Калькулятор площади круга
Результат
Площадь
Калькулятор площади круга берёт ту из трёх величин — радиус, диаметр или длину окружности, — которая у вас оказалась измеренной, и возвращает, сколько поверхности круг заключает в себе, в квадратных сантиметрах. Формула — это π, умноженное на квадрат радиуса, то самое «пи эр квадрат», а средний шаг, превращение введённого числа в радиус, и есть то, откуда взялись три поля. Диаметр — это удвоенный радиус, а длина окружности — радиус, умноженный на 2π, поэтому любая из трёх величин задаёт две остальные, и заполнить нужно ровно одну. Заполнить две — не точнее, а противоречиво: радиус 5 и диаметр 12 не описывают один круг, и страница скажет об этом, а не выберет одно из двух молча. На слове, которым названо измеряемое, стоит задержаться. Строго говоря, площадь принадлежит диску — плоской области, — а окружность это кривая по его краю. В обычной речи так не говорят, и эта страница следует обычной речи, но именно отсюда растёт то, что формула, похожая на формулу длины, возвращает квадратные единицы. Единицы — самая вероятная ловушка на этой странице. Радиус можно ввести в сантиметрах, метрах, миллиметрах, дюймах или футах, а ответ всегда будет в квадратных сантиметрах, каким бы ни был выбор, потому что перевод происходит на входе, а не на выходе. Квадратные сантиметры здесь не выбор, а единственная единица ответа. Введите радиус в дюймах, ожидая квадратные дюймы, и получите число примерно в шесть с половиной раз больше нужного. Правило, которое стоит унести: площади переводятся квадратом множителя длины, а не самим множителем. Есть ещё одно, что стоит знать, прежде чем сверять эту страницу со своим расчётом. Площадь считается по неокруглённому радиусу и округляется только в конце, и это важно, когда вы начинаете с длины окружности, потому что тогда радиус — число, которое никому не удастся выписать. Введите длину окружности 20, прочитайте радиус из таблицы, возведите его в квадрат и умножьте на π — и вы разойдётесь с напечатанным ответом на одну цифру. Страница права, и ваша арифметика тоже: разница в том, что один из вас округлил в середине, а другой нет.
Площадь круга по его радиусу, с диаметром рядом
| Радиус (cm) | Диаметр (cm) | Площадь (cm²) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3.1416 |
| 2 | 4 | 12.5664 |
| 3 | 6 | 28.2743 |
| 5 | 10 | 78.5398 |
| 10 | 20 | 314.1593 |
| 20 | 40 | 1256.6371 |
| 0.5 | 1 | 0.7854 |
| 0 | 0 | 0 |
Восемь кругов и три столбца, и третий столбец — это ответ, а первые два его объясняют. Радиус и его диаметр стоят рядом потому, что страница не повторяет введённое: если вы ввели диаметр, единственное место, где видно, каким он был прочитан, — вот это. Первая строка — единичный круг, площадь которого в квадратных сантиметрах численно равна π; это удобно знать и легко запомнить, что даёт πr² при r = 1. Первая и вторая строки — та пара, которая показывает отношение, ради которого всё и затевалось: радиус растёт с 1 до 2, а площадь с 3,1416 до 12,5664, то есть вчетверо. Четвёртая строка — та, с которой страница загружается, и та же самая строка есть на странице обо всём круге: 78,5398. Обе страницы совпадают в этой цифре до последнего знака, потому что ни одна из них не округляет радиус перед возведением в квадрат. Шестая строка — радиус 20 с площадью 1256,6371: ещё один шаг по тому же отношению, площадь здесь вчетверо больше площади круга радиуса 10. Седьмая — радиус половина сантиметра, площадь которого равна четверти π, то есть 0,7854. Последняя — радиус 0, где круг стянулся в точку и площадь равна настоящему нулю, а не отсутствующему ответу. О записи стоит сказать отдельно: в клетках таблицы те же величины напечатаны с точкой — 3.1416, 78.5398, 0.7854, — а в этом тексте они записаны с запятой: 3,1416, 78,5398, 0,7854. Это одно и то же число в двух записях, а не два разных.
Формула
A = πr²
- π
- Одна и та же постоянная для любого круга, примерно 3,14159. Это отношение длины окружности к её диаметру — отсюда она и берётся, и потому же встречается и в формулах длины, и в этой
- r
- Радиус в сантиметрах: половина диаметра или длина окружности, делённая на 2π, — смотря какое поле вы заполнили
- r²
- Радиус, умноженный сам на себя, а не на два. Удвоение радиуса учетверяет площадь — самый полезный факт об этой формуле и причина, по которой в таблице стоит пара строк, показывающая именно его
- Площадь
- Сколько плоской поверхности заключает диск, в квадратных сантиметрах, в какой бы единице ни был введён вход. Площадь круга измеряется в квадратных единицах, потому что радиус входит в формулу дважды
- Длина окружности ÷ 2π
- Как восстанавливается радиус из измерения, снятого по краю. Результат — число, которое не заканчивается, поэтому его держат неокруглённым до самого возведения в квадрат
- Диаметр ÷ 2
- Другой вход, и более простой: радиус равен ровно половине диаметра всегда, когда диаметр — измеренное вами число
- Четыре знака после запятой
- Так записывается ширина показа. Площадь круга почти никогда не бывает числом, которое заканчивается, поэтому четыре знака — это ширина записи, а не утверждение, что число точное
Всё круглое, чью поверхность надо покрыть, окрасить, вырезать или оценить по цене. Покраска и покрытие — самый наглядный случай: крышка круглого стола, люк бака, круглая вывеска, металлический диск под напыление — всё это считают за единицу площади, и площадь даёт именно эта формула. Второй случай — материал, вырезаемый из листа: круглая заготовка, вырубленная из стали, круглое стекло, прокладка, круглая скатерть; и там площадь говорит, сколько листа съедает каждая деталь, а от этого числа зависит цена. В саду и на стройке её берут для круглых клумб, круглых площадок, газонов, сечения колонны и поверхности пруда. В инженерии это площадь поперечного сечения трубы, вала или кабеля — именно с ней соотносят расход и допустимый ток: труба вдвое большего диаметра пропускает вчетверо большую площадь, и этот множитель четыре путает людей в обе стороны. В физике и в бытовой арифметике именно площадь превращает давление в силу, интенсивность в целое, а количество осадков в объём воды. И есть школьное применение, то самое, после которого формула запоминается: начертите круг на миллиметровке, посчитайте целые клетки внутри и сравните с πr². Клеток выйдет чуть меньше, потому что клетки по краю частично выходят наружу, и этот разрыв — первая честная встреча большинства людей с тем, что вообще значит иррациональная постоянная в формуле.
Разобранные примеры
Радиус 5
- Возведите радиус в квадрат: 5 × 5 = 25
- Умножьте на π: 25 × 3,14159 = 78,5398
Та пара, с которой страница загружается, и строка, связывающая эту страницу с обзорной: у круга радиуса 5 и там площадь равна 78,5398. По дороге ничего не округлялось, поэтому обе страницы сходятся до последнего знака, — а площадь, посчитанная из уже округлённого радиуса, так не сойдётся.
Диаметр 12
- Разделите диаметр пополам, чтобы получить радиус: 12 ÷ 2 = 6
- Возведите его в квадрат: 6 × 6 = 36
- Умножьте на π: 36 × 3,14159 = 113,0973
Самый частый путь, которым сюда приходят: круглый предмет куда легче измерить поперёк, чем от центра до края. Обратно радиус страница не печатает, поэтому если вы хотите проверить, что ваши 12 прочитались как 6, посмотрите на столбец радиусов в таблице: шестёрки там нет, но в строке для 3 диаметр равен 6, а в строке для 10 диаметр равен 20, и этого достаточно, чтобы увидеть, каким отношением пользуется страница.
Длина окружности 20
- Восстановите радиус: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…
- Возведите его в квадрат: 3,1830988 × 3,1830988 = 10,1318311…
- Умножьте на π: 10,1318311 × 3,14159 = 31,8310
Та строка, которая объясняет, почему эта страница никогда не округляет в середине. Радиус здесь нельзя выписать: он равен 10/π, поэтому его проносят через возведение в квадрат неокруглённым, а округляют только ответ. Сделайте наоборот: прочитайте радиус из таблицы как 3,1831, возведите его в квадрат, умножьте на π — и получите 31,8309. Разница в одном знаке, и ни один из расчётов не неправилен: просто один из них округлил раньше конца.
Радиус 10
- Возведите радиус в квадрат: 10 × 10 = 100
- Умножьте на π: 100 × 3,14159 = 314,1593
Ровно вчетверо больше площади круга радиуса 5, и самое чистое место, где видно, что удвоение радиуса учетверяет площадь. Радиус вырос в два раза, а ответ — в четыре, потому что радиус возводится в квадрат. То же самое отношение заставляет трубу вдвое большего диаметра пропускать вчетверо больше.
Радиус 0
- Возведите радиус в квадрат: 0 × 0 = 0
- Умножьте на π: 0 × 3,14159 = 0
Круг нулевого размера не заключает в себе ничего, и ответ ноль здесь верен, а не пропущен. Ноль — допустимое значение в любом из трёх полей: это разница между измерением, равным нулю, и отсутствием измерения, и второй случай, пустое поле, страница считает случаем, когда считать не от чего.
Ограничения
Страница возвращает только площадь и ничего больше: ни длину окружности, ни диаметр, ни радиус. Если у вас есть площадь, а нужна одна из остальных величин — это другая страница. Ответ всегда в квадратных сантиметрах, в какую бы единицу ни было выставлено каждое поле: перевод происходит на входе, поэтому радиус, введённый в дюймах, вернётся числом в квадратных сантиметрах, которое придётся разделить на 6,4516, чтобы прочитать в квадратных дюймах. Ошибка, за которой стоит следить, — делить площадь на множитель длины 2,54 вместо его квадрата. Ответ считается по неокруглённому радиусу, поэтому если вы начинаете с длины окружности и проверяете арифметику вручную по округлённому радиусу, ваше число разойдётся с напечатанным в последнем знаке; неправа здесь не страница. Четыре знака — это ширина записи, а не утверждение, что площадь точна: площадь круга почти никогда не бывает числом, которое заканчивается, и 78,5398 — это округлённое 78,53981633… Круг радиуса ноль принимается и даёт площадь ноль, и это правильно. Страница принимает ровно одно из трёх измерений: дайте два — и она откажет, потому что два несогласованных числа не описывают круг. Ничего из этого не работает с эллипсом, сегментом, сектором или поверхностью шара — каждое из них другая фигура с другой формулой, и эллипс в особенности не является растянутым кругом с простой площадью.
Частые вопросы
- Почему заполнить можно только одно из трёх полей?
- Потому что все три описывают один и тот же круг, поэтому любые два из них избыточны, а любые два, которые друг другу противоречат, — это противоречие. Радиус 5 и диаметр 12 не могут быть верны для одного круга. Страница отказывает при двух, а не выбирает одно молча: весь смысл этих полей в том, чтобы вы ввели то измерение, которое у вас действительно есть.
- Я ввёл дюймы. Почему ответ в квадратных сантиметрах?
- Потому что перевод единиц происходит на входе, а не на выходе. Ваши дюймы превращаются в сантиметры, площадь считается, и ответ получается в квадратных сантиметрах, а не в квадратных дюймах. Чтобы прочитать его в квадратных дюймах, разделите на 6,4516, то есть на 2,54 в квадрате. Площади переводятся квадратом множителя длины, и деление на 2,54 вместо этого квадрата — как раз та ошибка, которой стоит избегать.
- Почему при проверке вручную ответ немного другой?
- Из-за того, где происходит округление. Страница держит радиус неокруглённым до самого конца, а если вы начали с длины окружности, то радиус — число, которое точно выписать нельзя. Прочитайте его из таблицы, возведите в квадрат и умножьте — и вы округлили в середине. Для длины окружности 20 это стоит 0,0001, и права здесь именно страница.
- Почему удвоение радиуса дало вчетверо большую площадь?
- Потому что радиус возводится в квадрат, а не удваивается. Вдвое больший радиус означает вдвое больший радиус в каждом из двух направлений, из которых состоит квадрат, поэтому площадь растёт в два раза по два. Это стоит запомнить: то же самое отношение заставляет трубу вдвое большего диаметра пропускать вчетверо больший расход, и оно путает людей в обе стороны.
- Страница показывает, каким она прочитала мой диаметр?
- Напрямую нет: на панели результатов только площадь, и введённое значение она не повторяет. Таблица существует ровно для этого: в каждой строке рядом стоят радиус, его диаметр и площадь, поэтому можно найти строку рядом со своим числом и увидеть удвоение, которое применяет страница. Диаметр 12 — это радиус 6, а строка для 3 даёт диаметр 6, то есть ровно половину вашего числа.
- Можно ли здесь найти радиус по площади?
- На этой странице нет. Обратный ход сделан намеренно: эта страница берёт длину и даёт площадь, а обратно идти придётся через квадратный корень. Есть страница, которая делает и это вместе со всем остальным: она принимает любую одну из четырёх величин и возвращает остальные, и её и стоит взять, если вы начали именно с площади.
Источники
- Circle — the curve, its radius, diameter and circumference, and the πr² that gives the area of the region it bounds — Wolfram MathWorld (United States)
- Disk — the flat region whose area this page computes, as distinct from the circle that bounds it, which is the reason the answer comes back in squared units — Wolfram MathWorld (United States)
- Area — what an area is and how it is defined, including why the conversion between square units is the square of the length conversion — Wolfram MathWorld (United States)