Калькулятор объёма конуса

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) Боковая поверхность = πrl Полная поверхность = πr(l + r)

r

Радиус круглого основания, в сантиметрах. Обязателен, и ноль допускается: конус нулевого радиуса — это вертикальный отрезок, стоящий на точке

h

Высота по перпендикуляру от центра основания прямо вверх до вершины, в сантиметрах. Обязательна, и это не образующая: у любого конуса, кроме вырожденного с нулевой высотой, это два разных числа

l

Образующая — расстояние от вершины вниз по боку до края. Это гипотенуза треугольника из радиуса, высоты и бока, поэтому она всегда длиннее любого из них. Единственный из четырёх выводов, который регулярно выходит точным: целые радиус и высота могут дать целую образующую

V

Объём в кубических сантиметрах, треть произведения площади основания на высоту. Эта треть и есть вся разница между этой страницей и страницей цилиндра, где такое же выражение стоит без делителя

Боковая поверхность

Площадь только кривой поверхности, π умножить на радиус и на образующую. Основание сюда не входит. Обратите внимание, что здесь берётся образующая, а не высота, — это самая частая подстановка не туда на этом теле

Полная поверхность

Кривая поверхность плюс круглое основание, что сводится к π умножить на радиус и на сумму образующей с радиусом. Считается прямо из радиуса и образующей за один шаг, а не сложением двух площадей, поэтому она не всегда равна показанной боковой площади плюс πr²

Два знака после запятой

Ширина записи каждого вывода. Объём и обе площади иррациональны почти при любом входе; образующая точна тогда, когда радиус и высота образуют пифагорову тройку, — оттого у значений по умолчанию и появляются нули на конце

Очевидные задачи — те, где конус стоит перед вами и про него нужно число. Коническая куча щебня или зерна, у которой можно измерить ширину основания и высоту, а образующая спрятана внутри материала. Коническая крыша или шпиль, где покрывать приходится наклонную поверхность, а образующая — то число, по которому считают кровлю. Воронка, бункер, бумажный стаканчик, праздничный колпак: объём говорит, сколько туда влезет, а боковая площадь — сколько материала уйдёт на изготовление, и это два разных вопроса с двумя разными ответами на одной странице. Третий вопрос, на который страница отвечает, — сравнительный. Выбор между конусом и цилиндром в таре и в хранении вполне реален, и сравнение всегда идёт с одним и тем же множителем три: цилиндр с тем же основанием и той же высотой вмещает ровно втрое больше, поэтому конический бункер при той же площади основания вмещает треть от цилиндрического. Две привычки стоит с собой носить. Образующая — всегда самая длинная из трёх длин в треугольнике по боку конуса, поэтому образующая короче высоты означает, что графы заполнили наоборот: образующую измеряют по внешней стороне, и меньшей она быть не может. И боковая площадь всегда меньше полной, ведь полная — это боковая плюс основание, поэтому полная, оказавшаяся меньше боковой, — признак того, что где-то вычли вместо того, чтобы прибавить.

1. Радиус три и высота четыре

   1. Образующая: √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Объём: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, что округляется до 37,70
   3. Боковая площадь: π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, что округляется до 47,12
   4. Полная площадь: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, что округляется до 75,40

   Тот вход, с которым страница загружается, и единственный в этом наборе, где каждый шаг делается в уме: три и четыре дают гипотенузу ровно пять, поэтому образующая целая, а обе площади — целые кратные π. Обратите внимание на арифметику объёма: площадь основания равна девяти π, а треть от неё, умноженная на четыре, даёт двенадцать π, — вот почему ответ чуть меньше тридцати восьми, а не чуть больше сотни. Конус такого размера вмещает около тридцати восьми миллилитров, и это полезно помнить, когда результат выглядит ошибочным ровно в три раза.

2. Радиус пять и высота двенадцать

   1. Образующая: √(25 + 144) = √169 = 13
   2. Объём: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, что округляется до 314,16
   3. Боковая площадь: π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, что округляется до 204,20
   4. Полная площадь: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, что округляется до 282,74

   Вторая известная целочисленная тройка, и конус повыше и поуже, чем по умолчанию. Посмотрите, как близок объём к круглому числу: сто π это 314,16, так что конус радиуса пять и высоты двенадцать вмещает почти ровно литр. Такое совпадение удобно держать как проверку, когда считаешь в сантиметрах: сто π кубических сантиметров — это сто объёмов кубика в сантиметр, умноженные на π, и числа на экране должны быть чуть больше трёхсот.

3. Радиус шесть и высота восемь, где два ответа совпадают

   1. Образующая: √(36 + 64) = √100 = 10
   2. Объём: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, что округляется до 301,59
   3. Боковая площадь: π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, что округляется до 188,50
   4. Полная площадь: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, что округляется до 301,59

   Та строка в таблице ниже, про которую пишут как про ошибку. Объём и полная площадь поверхности равны одному и тому же числу, 301,59, и это арифметика, а не задвоенный столбец: объём выходит 96π и полная площадь тоже выходит 96π, потому что при образующей десять выражение πr(l + r) превращается в π × 6 × 16, то есть в те же девяносто шесть π, что и объёмная дробь. Величины это разные — одна в кубических сантиметрах, другая в квадратных, — так что совпадение только в цифрах и больше нигде. Выходит оно потому, что у этого конуса образующая равна восьми, а радиус с высотой образуют тройку; это не правило, и соседние строки его не разделяют.

4. Радиус, равный высоте

   1. Образующая: √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, что округляется до 14,14
   2. Объём: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1000π ÷ 3 = 1047,1975…, что округляется до 1047,20
   3. Боковая площадь: π × 10 × 14,14214 = 444,2883…, что округляется до 444,29
   4. Полная площадь: π × 10 × (14,14214 + 10) = 758,4479…, что округляется до 758,45

   Конус высотой во столько же, каков радиус его основания: треугольник по боку становится равнобедренным, а образующая — ровно радиус, умноженный на корень из двух. Корень иррационален, так что это обычный случай: образующая, которая не кончается, и две площади вслед за ней. Это ещё и случай, где формула объёма читается легче всего — тысяча π, делённая на три, — и где читатель, забывший про треть, получит 3141,59, то есть ровно втрое больше. Множитель три — самая частая ошибка на этой странице.

5. Высота ноль

   1. Образующая: √(16 + 0) = 4, то есть радиус, потому что вершина не поднята вовсе
   2. Объём: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, потому что высоты, которая его создала бы, нет
   3. Боковая площадь: π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, что округляется до 50,27
   4. Полная площадь: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, что округляется до 100,53

   Законный вход, дающий неожиданную строку: объём равен нулю, а остальные три ответа — нет. Конус нулевой высоты — это плоский диск: над основанием ничего нет, поэтому и вмещает он ничего, но его кривая поверхность не исчезла, а расплющилась во второй такой же диск, и полная площадь двух кругов вдвое больше одного. Это стоит увидеть один раз, потому что нулевой объём рядом с тремя ненулевыми ответами выглядит как частично сломавшийся расчёт и им не является. Это ещё и тот вход, который ловит описанное выше упрощение: полная площадь здесь равна πr² + πr², то есть ровно удвоенной боковой, и страница, складывавшая две площади, получила бы на этой строке тот же ответ, а на первой — другой.

Все выводы даны в сантиметрах, квадратных сантиметрах и кубических сантиметрах, что бы ни было выставлено в списках единиц на входе. Выбор дюймов меняет то, как читаются ваши числа на входе, и ничего — в результатах, поэтому конус, введённый как четыре дюйма на шесть, вернётся объёмом в кубических сантиметрах. Так сделано намеренно, и таблица ниже следует тому же правилу, но это значит, что ответ придётся переводить, если он был нужен в той единице, которую вы набрали. Объём выводится в кубических сантиметрах, а не в литрах и не в миллилитрах, а это другая единица той же размерности: если нужны литры, делите на тысячу, а если миллилитры, то их столько же, сколько кубических сантиметров. Три ответа из четырёх содержат π и потому иррациональны почти при любом входе, так что два знака — это обрез, а не полный ответ. Четыре ответа считаются прямо из вашего радиуса и высоты и никогда друг из друга, поэтому полная площадь поверхности не всегда равна показанной боковой плюс показанное основание: это одно и то же выражение, вычисленное за один шаг, и восстановление его из напечатанной боковой площади может разойтись в последней цифре. Страница принимает два измерения и даёт четыре; обратно, от объёма к радиусу, она не считает, и графы для образующей у неё нет, поэтому конус, у которого вы измеряете образующую, а высота спрятана в материале, сюда в таком виде не ввести. Высота — это высота по перпендикуляру, а не образующая, и страница не может заметить, что их перепутали: подставленная в графу высоты образующая даст четыре ответа, каждый из которых внутренне согласован и все четыре неверны. Хотя бы один из двух входов должен быть не равен нулю, чтобы ответ имел смысл, хотя оба могут быть нулями, если вам нужна арифметика, а не тело. И наконец, это прямой круговой конус с вершиной точно над центром основания; конус, наклонённый в сторону, или конус с эллиптическим основанием — другое тело, и здешние формулы к нему не подходят.

Почему объём делится на три?

Потому что конус вмещает ровно треть того, что вмещает цилиндр на том же основании и с той же высотой. Возьмите площадь основания, умножьте на высоту — это объём того цилиндра, а конус составляет его треть. Такое же соотношение связывает пирамиду и призму, в которую она вписалась бы, и это самый часто забываемый множитель в этом расчёте: ответ, который втрое больше, почти всегда означает пропущенное деление на три, а не ошибку в арифметике.

Высота и образующая — это одно и то же?

Нет, и это та ошибка, к которой это тело приглашает чаще всего. Высота измеряется прямо вверх от центра основания до вершины. Образующая измеряется по поверхности, от вершины вниз до края, поэтому она гипотенуза треугольника из радиуса, высоты и бока и всегда длиннее любого из этих двух. В объёме участвует высота. В боковой площади — образующая. Их путаница даёт ответ, ошибочный во столько раз, насколько конус высок, и страница этого заметить не может.

Как найти образующую?

Это корень из суммы квадратов радиуса и высоты, то есть теорема Пифагора, применённая к треугольнику по боку конуса. Радиус три и высота четыре дают образующую ровно пять — потому эти числа и стоят на странице по умолчанию: каждый шаг проверяется в уме. Большинство пар чисел так аккуратно не выходит, и тогда образующая — иррациональное число, округлённое до двух знаков.

Почему полная площадь поверхности — это не просто боковая плюс основание?

В точной арифметике именно так, и страница пользуется объединённой формой πr(l + r), а не складывает две отдельно округлённые части. Разница видна в напечатанных цифрах: боковая площадь округляется до двух знаков ещё до того, как вы её увидите, поэтому, прибавив её к площади основания самостоятельно, легко оказаться на сотую в стороне от ответа страницы. Число страницы посчитано из радиуса и образующей за один шаг, и доверять стоит ему.

Почему ответ в сантиметрах, если я вводил дюймы?

Потому что эта страница выводит всё в сантиметрах, квадратных и кубических, независимо от списков единиц, чтобы результаты и таблица под ними всегда сходились. Список меняет то, как понимается ваше число на входе. Для перевода делите длины на 2,54, площади на 6,4516, а объём на 16,3871; или не переводите вовсе, а поменяйте единицу у ответа — работы обычно меньше.

Радиус или высота могут быть нулём?

Да, и оба дают настоящие ответы, а не пустые. Нулевая высота сплющивает конус в диск: объём равен нулю, потому что над основанием ничего нет, но кривая поверхность просто стала вторым диском, поэтому боковая площадь равна площади основания, а полная вдвое больше. Нулевой радиус сжимает конус в вертикальный отрезок: объём и обе площади равны нулю, а образующая равна высоте. Оба нуля дают нули везде.

• Cone — the solid formed by a circular base and an apex, with the volume one third of the base area times the height and the lateral area πrl, both of which this page evaluates; the entry traces the one-third result to Eudoxus, with later proofs by Archimedes in On the Sphere and Cylinder and by Euclid in Elements XII.10 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation that gives the slant height from the radius and the perpendicular height, since those two are the legs of the right triangle down the side of the cone — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in the volume and the two areas, and the reason three of the four answers on this page are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)