Калькулятор площади поверхности
Результат
Полная площадь поверхности
Калькулятор площади поверхности считает площадь внешней стороны тела: сколько материала уйдёт на то, чтобы его обтянуть, сколько краски — чтобы его покрыть, сколько картона — чтобы его упаковать. Выберите фигуру и дайте ей те размеры, которые она читает, — радиус для сферы, радиус и высоту для конуса или цилиндра, длину, ширину и высоту для прямоугольной коробки, — и страница вернёт одно число в квадратных сантиметрах. Четыре фигуры здесь — те, что закрывают почти весь школьный и мастерской вопрос. Площадь поверхности сферы — это четыре π на радиус в квадрате. Площадь поверхности конуса — это π на радиус, умноженное на радиус плюс образующая конуса, то есть расстояние по прямой от вершины вниз до края, а оно получается по теореме Пифагора из радиуса и высоты. Площадь поверхности цилиндра — это два π на радиус, умноженное на радиус плюс высоту: два круга на концах плюс боковая сторона, развёрнутая в прямоугольник. Площадь поверхности прямоугольной призмы — это удвоенная сумма трёх пар граней: длина на ширину, длина на высоту, ширина на высоту. Четыре фигуры, четыре формулы, и таблицы ниже показывают, какая из них какая. Что нужно знать до начала: все четыре поля длины находятся на экране одновременно и сохраняют значения при смене фигуры. Это намеренное решение, а не недосмотр. Форма, которая прятала бы поля, не нужные выбранной фигуре, переставляла бы коробки у вас под руками, как только вы передумали; а форма, которая оставляла бы их, но игнорировала, молча выбрасывала бы набранное вами число. Поэтому страница оставляет все поля на месте и читает только те, которые нужны выбранной фигуре, а правило простое: сфера читает радиус и больше ничего, конус и цилиндр читают радиус и высоту, а прямоугольная призма читает длину, ширину и высоту. Радиус не читается призмой, а длина и ширина не читаются тремя другими фигурами, и значение, лежащее в непрочитанном поле, на ответ не влияет никак. Таблицы ниже делают это наглядным: в них есть столбец с формулой, и он говорит, какая строка по какой формуле посчитана. И ещё одно: ответ всегда в квадратных сантиметрах, независимо от того, в каких единицах выставлены списки, — это общее правило всего раздела, и оно действует на всех страницах вокруг этой.
Тела вращения: радиус и высота на входе
| Формула | Радиус (cm) | Высота (cm) | Площадь поверхности (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
Восемь строк, покрывающих сферу, конус и цилиндр. Первый столбец — это и есть весь смысл таблицы: когда фигура уже посчитана, в строке не остаётся ничего, что говорило бы, какое это было тело, поэтому его место занимает формула. Она к тому же умеет то, чего не умело бы название фигуры, — говорит, какое из двух остальных чисел в строке действительно использовано: в двух строках со сферой в столбце высоты стоит прочерк, потому что у сферы высоты нет и поле не читается вообще. Первые две строки — сфера с радиусами 3 и 5, и отношение между ними стоит проверить: пять третьих в квадрате — это примерно 2,78, а 113,1 умножить на 2,78 будет 314,16, то есть вторая строка. Площадь идёт по квадрату радиуса, никогда по самому радиусу. Третья строка — тот самый конус 3-4-5, у которого образующая выходит ровно 5, а четвёртая — конус радиусом 5 и высотой 12, где образующая равна 13, и площадь 282,74. Пятая строка — собственный набор страницы цилиндра: радиус 3, высота 4, площадь 131,95, то самое число, которое та страница печатает как полную, а шестая — цилиндр радиусом 5 и высотой 12 при 534,07. Седьмая строка — сфера радиусом 1 при 12,57 квадратных сантиметра, а это 4π, и это единственное число в таблице, которое не измерение, а знакомый всем постоянный множитель. Восьмая — цилиндр радиусом 1 и высотой 2 при 18,85, то есть 6π. Каждое значение здесь пересчитывается из своих радиуса и высоты при сборке страницы, в сантиметрах, а прочерки печатаются как есть. Ячейки таблицы печатает программа, и она выводит их с точкой и без разделителя тысяч: те же самые числа в тексте этой страницы записываются с запятой — это одно и то же число в двух записях, и путаницы здесь нет.
Прямоугольные коробки: длина, ширина и высота
| Длина (cm) | Ширина (cm) | Высота (cm) | Площадь поверхности (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
Шесть коробок, и первая строка — та, с которой страница загружается, когда выбрана прямоугольная призма. Вторая строка — самая маленькая коробка с целыми сторонами, один на два на три, при 22 квадратных сантиметрах: арифметика там достаточно коротка, чтобы проделать её в уме, и потому именно по ней стоит проверять формулу: 2 × (2 + 3 + 6) = 22. Третья строка — куб со стороной два сантиметра при 24, а шестая — плоский лист три на четыре с высотой ноль, тоже 24. Эта пара — самое полезное в таблице, потому что два тела не похожи ничем, кроме общего числа: у куба шесть граней по четыре, а у листа две грани по двенадцать и четыре схлопнувшиеся. Одна площадь поверхности форму не задаёт, и это самая дешёвая демонстрация такого положения. Четвёртая строка — куб со стороной десять сантиметров при 600 квадратных сантиметрах: в такую коробку приезжает пачка бумаги. Пятая — полсантиметра по стороне, там, где начинают иметь значение дроби, и её площадь поверхности равна 1,5 квадратного сантиметра. Каждое число здесь точное, потому что в формуле призмы нет π, и все шесть пересчитываются при сборке страницы. Ячейки таблицы печатает программа, и она выводит их с точкой и без разделителя тысяч: те же самые числа в тексте этой страницы записываются с запятой — это одно и то же число в двух записях, и путаницы здесь нет.
Формула
Сфера: S = 4πr² Конус: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) Цилиндр: S = 2πr(r + h) Прямоугольная призма: S = 2(lw + lh + wh)
- Фигура
- То тело, которое вы обтягиваете. От этого зависит, какая из четырёх формул запустится и, значит, какие из полей длины ниже вообще будут прочитаны: сфера использует один радиус, а прямоугольная призма использует длину, ширину и высоту и радиус игнорирует полностью
- r
- Радиус, в сантиметрах: расстояние от центра сферы до её поверхности или от центра круга до его края у конуса и цилиндра. Читается тремя фигурами из четырёх и игнорируется прямоугольной призмой
- h
- Высота, в сантиметрах: перпендикулярное расстояние от основания до противоположной грани у прямоугольной призмы, от основания до вершины у конуса или между двумя кругами у цилиндра. Сферой не читается, потому что высоты у неё нет
- l
- Две разные вещи, и это единственное место на странице, где нужно читать внимательно. В формуле конуса это образующая конуса — расстояние по прямой от вершины вниз по боку до края, оно вычисляется из радиуса и высоты по теореме Пифагора. В формуле призмы это длина коробки. Столбец с формулой в таблице и говорит, какая строка какая
- lw, w и остальные буквы
- Три измерения прямоугольной призмы в сантиметрах: длина, ширина и высота. У призмы шесть граней, они образуют три пары, и каждая пара — одно из трёх произведений; поэтому формула удваивает их сумму, а не складывает шесть отдельных слагаемых
- π
- Отношение длины окружности к её диаметру, примерно 3,14159. Оно встречается в трёх формулах из четырёх и не встречается в формуле призмы — именно поэтому площадь поверхности коробки часто оказывается точным числом, а площадь поверхности сферы почти никогда
- Квадратные сантиметры
- Единица ответа, всегда, какие бы единицы ни были выставлены в списках. Площадь поверхности — величина двумерная, поэтому единица равна единице входа в квадрате: радиус в сантиметрах даёт площадь в квадратных сантиметрах, и кубического шага на этой странице нет нигде
- Два знака после запятой
- Ширина записи ответа. Два, а не четыре, потому что это измерения предметов, а не координаты на плоскости: радиус, снятый линейкой, уже имеет погрешность больше третьего знака
Чаще всего вопрос про материал, и фигура сама подсказывает, какая формула нужна. Мяч, глобус или воздушный шар — это сфера, и вопрос обычно в том, сколько ткани или краски её покроет. Праздничный колпак, воронка или коническая куча песка — это конус, и про образующую конуса как раз забывают: это не высота конуса, а расстояние вниз по его боку, и у конуса с радиусом 3 и высотой 4 образующая равна ровно 5 — теорема Пифагора в её наименьшем целом виде. Банка, труба или колонна — это цилиндр, и здешнюю формулу можно вывести, а не запоминать: два конца по πr² каждый плюс бок, который развёртывается в прямоугольник шириной 2πr и высотой h. Коробка, ящик или комната — это прямоугольная призма, и вся идея в шести гранях, собранных в три пары. Через все четыре проходит одно предупреждение: площадь поверхности и объём не пропорциональны, и удвоение каждой длины умножает площадь на четыре, а объём на восемь — поэтому крупное животное теряет тепло быстрее мелкого и поэтому маленькая коробка стоит непропорционально больше картона, чем можно предположить по её содержимому.
Разобранные примеры
Цилиндр радиусом 3 и высотой 4
- Два конца: 2 × π × 3 × 3 = 56,548667…
- Бок, развёрнутый в прямоугольник: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…
- Всего: 56,548667… + 75,398223… = 131,946891…, что округляется до 131,95
- Поля длины и ширины цилиндром не читаются, и лежащие в них 5 и 4 ничего не меняют
Та фигура, с которой страница загружается, и та строка, которую стоит сравнить со страницей цилиндра: та возвращает 131,95 как полную площадь поверхности при тех же радиусе и высоте. Две страницы, два инструмента, одно число — они считают по одной формуле, и увидеть, что они сходятся, здесь и есть суть. Проверка, не требующая калькулятора: два конца — это примерно по 28 каждый, а бок развёртывается в прямоугольник шириной около 18,8 и высотой 4, так что всего должно выйти чуть больше 130.
Конус радиусом 3 и высотой 4
- Образующая: √(3² + 4²) = √25 = 5
- Основание: π × 3 × 3 = 28,274333…
- Боковая сторона: π × 3 × 5 = 47,123889…
- Всего: 28,274333… + 47,123889… = 75,398223…, что округляется до 75,4
Треугольник 3-4-5 делает своё обычное дело: при радиусе 3 и высоте 4 образующая равна ровно 5, поэтому арифметика остаётся чистой до конца. Это ещё и те самые 75,4, которые страница цилиндра возвращает как боковую поверхность при радиусе 3 и высоте 4, — совпадение двух разных тел, а не общая формула: бок конуса и бок цилиндра — разные фигуры, которые здесь случайно сошлись в одном числе.
Сфера радиусом 3
- Четыре круга: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113,097335…
- Что округляется до 113,1
- Читается только радиус; высота, длина и ширина сферой игнорируются
Площадь поверхности сферы ровно в четыре раза больше площади её самого большого сечения, и это и есть то, что стоит про неё помнить: круг радиусом 3 — это 28,27, а четыре таких круга — 113,1. В поле высоты всё ещё лежит 4 от предыдущей фигуры, и страница не обращает на это никакого внимания — то самое поведение, которое описывает вступление, и потому оно и описано.
Прямоугольная призма 5 на 4 на 4
- Верх и низ: 2 × 5 × 4 = 40
- Передняя и задняя грани: 2 × 5 × 4 = 40
- Две боковые: 2 × 4 × 4 = 32
- Всего: 40 + 40 + 32 = 112 квадратных сантиметров, и это точно
Единственная из четырёх фигур, у которой ответ регулярно получается точным, и единственная, которая игнорирует радиус. Поскольку длина и высота здесь совпали, две пары граней из трёх оказались одного размера, и сумму легко проследить: 40, 40 и 32. Радиус 3, лежащий в своём поле, не играет никакой роли.
Куб 2 на 2 на 2 и призма 3 на 4 на 0
- Верх и низ: 2 × 3 × 4 = 24
- Передняя и задняя грани: 2 × 3 × 0 = 0
- Две боковые: 2 × 4 × 0 = 0
- Всего: 24 квадратных сантиметра
Пара, которую стоит посмотреть вместе, потому что куб со стороной два сантиметра и плоский лист три на четыре дают одни и те же 24 квадратных сантиметра. Куб — это 2 × 2 × 2, и он даёт 2 × (4 + 4 + 4) = 24; у второго высота равна нулю, поэтому четыре грани из шести схлопнулись в ничто, а остались те две, что сверху и снизу. Одно и то же число, совершенно разные тела, и напоминание о том, что площадь поверхности сама по себе форму не задаёт.
Ограничения
Ответ всегда в квадратных сантиметрах, какие бы единицы ни были выставлены в списках. Выбор дюймов меняет то, как понимаются ваши числа на входе, и ничего не меняет в том, как показывается ответ. Все четыре поля длины остаются на экране при любой фигуре, а те, которые выбранная фигура не читает, игнорируются, а не очищаются, поэтому радиус, оставшийся от сферы, ничего не меняет в коробке. Страница не остановит вас, если в поле осталось значение, подходящее предыдущей фигуре, и не сообщит, что не использовала его. Столбец с формулой в таблицах — единственное место на странице, где сказано, какие числа в неё вошли, и именно поэтому он там и есть. Два знака после запятой — это ширина показа, а не утверждение о точности. Площадь поверхности конуса считается через образующую, а не через перпендикулярную высоту, и страница сама вычисляет образующую из радиуса и высоты, поэтому конус, измеренный по наклонной стороне, ввести как есть нельзя. Страницы цилиндра и конуса на этом сайте возвращают числа для части тех же входов и совпадают с этой страницей, потому что считают по тем же формулам; расхождение было бы ошибкой, а не разницей во мнениях. И ничего здесь не умеет работать с фигурой, которой нет среди четырёх, с открытым сосудом, у которого не хватает торцов, или с телом, через которое проходит отверстие.
Частые вопросы
- Какие поля действительно использует каждая фигура?
- Сфера читает радиус и больше ничего. Конус и цилиндр читают радиус и высоту. Прямоугольная призма читает длину, ширину и высоту, а радиус игнорирует. Каждое поле остаётся на экране и сохраняет своё содержимое, поэтому число, оставшееся от фигуры, которую вы смотрели раньше, ничего не делает. Столбец с формулой в таблицах — самый быстрый способ увидеть, какие числа вошли в данную строку.
- Что такое образующая и как её измерить?
- Это расстояние по прямой от вершины конуса вниз по его боку до края, и оно длиннее вертикальной высоты, если конус не плоский. Измерять её не обязательно: страница вычисляет её из радиуса и высоты по теореме Пифагора, потому что радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. У конуса с радиусом 3 и высотой 4 образующая равна ровно 5.
- Почему ответ в квадратных сантиметрах, если я вводил дюймы?
- Потому что ответ — это фиксированный вывод в квадратных сантиметрах, выбранный так, чтобы панель результатов и таблицы под ней всегда сходились. Списки меняют то, как понимаются ваши измерения на входе, а не то, как записывается ответ. Чтобы перевести, разделите результат на 6,4516 — или возведите в квадрат множитель длины, ведь площадь растёт как квадрат длины.
- Почему у куба со стороной 2 сантиметра та же площадь поверхности, что у листа 3 на 4?
- Потому что оба дают 24 квадратных сантиметра, и больше тут ничего нет: у куба шесть граней по 4, а у плоского листа две грани по 12 и четыре, схлопнувшиеся в ничто, потому что его высота равна нулю. Одна площадь поверхности форму не определяет, и второе тело — вырожденный случай, который страница охотно считает, а не ошибка.
- Страницы цилиндра и конуса дают те же ответы, что эта?
- Для совпадающих величин — да, и это сделано намеренно, а не случайно: три страницы считают по одним и тем же формулам. У цилиндра с радиусом 3 и высотой 4 полная площадь поверхности здесь равна 131,95, и страница цилиндра печатает те же 131,95 как свою полную площадь поверхности, потому что обе прибавляют одни и те же два конца к одному и тому же развёрнутому боку.
- Можно ли посчитать, сколько нужно краски или обёртки?
- Да, для замкнутого тела, и это самое частое применение страницы. Следить нужно за двумя вещами: ответ — это вся внешняя сторона, поэтому у открытого сосуда придётся вычесть одну грань; и число не учитывает ни перекрытия, ни отходы, ни толщину, поэтому практическую оценку стоит округлять вверх, а не брать как есть. Площадь дана в квадратных сантиметрах, так что для квадратных метров делите на десять тысяч.
Источники
- Surface area — the area of the boundary of a solid, with the formulas for the sphere, the cone, the cylinder and the rectangular prism that this page implements — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — the solid whose lateral surface unrolls into a sector, and whose slant height is the hypotenuse of the right triangle formed by the radius and the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — the surface at a fixed distance from a centre, whose area is exactly four times that of its great circle, the relation the sphere formula here states — Wolfram MathWorld (United States)