Калькулятор объёма параллелепипеда
Результат
Объём
- Полная площадь поверхности
- 112,0000 cm²
Калькулятор объёма прямоугольного параллелепипеда берёт длину, ширину и высоту прямоугольной коробки и возвращает два числа: сколько места коробка занимает, в кубических сантиметрах, и какую площадь складывают её шесть граней, в квадратных сантиметрах. Спрашивают и то и другое, потому что от коробки обычно нужно сразу оба: сколько она вмещает и сколько материала уйдёт на то, чтобы её сделать или обклеить. Объём — это длина, умноженная на ширину и на высоту; из всех здешних формул это единственная, которую все знают и без подсказки: столько единичных кубиков внутрь и поместится. Площадь поверхности — это удвоенная сумма трёх пар граней, ведь противоположные грани коробки одинаковы, так что различных прямоугольников всего три, и каждый из них встречается дважды. Эти две величины ведут себя по-разному, когда коробка меняет размер, и это различие — самое полезное на странице. Увеличьте коробку вдвое по всем трём направлениям, и площадь поверхности вырастет вчетверо, а объём — в восемь раз. Оттого большая ёмкость вмещает непропорционально больше маленькой, а материала на единицу содержимого ей нужно непропорционально меньше, и оттого животное вдвое длиннее другого не вдвое тяжелее. В таблице ровно по этой причине стоит пара строк: 3, 4 и 5 вырастают до 6, 8 и 10, площадь поверхности идёт с 94 до 376, а объём с 60 до 480. Про единицы нужно сказать отдельно, потому что ошибаются чаще всего именно здесь. Каждая из трёх граф принимает сантиметры, метры, миллиметры, дюймы или футы, а оба ответа приходят в сантиметрах: объём — кубические сантиметры, площадь — квадратные. Поэтому коробка, измеренная в дюймах, даёт объём, который придётся делить на 16,387064, чтобы прочитать его в кубических дюймах, а не на 2,54 и не на 6,4516. Объёмы переводятся кубом множителя длины, и подставить сюда сам множитель длины — как раз та ошибка, за которой стоит следить. Заполнить нужно все три размера. У этой страницы нет такого порядка, при котором вы задаёте два и она вычисляет третий, и нет списка выбора фигуры: это коробка и только коробка. Если фигура — цилиндр, конус или шар, это другая страница; если это круглый бак, страница аквариума берёт те же три измерения и отвечает в литрах и галлонах. Ещё о порядке вывода. Объём стоит первой строкой, а площадь поверхности второй, за каким бы из них вы ни пришли. Так потому, что страница названа по объёму, и потому, что объём — это величина с единственной общеизвестной формулой, а площадь поверхности приходится искать.
Обычные коробки: объём и площадь поверхности по трём рёбрам
| Длина (cm) | Ширина (cm) | Высота (cm) | Объём (cm³) | Площадь поверхности (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 60 | 94 |
| 5 | 4 | 4 | 80 | 112 |
| 6 | 8 | 10 | 480 | 376 |
| 10 | 10 | 10 | 1000 | 600 |
| 12 | 8 | 6 | 576 | 432 |
| 20 | 15 | 10 | 3000 | 1300 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.125 | 1.5 |
Восемь коробок и пять столбцов: три размера на входе, два числа на выходе. Вторая строка и четвёртая — та пара, которая и несёт главную мысль страницы: 3, 4 и 5, удвоенные до 6, 8 и 10, где объём идёт с 60 до 480, а площадь поверхности только с 94 до 376. Третья строка — тот набор, с которым страница загружается, 5, 4 и 4, и это же тот случай, который страница площади поверхности разбирает для своего варианта с призмой: 112 там и там. Первая строка — единичный куб: объём один, поверхность шесть, это самая маленькая коробка из возможных, и полезно держать её в голове, читая любую площадь. Пятая строка — куб, а шестая и седьмая — коробки плоские и длинные, вмещающие заметно больше; сравнение с кубом и показывает, что коробка платит за свою форму, а не только за размер. Шестая вмещает 576 кубических сантиметров за 432 квадратными сантиметрами поверхности, то есть три четверти квадратного сантиметра на кубический, тогда как у куба выходит шесть десятых, — значит, для своей вместимости куб экономнее всех, и каждый шаг в сторону от него стоит картона. Последняя строка — кубик в полсантиметра, где объём так и печатается с тремя знаками, 0,125, потому что вычисление здесь точное, а не округлённое до четырёх знаков, которые допускает показ. Ячейки таблицы печатает программа, и она выводит их с точкой и без разделителя тысяч: те же самые числа в тексте этой страницы записываются с запятой — это одно и то же число в двух записях, и путаницы здесь нет.
Формула
V = lwh S = 2(lw + lh + wh)
- l
- Длина коробки в сантиметрах — любое из трёх рёбер, лишь бы два других были шириной и высотой. Коробке всё равно, какое название досталось какому ребру
- w
- Ширина, в сантиметрах. Вместе с длиной она задаёт прямоугольник основания — ту грань, на которой коробка стоит
- h
- Высота, в сантиметрах: насколько коробка поднимается над основанием. Это третье направление и то самое, которое превращает прямоугольник площади в тело объёма
- lwh
- Объём — три длины, перемноженные между собой. Это столько кубиков со стороной в сантиметр внутрь и поместится, а это и означает кубический сантиметр
- lw, lh, wh
- Три различных прямоугольника из шести граней: основание, передняя грань и боковая. Остальные три грани — те же самые прямоугольники ещё раз, поэтому в формуле площади и не приходится складывать шесть отдельных площадей
- 2(lw + lh + wh)
- Площадь поверхности, в квадратных сантиметрах. Множитель два означает, что противоположные грани коробки одинаковы, и именно этот шаг пропускают, когда складывают шесть граней и каждую пару считают дважды
- Четыре знака после запятой
- Ширина записи обоих чисел. Оба точны всякий раз, когда точны три длины, поэтому четыре знака здесь — ширина показа, а не признак приближения: 0,125 так и печатается целиком
Упаковка и пересылка — самый наглядный случай. Объём посылки — то, по чему считает курьер, а площадь поверхности — тот картон, из которого делается коробка; это два числа, которые нужны до того, как выбран размер тары, и объём же решает, влезет ли вещь внутрь. Второе — хранение: сколько вмещает ящик, выдвижной ящик, контейнер, коробка для бумаг или стеллажная секция и какую часть стены закроет их внешняя сторона. Третье — материалы: площадь поверхности — это то, что нужно покрасить, обернуть, выстелить, покрыть порошком или обтянуть, поэтому работа, оцениваемая за квадратный метр, начинается с этой формулы, а объём — то, чем коробку надо наполнить, если наполнитель продаётся на объём. В строительстве это бетон в прямоугольном фундаменте, грунт из прямоугольного котлована, вода в прямоугольном баке или пруду и засыпка в прямоугольной грядке — всё это одно и то же умножение, и в нём на самом деле ломается только одно: три размера должны быть в одной единице. В производстве это материал в обрабатываемой заготовке, вместимость бункера и объём слитка до обработки. В науках — плотность всего, что можно нарезать прямоугольными брусками, ведь плотность это масса, делённая на объём, а также объём кюветы или прямоугольного образца. На уроке — демонстрация того, что объём и площадь поверхности это разные вещи, выросшие из одних и тех же трёх чисел: соберите коробку из сантиметровых кубиков, посчитайте кубики для объёма, посчитайте квадратики снаружи для площади, и тот факт, что при удвоении коробки эти два счёта растут по-разному, и есть весь урок. А в бытовой арифметике — пройдёт ли мебель в дверной проём, сколько земли нужно приподнятой грядке и достаточно ли велика коробка в шкафу для того, что в неё собираются положить.
Разобранные примеры
Коробка 5 на 4 на 4
- Прямоугольник основания: 5 × 4 = 20
- Два других прямоугольника: 5 × 4 = 20 и 4 × 4 = 16
- Складываем три и удваиваем: 2 × (20 + 20 + 16) = 112 квадратных сантиметров
- Перемножаем все три длины: 5 × 4 × 4 = 80 кубических сантиметров
Те размеры, с которыми страница загружается, и тот случай, который страница площади поверхности разбирает для своего варианта с призмой. Обе страницы печатают для него 112, и это стоит проверить: к этому числу они приходят разными путями, и расхождение между ними было бы ошибкой в одной из двух. Заметьте, что два размера из трёх здесь равны, поэтому два различных прямоугольника из трёх совпадают.
Коробка 3 на 4 на 5
- Три прямоугольника: 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15 и 4 × 5 = 20
- Складываем и удваиваем: 2 × (12 + 15 + 20) = 94 квадратных сантиметра
- Перемножаем все три: 3 × 4 × 5 = 60 кубических сантиметров
Классический набор размеров и та пара, которую стоит посмотреть рядом со следующей строкой: удвоение каждого ребра даёт не просто коробку побольше, а другой характер ответа. Эта строка — меньшая половина той демонстрации, ради которой страница и сделана.
Та же коробка вдвое больше: 6 на 8 на 10
- Три прямоугольника: 6 × 8 = 48, 6 × 10 = 60 и 8 × 10 = 80
- Складываем и удваиваем: 2 × (48 + 60 + 80) = 376 квадратных сантиметров
- Перемножаем все три: 6 × 8 × 10 = 480 кубических сантиметров
Каждое ребро удвоено, поэтому площадь поверхности вчетверо больше 94 из предыдущей строки, а объём в восемь раз больше её 60. Это самое полезное на странице: удвоение коробки не удваивает ни то, что она вмещает, ни то, из чего она сделана, и даже между собой эти две величины растут не одинаково. То же соотношение и делает большую ёмкость дешевле малой в расчёте на литр.
Коробка 12 на 8 на 6
- Три прямоугольника: 12 × 8 = 96, 12 × 6 = 72 и 8 × 6 = 48
- Складываем и удваиваем: 2 × (96 + 72 + 48) = 432 квадратных сантиметра
- Перемножаем все три: 12 × 8 × 6 = 576 кубических сантиметров
Коробка более плоская и длинная, и та строка, которую стоит сравнить с кубом из таблицы. Она вмещает 576 кубических сантиметров и имеет 432 квадратных сантиметра поверхности, то есть три четверти квадратного сантиметра картона на каждый кубический сантиметр внутри; у куба 1000 при 600, то есть шесть десятых. Среди всех коробок одного объёма куб — тот, у которого поверхность наименьшая, и каждое отклонение от него стоит материала; поэтому кубическая тара и оказывается самой экономной, а плоская коробка той же вместимости — нет.
Коробка без высоты: 5 на 5 на 0
- Три прямоугольника: 5 × 5 = 25, 5 × 0 = 0 и 5 × 0 = 0
- Складываем и удваиваем: 2 × (25 + 0 + 0) = 50 квадратных сантиметров
- Перемножаем все три: 5 × 5 × 0 = 0 кубических сантиметров
Коробка, расплющенная в лист. Объём равен нулю, и это правильно, а не отказ страницы отвечать, а площадь поверхности нулю не равна: она составляет 50 — это две грани, которые остались. Ноль законен в любой из трёх граф: измерить ноль — это измерение, и только оставленная пустой графа означает, что считать не из чего.
Ограничения
Эта страница считает прямоугольную коробку и больше ничего: ни цилиндра, ни конуса, ни шара, ни пирамиды, ни тела неправильной формы, и она не принимает объём, чтобы обратным счётом найти недостающее ребро. Все три размера обязательны, и ни один из них не может быть отрицательным. Оба ответа приходят в сантиметрах — в кубических для объёма и в квадратных для площади, — в какую бы единицу ни была выставлена каждая графа, потому что перевод происходит на входе. Поэтому коробка, измеренная в дюймах, даёт объём, который надо разделить на 16,387064, чтобы прочитать его в кубических дюймах: объёмы переводятся кубом множителя длины, и делить на 2,54 или на 6,4516 по аналогии с длиной или площадью — та самая ошибка, которой стоит избегать. Вывода для диагонали, проходящей сквозь коробку, здесь нет, а диагональ, которая может быть у читателя в голове из характеристик экрана, — это диагональ грани, и это другая длина. Ничего здесь не учитывает коробку со скруглёнными углами, коробку без верхней грани и толщину материала, из которого она сделана: у открытой сверху коробки материала уйдёт меньше напечатанного здесь, и разница равна той грани, которую вы не поставили. Четыре знака после запятой — это ширина показа; само вычисление точно всякий раз, когда точны три входа, поэтому такое число, как 0,125, печатается целиком, а не округляется. И ничего здесь не переводит кубические сантиметры в литры: страница аквариума берёт те же три измерения и отвечает в литрах и галлонах, если нужны они.
Частые вопросы
- Почему удвоение каждой стороны умножает объём на восемь?
- Потому что каждая из трёх длин удваивается, а они перемножаются, так что множитель два входит трижды: два на два на два — восемь. Площадь поверхности удваивается только дважды, ведь площадь это произведение двух длин, поэтому она растёт вчетверо. Этот разрыв и объясняет, почему большая ёмкость вмещает куда больше малой, расходуя материала на единицу содержимого меньше, и почему маленькая коробка той же формы никогда не бывает выгодной копией большой.
- Я вводил дюймы. Почему объём в кубических сантиметрах?
- Потому что перевод происходит на входе, а не на выходе. Ваши дюймы превращаются в сантиметры, и оба ответа приходят в сантиметрах. Чтобы прочитать объём в кубических дюймах, делите на 16,387064 — это 2,54 в кубе. Если разделить на 2,54, как поступили бы с длиной, ответ окажется неверным примерно в сорок раз.
- Какая из трёх граф — высота?
- Та, которую вы считаете вертикальной: коробке всё равно, какое название досталось какому ребру, потому что объём и площадь поверхности симметричны по всем трём. Страница употребляет слово высота в смысле высоты фигуры, а не бака и не человека, но арифметика не изменится, если поменять два из них местами.
- Это то же самое, что страница объёма аквариума?
- Геометрия та же, и три измерения те же самые, а ответы разные. Та страница считает фигуру ёмкостью и отвечает в литрах и галлонах, и размеры у неё ограничены такими, какие у бака и бывают. Эта считает её геометрическим телом и отвечает в кубических сантиметрах вместе с площадью поверхности, а это то, что нужно, когда коробка — предмет из материала, а не сосуд.
- Можно получить только площадь поверхности или другую фигуру?
- Страница площади поверхности принимает шар, конус, цилиндр или прямоугольную призму и возвращает только площадь снаружи, так что эта коробка там покрыта наравне с тремя другими фигурами. Её вариант с призмой — та же формула, что и здесь, и они сходятся: коробка 5 на 4 на 4 читается как 112 на обеих. Если хочется одна величина и никакого выбора, эта страница короче.
- Почему для коробки нет диагонали?
- Потому что диагональ, которую имеют в виду чаще всего и которую этот сайт уже где-то сообщает, — это диагональ плоской грани, та величина, что указывают для экранов. У коробки есть ещё диагональ сквозь середину, из угла в противоположный угол, и это другая длина с другой формулой. Напечатать одну из них под простым словом диагональ значило бы сделать подпись неверной на одной из двух страниц, поэтому здесь её и нет.
Источники
- Cuboid — the rectangular solid this page measures, its volume, its surface area and its diagonals — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — what a volume is and how it is defined, including why it is measured in cubed units and why the conversion between them is the cube of the length conversion — Wolfram MathWorld (United States)
- Surface Area — the area of the outside of a solid, and why opposite faces of a box can be counted once and doubled — Wolfram MathWorld (United States)