Калькулятор объёма цилиндра

V = πr²h Площадь торца = πr² Боковая поверхность = 2πrh Полная поверхность = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Радиус

Расстояние от центра торца до его края, в сантиметрах. Это половина диаметра, поэтому цилиндр, измеренный поперёк верха, а не поперёк середины, придётся сначала поделить на два. Ноль допускается и даёт цилиндр без ширины: тогда все четыре вывода равны нулю

Высота

Расстояние по перпендикуляру между двумя круглыми торцами, в сантиметрах. Это не путь поперёк кривого бока от одного края до противоположного: тот длиннее, ведь он идёт вокруг, а не прямо вверх, и, взяв его, вы завысите объём

Объём

Место внутри цилиндра, в кубических сантиметрах: площадь одного торца, умноженная на высоту. Кубический сантиметр — это миллилитр, поэтому объём в этих единицах переводится в литры прямым делением на тысячу

Площадь торца

Площадь одного круглого торца, в квадратных сантиметрах: π умножить на квадрат радиуса. Оба торца одинаковы, так что это площадь любого из них, а не обоих вместе

Боковая поверхность

Площадь только кривого бока, в квадратных сантиметрах. В развёртке этот бок — прямоугольник высотой h и шириной 2πr; отсюда и берётся формула, и это самый простой способ увидеть, почему в ней оказались и высота, и длина окружности

Полная поверхность

Два торца плюс кривой бок, в квадратных сантиметрах. С объёмом связана тесно, но ему не пропорциональна: удвоение высоты удваивает и то и другое, а удвоение радиуса умножает объём на четыре, а полную площадь — меньше чем на четыре

π

Отношение длины окружности к её диаметру, примерно 3,14159. Страница берёт полное значение двойной точности, а не укороченное, поэтому расчёт с 3,14 разойдётся с напечатанным ответом в последнем знаке

Два знака после запятой

Ширина записи каждого вывода. Два, а не четыре, потому что это физические измерения реальных предметов: радиус, снятый с линейки, сам неточен больше чем на третий знак, и печатать больше цифр значило бы обещать точность, которой у входа не было

Страница отвечает на два разных вида вопросов по одним и тем же двум входам. Первый — вместимость: сколько держит бак, бочка, труба или банка. Это объём, и полезно знать, что объём цилиндра растёт как квадрат радиуса, поэтому бак вдвое шире вмещает вчетверо больше, а бак вдвое выше — только вдвое, и потому при нехватке места широкие баки выигрывают у высоких. Второй — материал: сколько жести нужно банке, сколько краски колонне, сколько обёртки рулону. Это площади поверхности, и страница разделяет торцы и бок, потому что и поставляют их обычно по-разному: жесть режут из одного листа, а краску наносят на бок. Боковая площадь ещё и удивляет людей, потому что развернуть бок в прямоугольник неочевидно, пока не сделаешь это один раз: у цилиндра радиуса 5 и высоты 12 бок разворачивается в прямоугольник шириной 31,4 сантиметра и высотой 12. Один перевод стоит помнить наизусть: объём в кубических сантиметрах — это объём в миллилитрах, поэтому цилиндр объёмом 942,48 кубического сантиметра вмещает 0,942 литра — ответ в литрах здесь получается одним делением на тысячу, а не чем-нибудь поинтереснее.

1. Радиус 3 и высота 4

   1. Площадь торца: π × 3 × 3 = 28,274333…, что округляется до 28,27
   2. Объём: 28,274333… × 4 = 113,097335…, что округляется до 113,1
   3. Боковая площадь: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…, что округляется до 75,4
   4. Полная площадь: 2 × 28,274333… + 75,398223… = 131,946891…, что округляется до 131,95

   Тот вход, с которым страница загружается. Объём 113,1 кубического сантиметра — то же число, которое страница конуса выдаёт по тем же двум числам, и это не совпадение: конус составляет треть цилиндра, в который он вписывается, а те 113,1 на той странице были не объёмом, а площадью поверхности. Стоит один раз прочитать эти две страницы рядом, чтобы такое совпадение не выглядело ошибкой. Проверка, не требующая калькулятора: радиус 3 даёт торец около 28 квадратных сантиметров, четыре таких стопкой — около 113.

2. Радиус 5 и высота 12

   1. Площадь торца: π × 5 × 5 = 78,539816…, что округляется до 78,54
   2. Объём: 78,539816… × 12 = 942,477796…, что округляется до 942,48
   3. Боковая площадь: 2 × π × 5 × 12 = 376,991118…, что округляется до 376,99
   4. Полная площадь: 2 × 78,539816… + 376,991118… = 534,070751…, что округляется до 534,07

   Строка, которую стоит запомнить, если запоминать только одну: бок здесь разворачивается в прямоугольник, который легко себе представить. Длина окружности 2π × 5 равна 31,4159 сантиметра, а прямоугольник 31,4159 на 12 — это 376,99 квадратного сантиметра, то есть боковая площадь. Объём в миллилитрах равен 942,48, так что этот цилиндр вмещает чуть меньше литра. Удвоение высоты до 24 удвоило бы объём и боковую площадь, но оставило бы площадь торца равной 78,54 — это самый наглядный способ увидеть, какой вывод с каким входом масштабируется.

3. Радиус 10 и высота 10

   1. Площадь торца: π × 10 × 10 = 314,159265…, что округляется до 314,16
   2. Объём: 314,159265… × 10 = 3141,592654…, что округляется до 3141,59
   3. Боковая площадь: 2 × π × 10 × 10 = 628,318531…, что округляется до 628,32
   4. Полная площадь: 2 × 314,159265… + 628,318531… = 1256,637061…, что округляется до 1256,64

   Цилиндр высотой во столько же, каков его радиус, — та форма, которую все и рисуют, когда их просят нарисовать цилиндр. Объём равен тысяче π, а поскольку кубический сантиметр — это миллилитр, это 3,14 литра. Обратите внимание, что боковая площадь здесь ровно вдвое больше площади торца, и что это следствие равенства h и r, а не что-то особенное в десятках: то же удвоение выйдет при любых совпадающих радиусе и высоте.

4. Радиус 2 и высота 6

   1. Площадь торца: π × 2 × 2 = 12,566370…, что округляется до 12,57
   2. Объём: 12,566370… × 6 = 75,398223…, что округляется до 75,4
   3. Боковая площадь: 2 × π × 2 × 6 = 75,398223…, что округляется до 75,4
   4. Полная площадь: 2 × 12,566370… + 75,398223… = 100,530964…, что округляется до 100,53

   Строка, где два вывода совпадают: объём и боковая площадь равны оба 75,4. Это не опечатка и не частный случай: приравняв πr²h к 2πrh и сократив, получаем r = 2 при любой высоте, так что при этом радиусе объём и площадь бока совпадают при какой угодно высоте. Единицы при этом разные — кубические против квадратных, — и совпадение чисто численное. Такое читатель замечает на панели результатов и пишет об этом, так что лучше встретить это здесь.

5. Радиус 1 и высота 1

   1. Площадь торца: π × 1 × 1 = 3,141592, что округляется до 3,14
   2. Объём: 3,141592 × 1 = 3,141592, что округляется до 3,14
   3. Боковая площадь: 2 × π × 1 × 1 = 6,283185…, что округляется до 6,28
   4. Полная площадь: 2 × 3,141592 + 6,283185… = 12,566370…, что округляется до 12,57

   То же совпадение, но в другой паре столбцов: при высоте, равной единице, объём равен площади торца, потому что умножение на единицу ничего не меняет. Держится оно, опять же, при любом радиусе, и опять совпадают только числа, а не единицы. Вместе со строкой выше это даёт полезное правило: когда два столбца таблицы совпали, первым делом проверяют, не попал ли вход в значение, которое это совпадение и навязывает, а вторым — не измеряют ли эти столбцы вообще одно и то же.

Выводы всегда даны в кубических и квадратных сантиметрах, что бы ни было выставлено в списке единиц на входе. Выбор дюймов меняет то, как понимаются ваши два числа на входе, и ничего — то, как показывается ответ, поэтому цилиндр, введённый как 2 дюйма на 3, вернётся как 38,61 кубического сантиметра, и переводить обратно придётся самому. Так сделано намеренно, и таблица ниже следует тому же правилу, так что страница себе не противоречит. Радиус и высота читаются именно как радиус и высота по перпендикуляру, и страница не может понять, что вы измеряли диаметр или путь поперёк кривого бока: и то и другое подставится как есть и даст правдоподобный неверный ответ. Два знака после запятой — это ширина показа, а не заявка о точности: это измерения реальных предметов, и последняя цифра не значит ничего ни для чего, кроме точного входа. Полная площадь поверхности считается из неокруглённого радиуса, поэтому сложение напечатанной площади торца с напечатанной боковой может отличаться от напечатанной суммы на одну сотую — доверять стоит напечатанной сумме. Страница считает, что цилиндр закрыт с обоих концов; у трубы или открытой банки площадь поверхности меньше показанной ровно на одну площадь торца. И толщину стенок она никак не учитывает, поэтому вместимость бака — это измерение изнутри, а материал — снаружи, и эти два измерения за один раз списком единиц не выразить.

Какие два измерения нужны?

Радиус одного из круглых торцов и высота по перпендикуляру между торцами. Радиус — это половина расстояния поперёк, поэтому цилиндр, измеренный поперёк верха, даст 5 для десятисантиметровой банки. Высота измеряется прямо вверх по боку, а не поперёк кривой поверхности, и разница важна: при радиусе 5 и высоте 12 прямой путь равен 12, но кратчайший путь по внешней стороне длиннее, и, взяв его, вы завысите объём.

Почему ответ в сантиметрах, если я вводил дюймы?

Потому что четыре вывода — это фиксированный набор в сантиметрах, выбранный так, чтобы панель результатов и таблица под ней всегда сходились. Список единиц меняет то, как понимаются ваши числа на входе, а не то, как записывается ответ. Если ответ нужен в вашей единице, делите объём на 16,387, чтобы получить кубические дюймы, а три площади — на 6,4516, чтобы получить квадратные.

Чем боковая площадь отличается от полной площади поверхности?

Боковая площадь — это кривой бок сам по себе. Полная площадь поверхности — это кривой бок плюс оба круглых торца. Для закрытого цилиндра нужна полная; для трубы, открытой бочки и всего, что без торцов, нужна боковая. Страница печатает и то и другое, да ещё площадь торца, чтобы вопрос про торцы можно было решить, ничего не вычитая.

Как перевести объём в литры?

Разделить на тысячу. Один кубический сантиметр — это один миллилитр, а тысяча миллилитров составляет литр, поэтому объём 942,48 кубического сантиметра — это 0,942 литра. Перевод точен в обе стороны и как раз поэтому странице не нужен отдельный режим для вместимости: миллилитр изначально и определили как кубический сантиметр.

Почему объём и боковая площадь выходят одинаковыми?

Только когда радиус равен 2. Приравняв объём πr²h к боковой площади 2πrh и сократив, получаем r = 2 независимо от высоты, так что при этом радиусе два столбца совпадают в каждой строке. То же самое происходит между объёмом и площадью торца, когда высота равна 1. Совпадают при этом только значения: одно — объём, другое — площадь, и измеряются они в разных единицах.

Подходит ли страница для трубы или открытой банки?

Для объёма и боковой площади — да, и это как раз те два числа, которые трубе или открытой банке и нужны. Полная площадь поверхности предполагает, что оба торца закрыты, поэтому для открытой ёмкости вычтите из неё одну площадь торца. И про толщину стенок страница тоже ничего не знает: вместимость бака — измерение изнутри, а его материал — снаружи, и этим двум понадобились бы разные радиусы.

• Cylinder — the solid swept by a circle moving along its axis, with the volume and the three surface areas this page computes, including the argument that the curved side unrolls into a rectangle — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the cross-section of every cylinder, and the source of the πr² that appears in the volume and in both surface formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in all four outputs, and the reason three of the four are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)