности. Первый столбец говорит, какое поле было заполнено, и без него таблица не читалась бы: радиус и диаметр напечатаны в каждой строке. Первая строка — тот шар, с которым страница загружается, а четвёртая — одна из тех, что стоит с ней сравнить: радиус 5 против радиуса 10, где радиус удвоился, а объём вырос с 523,5988 до 4188,7902, то есть в восемь раз, — кубический закон в одну строку. Третья строка — та, которую стоит прочитать, если вы собираетесь считать вручную: введённая как длина окружности 20, она даёт объём 135,0949, тогда как возведение в куб напечатанного рядом округлённого радиуса 3,1831 даёт 135,0950. Пятая строка — единичный шар: объём равен 4π/3, а площадь поверхности того же шара на странице про сферу равна 4π, то есть численно его треть. Седьмая строка — радиус ноль, где шар не вмещает ничего и ответ настоящий, а не пропущенный. Последняя строка — диаметр 100, где объём доходит до полумиллиона с лишним кубических сантиметров: половина кубометра шара и напоминание о том, как быстро эта величина уходит из привычных единиц. Каждое число здесь пересчитывается из своего входа при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака после запятой — те же четыре знака, что использует панель результатов. Ячейки таблицы печатает программа, и она выводит их с точкой и без разделителя тысяч: те же самые числа в тексте этой страницы записываются с запятой — это одно и то же число в двух записях, и путаницы здесь нет.
Формула
V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π
- Радиус
- Расстояние от центра до поверхности, в сантиметрах. То самое число, из которого объём и сделан, — две другие графы лишь другие способы до него добраться
- Диаметр
- Расстояние насквозь через середину, в сантиметрах; страница делит его пополам и получает радиус. Та графа, которой пользуются, когда шар перед вами и проще всего приложить к нему линейку
- Длина окружности
- Расстояние по всему обводу в самом широком месте, в сантиметрах; страница делит его на 2π и получает радиус. Та графа, которой пользуются, когда шар удаётся только обхватить лентой
- Объём
- Сколько места шар занимает, в кубических сантиметрах. Единственный вывод на странице и единственная величина здесь, которая растёт по кубу размера, а не по самому размеру
- 4⁄3 πr³
- Сама формула, и осмысленна в ней именно дробь. Она делает шар двумя третями цилиндра, который в него как раз вписывается, — это свойство шара, а не причуда арифметики
- r³
- Радиус в кубе — и причина, по которой страница выдаёт большие числа из скромных входов. Удвоение радиуса умножает объём на восемь, и это верно и для шарика от подшипника, и для планеты
- Четыре знака после запятой
- Ширина записи ответа. В объёме всегда есть и π, и куб, поэтому точным он не бывает — кроме случая нулевого радиуса; четыре знака это ширина показа, а не заявка о точности
Эта страница — про вместимость, вытеснение и материал, а это вместе покрывает почти всё, что вообще может понадобиться от шара. Вместимость: сколько держит шаровой бак, газгольдер или водонапорная башня, сколько воздуха в футбольном мяче, сколько мороженого достаёт ложка. Вытеснение: сколько воды отталкивает поплавок или корпус — это то же самое, что объём, и именно от него зависит, поплывёт ли тело и сколько оно поднимет. Материал: сколько стали в подшипниковом шарике, сколько бетона уйдёт на купол, сколько весит шар из теста или глины, если известна плотность. Это ещё и форма очень многих вещей, которые лишь приблизительно шарообразны, причём приближение обычно достаточно: яйцо, капля, градина, планета, слегка сплюснутая у экватора. И есть обратное применение: если известен объём, который должен вмещать сосуд, то это та страница, которая скажет, каким должен быть шар, — между ними стоит всего лишь кубический корень.
Разобранные примеры
Шар радиуса 5
- Возводим радиус в куб: 5³ = 125
- Умножаем на π и на четыре третьих: (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
- 500π ÷ 3 = 523,5987…, что округляется до 523,5988
Тот вход, с которым страница загружается, и та строка, по которой стоит сверить формулу: объём равен 500π/3, то есть целому кратному π. Пять сантиметров — чуть меньше теннисного мяча, а ответ, немногим больше половины литра, полезно иметь в ощущениях: это как раз тот порядок величины, которым оперирует рецепт или небольшая ёмкость.
Шар диаметром 12
- Радиус: 12 ÷ 2 = 6
- Возводим радиус в куб: 6³ = 216
- Умножаем на π и на четыре третьих: (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
- 288π = 904,7786…, что округляется до 904,7787
Тот вход, к которому тянутся, когда шар в руках: диаметр — это то, что даёт линейка через середину, и именно так задают большинство мячей. Ответ снова целое кратное π, 288π, а так выходит всякий раз, когда радиус получается целым. Сравните со строкой выше: радиус вырос на пятую часть, с 5 до 6, а объём вырос больше чем на две трети, с 523,5988 до 904,7787.
Шар, измеренный по экватору
- Радиус: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…
- Возводим радиус в куб: 3,1830988…³ = 32,2519…
- Умножаем на π и на четыре третьих: (4 ÷ 3) × π × 32,2519… = 4000 ÷ 3π²
- 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, что округляется до 135,0949
Строка, которую стоит прочитать, если вы собираетесь считать это вручную, потому что именно здесь раннее округление идёт во вред. Страница про сферу печатает для этого шара радиус 3,1831 — он выглядит точным и точным не является: возведите его в куб и доведите умножение, и получится 135,0950. Страница сообщает 135,0949, и права страница, потому что истинный ответ принадлежит введённому вами 20, а не округлённому радиусу на экране. Разница ровно в последней цифре и нигде больше — как раз тот род ошибки, который переживает любую проверку на правдоподобие.
Шар радиуса 1
- Возводим радиус в куб: 1³ = 1
- Умножаем на π и на четыре третьих: (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
- 4π ÷ 3 = 4,18879…, что округляется до 4,1888
Единичный шар, и та строка, которая показывает, что такое эти четыре третьих: объём равен 4π/3, а площадь поверхности, которую страница про сферу печатает для того же шара, равна 4π. Численно объём составляет треть площади поверхности — это совпадение именно при радиусе единица, а не общее правило, но запомнить эту пару удобно, и по ней две формулы легко различить.
Шар радиуса ноль
- Возводим радиус в куб: 0³ = 0
- Умножаем на π и на четыре третьих: (4 ÷ 3) × π × 0 = 0
Шар нулевого размера — это точка, и места он не занимает. Ноль — законный вход, а не пустое поле, поэтому это настоящий ответ: страница отличает его от случая, когда все три поля оставлены пустыми, а тогда не показывается ничего, потому что считать не из чего.
Ограничения
Страница только про шары: те, у которых каждая точка поверхности на одном и том же расстоянии от центра. Яйцо, мяч для регби или слегка сплюснутая планета — не шар, и полушар тоже: это шар, разрезанный пополам, он вмещает ровно половину посчитанного здесь, хотя площадь его поверхности половине не равна. Объём нельзя ввести, поэтому шар, заданный тем, сколько он вмещает, придётся сначала пересчитать в радиус где-то ещё. Ответ выходит в кубических сантиметрах, в какую бы единицу ни был выставлен список, так что диаметр, введённый в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить, — а поскольку это объём, перевод идёт по кубу: кубические дюймы в кубические сантиметры переводятся множителем около 16,4, а не 2,54. Четыре знака после запятой — это ширина показа, а не заявка о точности, потому что в объёме всегда есть и π, и куб. Заполнить можно ровно одно поле; два сразу отклоняются, а не разрешаются молча. Ничего здесь не считает толщину стенки полого шара, материал, из которого шар сделан, и его вес, а площади поверхности страница не даёт — соседняя страница про сферу печатает её вместе с объёмом по тем же трём входам.
Частые вопросы
- Чем эта страница отличается от калькулятора сферы?
- Входы те же — те же три поля и то же правило заполнить ровно одно. Разница в том, что приходит в ответ. Страница про сферу печатает пять показаний: объём, площадь поверхности и три длины. Эта печатает объём и больше ничего, потому что именно за ним обычно и приходят, а когда убираешь остальное, он остаётся на экране один.
- Почему объём растёт намного быстрее размера?
- Потому что он идёт по кубу радиуса, тогда как сам размер идёт по радиусу первой степени. Удвойте диаметр шара — объём вырастет в восемь раз; утройте — в двадцать семь. Оттого небольшое изменение размера сосуда сильно меняет то, сколько он вмещает, и оттого ответ здесь может оказаться очень большим при скромном на вид входе.
- Откуда берутся четыре третьих?
- Они делают шар ровно двумя третями самого маленького цилиндра, который в него вписывается, — с тем же радиусом и высотой в два радиуса. Это доказал Архимед и попросил высечь шар и цилиндр на своей надгробной плите. Оттого в формуле и стоит дробь: шар не складывается из плоских слоёв, а тот раздел математики, который складывает его кривые слои, и даёт эти четыре третьих.
- У меня выходит 135,0950, а страница говорит 135,0949. Кто прав?
- Страница. Радиус того шара равен 10/π, то есть 3,1830988…, а напечатанный на экране радиус округлён до 3,1831. Именно возведение в куб округлённого числа и даёт 135,0950 — разница в последней цифре и целиком от раннего округления. Истинный ответ принадлежит введённому вами числу, а страница держит точный радиус внутри себя до самого конца.
- Можно ли получить радиус обратно из объёма?
- На этой странице нет: объём здесь вывод, а не вход. Само по себе это вполне возможно, ведь радиус равен кубическому корню из утроенного объёма, делённого на четыре π, но это другая операция, и страница её не делает. Если известно, сколько должен вмещать сосуд, и нужно узнать, каким будет шар, считать это придётся отдельно.
- Ответ должен быть в литрах?
- Страница печатает кубические сантиметры, а тысяча из них и составляет литр, так что 523,5988 cm³ — это примерно 0,524 литра, и один миллилитр равен одному кубическому сантиметру. Для крупных шаров числа быстро становятся большими: шар диаметром в метр вмещает больше половины кубометра, то есть больше пятисот литров. Список единиц меняет то, что вы вводите, а не то, что выходит в ответ.
Источники
- Sphere — the ball itself, with the volume formula this page computes and the two-thirds relation to the cylinder that just contains it — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — what a volume is in general and how it is defined for a curved solid, which is the part of the sphere that cannot be reached by stacking flat slices — Wolfram MathWorld (United States)
- Cylinder — the solid a sphere fits inside, whose volume the sphere takes exactly two thirds of, and the shape most nearly comparable to it — Wolfram MathWorld (United States)