Калькулятор объёма пирамиды

V = A × h ÷ 3

A

Площадь основания, в квадратных сантиметрах. Это площадь, а не пара длин рёбер, потому что основанием может быть любой многоугольник: в формуле основание участвует только тем, сколько места оно занимает, поэтому квадратное основание в 36 квадратных сантиметров и шестиугольное в 36 квадратных сантиметров дают один и тот же объём при одной и той же высоте. Вычисление площади — отдельный шаг, и калькуляторы площади прямоугольника, треугольника, круга и правильных многоугольников на этом сайте есть

h

Высота, в сантиметрах: перпендикулярное расстояние от основания до вершины, а не длина вдоль наклонного ребра. Это единственный размер пирамиды, который нельзя снять рулеткой по поверхности, и именно его чаще всего путают — наклонное ребро всегда длиннее высоты, потому что оно гипотенуза треугольника, у которого другие стороны это высота и половина основания

V

Объём, в кубических сантиметрах. Это треть того, что вмещала бы призма с тем же основанием и той же высотой, и в этом всё содержание формулы: три копии пирамиды заполняют призму ровно, какой бы формы ни было основание. Он печатается с двумя знаками после запятой, а не с четырьмя, потому что деление на три — единственная операция в этом семействе, которая надёжно превращает целые числа в бесконечную дробь: основание 1 и высота 1 дают 0,3333, тогда как полезно прочитать здесь именно «треть»

÷ 3

Константа, которая и делает пирамиду пирамидой. Она берётся из того, что три равные пирамиды собираются в призму с тем же основанием и той же высотой, поэтому пирамида составляет ровно треть призмы — не приблизительно и не только для квадратных оснований. Это то же самое деление, что и на странице объёма конуса, ведь конус — это пирамида, у которой основанием оказался круг

Эта страница нужна тогда, когда есть пирамида и нужно узнать, сколько она вмещает или сколько в ней материала, и когда основание можно выразить числом как площадь. Последнее условие и решает, та ли это страница. Если основание — квадрат или прямоугольник и известны две его стороны, арифметика достаточно коротка, чтобы проделать её в уме, а калькуляторы площади на этом сайте дадут основание одним шагом; если же основание — шестиугольник или пятиугольник, либо неправильный контур, измеренный как-то иначе, то эта площадь вводится именно здесь. Формула заодно самая быстрая проверка любой пирамидообразной вещи: каким бы ни было основание, фигура вмещает треть того, что вмещала бы коробка с тем же основанием и той же высотой. Это стоит применять до того, как поверить любой цифре. Крыша-пирамида над пятном в 100 квадратных метров при высоте 9 метров заключает в себе 300 кубических метров пространства, тогда как та же крыша, поднятая в коробку с плоским верхом, заключила бы 900, и разница между этими двумя числами и объясняет, почему пирамидальные крыши выглядят так, как выглядят. Стоит назвать ещё два применения поменьше. Вырезание пирамиды из цельного материала — это вопрос об объёме отходов: пирамида, выточенная из бруска, оставляет две трети бруска, и это самое наглядное различие между вырезанием фигуры из материала и отливкой её. А наполнение пирамиды — бункер, зерновой склад, коническая куча гравия, песочные часы — это та же страница, где основание равно площади пола, и ответ здесь и есть вместимость, а для круглой фигуры тот же ответ даст страница конуса. Если пирамида не прямая или вершина сидит не над серединой основания, страница всё равно годится: формула использует только перпендикулярную высоту и площадь основания, а наклонная пирамида с тем же основанием и той же высотой вмещает ровно столько же, сколько прямая, — факт действительно неожиданный и при этом полезный.

1. Основание 36 квадратных сантиметров и высота 4

   1. Основание на высоту: 36 × 4 = 144
   2. Делим на три: 144 ÷ 3 = 48

   Тот набор, с которым страница загружается, и та строка, на которой видно соотношение, ради которого формула и устроена: призма с тем же основанием и той же высотой вмещала бы 144 кубических сантиметра, а пирамида вмещает ровно треть этого. Оба числа стоит держать в голове, потому что переход между ними — одно умножение или одно деление, а объём призмы обычно гораздо легче прикинуть по размеру предмета.

2. Основание 1 и высота 1

   1. Основание на высоту: 1 × 1 = 1
   2. Делим на три: 1 ÷ 3 = 0,33333…, что округляется до 0,33

   Единичная пирамида и объяснение того, почему эта страница печатает два знака там, где страница параллелепипеда печатает четыре. Единица, делённая на три, — это 0,3333 до четырёх знаков, и выглядит это как измерение, которое почему-то вышло в три десятых тысячных; 0,33 читается как то, чем и является, — треть чего-то. В этом весь довод за более узкую ширину: деление на три — единственная операция в этом семействе, которая надёжно даёт бесконечную дробь, и лишние её знаки не добавляют никакой информации.

3. Основание 100 и высота 9

   1. Основание на высоту: 100 × 9 = 900
   2. Делим на три: 900 ÷ 3 = 300

   Строка, по которой стоит проверять всю страницу, потому что все три числа точны и вариант с призмой очевиден: коробка с основанием 100 квадратных сантиметров и высотой 9 вмещает 900 кубических сантиметров, а пирамида из них 300. Если крыша-пирамида накрывает 100 квадратных метров при высоте 9 метров, она заключает 300 кубических метров пространства — примерно та цифра, от которой зависит, сколько воздуха зданию придётся отапливать.

4. Пирамида Хеопса

   1. Площадь основания в квадратных сантиметрах: 230 м × 230 м = 52900 м², то есть 529000000 см²
   2. Высота в сантиметрах: 146,6 м = 14660 см
   3. Основание на высоту: 529000000 × 14660 = 7755139999999,999…, то есть 7,75514 × 10¹²
   4. Делим на три: 7755140000000 ÷ 3 = 2585046666666,666…, что округляется до 2585046666666,67

   Крупнейшая из египетских пирамид, с первоначальным основанием около 230 метров по стороне и первоначальной высотой около 146,6 метра. Ответ напечатан в кубических сантиметрах, потому что такова единица этой страницы, и это не то число, которое кто-нибудь читает напрямую: разделите на миллион, и получится 2585046,67 кубического метра, то есть около 2,6 миллиона кубических метров камня. Это та строка, где деление на три стоит заметить: коробка, в которую пирамида поместилась бы, вмещает 7755140 кубических метров, ровно втрое больше пирамиды, — то же основание и та же высота дают втрое больший объём.

Основание должно быть плоским, а боковые стороны идти от его рёбер прямо к одной вершине: пирамида со ступенчатым профилем, как ранние египетские пирамиды и зиккураты, — это стопка коробок и плит, а не одна пирамида, и эта формула ошибётся для неё очень сильно. Усечённая пирамида, то есть пирамида со срезанной верхушкой, а это и есть большинство крыш и бункеров, — тоже не эта фигура: для её объёма нужны обе площади, верхняя и нижняя, а на этой странице одно поле для основания. Высота должна быть перпендикулярным расстоянием от плоскости основания до вершины, а не расстоянием вдоль наклонного ребра или вдоль грани; измерение наклонного ребра — самый распространённый способ получить завышенную цифру, и на высокой пирамиде она завышена сильно, а не чуть-чуть. Площадь основания здесь вход, а не то, что страница вычисляет, поэтому основание, измеренное двумя сторонами, придётся сначала превратить в площадь, а неправильное основание — измерить тем способом, какой к нему подходит. Страница не может дать наклонную высоту, площадь поверхности или длину какого-либо ребра: ничего из этого не выводится из одной лишь площади основания, ведь длинное узкое основание и компактное с той же площадью имеют разные наклонные высоты, разные площади поверхности и разные рёбра. Ответ приходит в кубических сантиметрах независимо от того, что выбрано в списках единиц для основания и высоты, поэтому основание, введённое в квадратных метрах, вернётся ответом в кубических сантиметрах, который придётся переводить самому: миллион кубических сантиметров в кубическом метре, или миллионная доля кубического метра на кубический сантиметр. Два знака после запятой — это ширина показа, а не утверждение о точности, и она честна для измеренной пирамиды, но очень груба для большой, где осмысленны только две последние цифры перед запятой. Страница предполагает, что вершина находится где-то над основанием, и не интересуется где: прямая пирамида и наклонная с тем же основанием и той же высотой имеют один и тот же объём, и это верно, и это стоит знать, а не считать ограничением. Про вес, стоимость материала и отходы от вырезания фигуры из цельного бруска она тоже ничего не говорит: всё это можно посчитать из объёма, но ничего из этого здесь не печатается.

Почему объём пирамиды равен трети призмы вокруг неё?

Потому что три пирамиды с одинаковым основанием и одинаковой высотой заполняют призму точно, без зазоров и без наложений, каким бы многоугольником ни было основание. Это не приближение и это не свойство только квадратных оснований: пирамида с треугольным основанием и пирамида с шестиугольным обе составляют ровно треть призмы, которая их вместила бы. Та же треть появляется на странице объёма конуса, ведь конус — это пирамида, у которой основанием служит круг.

Что вводить: стороны основания или его площадь?

Площадь. В формуле основание участвует только тем, сколько места оно занимает, поэтому две стороны прямоугольного основания были бы без нужды узким способом задать вопрос. Площадь заодно позволяет странице принимать основания, которые иначе и не описать: шестиугольное, треугольное или неправильный контур, измеренный как-то иначе. Если основание прямоугольное или квадратное, калькуляторы площади прямоугольника и квадрата на этом сайте дадут площадь одним шагом.

Какую высоту измерять?

Перпендикулярную: расстояние по прямой от плоскости основания до вершины, измеренное под прямым углом к основанию. Не длину наклонного ребра и не расстояние вверх по середине грани. Наклонное ребро всегда длиннее высоты — оно гипотенуза треугольника, у которого другие стороны это высота и половина диагонали основания, — поэтому измерение по ребру даёт завышенный ответ, а на высокой пирамиде сильно завышенный.

Сколько камня в пирамиде Хеопса?

Её первоначальное основание было около 230 метров по стороне, то есть 52 900 квадратных метров, а первоначальная высота около 146,6 метра. Площадь основания, умноженная на высоту и делённая на три, даёт около 2,6 миллиона кубических метров. Полезно сравнение с коробкой, которая вместила бы пирамиду: в ней втрое больше, около 7,8 миллиона, и этот разрыв и есть весь смысл деления — то же основание и та же высота, а объёма треть.

Можно ли здесь получить наклонную высоту или площадь поверхности?

Нет, и причина в том, что страница принимает на входе. Наклонная высота — это расстояние от вершины вниз до середины ребра, и оно зависит от формы основания, а не только от его площади: длинное узкое основание в 100 квадратных сантиметров и компактное с той же площадью имеют совершенно разные наклонные высоты и совершенно разные площади поверхности. Чтобы посчитать любое из этого, странице пришлось бы знать контур основания, — а именно этого и избегает приём с площадью вместо двух рёбер.

Наклонная пирамида вмещает меньше прямой?

Нет, ровно столько же, если площадь основания и перпендикулярная высота те же. Формула объёма использует только эти два числа и никогда не спрашивает, где вершина находится над основанием, поэтому пирамида, у которой верхушка свалилась набок, вмещает ровно столько же, сколько стоящая прямо над серединой. Это настоящий результат, а не эффект округления, и по той же причине стопка монет вмещает одно и то же независимо от того, сложены монеты ровно или со сдвигом.

• Pyramid — the solid this page computes, including the relation between a pyramid and the prism of the same base and height that produces the division by three — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — what a volume is and how the volume of a solid is defined, which is the framework the pyramid formula sits in — Wolfram MathWorld (United States)
• Prism — the solid three copies of a pyramid assemble into, which is where the one-third in the formula comes from and why it holds for every shape of base — Wolfram MathWorld (United States)