Калькулятор площади сектора

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sin(θ ÷ 2)

Радиус

Расстояние от центра до изогнутого края, в сантиметрах. Половина длины прямых сторон клина и единственное число, которое говорит, из какого круга он вырезан

Центральный угол

Угол между двумя прямыми сторонами, измеренный при центре, в градусах. Вместе с радиусом он полностью задаёт клин, и именно он говорит, какую долю круга вы взяли: 90 — это четверть, 60 — шестая часть

Площадь

Поверхность, которую клин покрывает, в квадратных сантиметрах. Это доля круга, умноженная на площадь всего круга, и единственная из трёх величин, которая растёт как квадрат радиуса: удвойте радиус — и площадь вырастет вчетверо

Длина дуги

Расстояние вдоль изогнутого края, в сантиметрах. Та же доля круга, приложенная к длине окружности вместо площади, — поэтому она растёт как радиус, а не как его квадрат, и при угле в один радиан выходит ровно радиус

Хорда

Прямая линия от одного конца дуги до другого, в сантиметрах. Это плоская сторона куска и единственная из трёх величин, которой нужна тригонометрия, а не просто доля: это удвоенный радиус, умноженный на синус половины угла

sin(θ ÷ 2)

Синус половины угла — и держаться стоит именно за эту половину: хорда и два радиуса образуют равнобедренный треугольник, а перпендикуляр из центра делит пополам и угол, и хорду

θ ÷ 360

Доля всего круга, которую занимает клин. Это общий множитель площади и длины дуги, и именно поэтому обе они — просто уменьшенная копия собственных измерений круга

Четыре знака после запятой

Так записывается ширина показа. Площадь и длина дуги содержат π и потому почти никогда не заканчиваются; хорда точна только при тех углах, где точён синус, — поэтому 60 и 180 градусов дают чистые числа, а большинство других углов нет

Три ответа отвечают на три разных вопроса об одном и том же куске, и выбрать нужный — это почти вся работа. Площадь нужна всюду, где платят или считают по поверхности: кусок пиццы, который оценивают по противню, участок земли между двумя заборами, сходящимися в углу, стекло, вырезанное по изогнутой раме, или доля обзора камеры, которую пропускает конкретная настройка диафрагмы. Длина дуги нужна для всего, что идёт вдоль кривой: длина отделочной полосы по изогнутой стойке, изгородь по выпуклой меже, ход ремня по части шкива или путь, который проходит точка на ободе, пока колесо поворачивается на заданный угол. Хорда нужна для прямой: ширина лопасти вентилятора на её конце, плоская задняя сторона куска, которая ложится на тарелку, пролёт арки или расстояние между двумя точками окружности после того, как обе повернули на один и тот же угол от общего центра. И есть четвёртое применение, которое проходит через все три: сектор — это тот кирпичик, из которого собрано множество круглых вещей. Круговая диаграмма — это не что иное, как секторы, правильный шестиугольник — это шесть таких клиньев, а зуб шестерни — это один клин со срезанной верхушкой.

1. Сектор 60 градусов в круге радиусом 5 см

   1. Доля круга: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. Площадь: (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13,0899…, что округляется до 13,09
   3. Длина дуги: (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5,2359…, что округляется до 5,236
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5

   Ввод, с которым страница загружается, и та строка, которая показывает, что делает доля: сектор в 60 градусов — это ровно шестая часть круга, поэтому его площадь — шестая часть от 25π, а дуга — шестая часть от 10π. Задержаться стоит на хорде: она выходит ровно 5, столько же, сколько радиус, потому что синус 30 градусов равен ровно одной второй, а двойка и половина сокращаются. Шесть таких клиньев, сложенных вершинами, дают правильный шестиугольник, а это уже соседняя страница.

2. Четверть круга радиусом 5 см

   1. Доля круга: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. Площадь: 25π ÷ 4 = 19,6349…, что округляется до 19,635
   3. Длина дуги: 10π ÷ 4 = 7,8539…, что округляется до 7,854
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(45°) = 10 × 0,7071068 = 7,0710678…, что округляется до 7,0711

   Четверть круга. Хорда сектора в 90 градусов — это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого оба катета равны радиусу, то есть r√2; здесь это 5√2 — те же 7,0711, которые страница квадрата печатает для своей диагонали и которые понадобились бы странице круга для вписанного квадрата. Три страницы, одно число, и все три — один и тот же треугольник, увиденный с разных сторон.

3. Половина круга

   1. Доля круга: 180 ÷ 360 = 1/2
   2. Площадь: 25π ÷ 2 = 39,2699…, что округляется до 39,2699
   3. Длина дуги: 10π ÷ 2 = 15,7079…, что округляется до 15,708
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(90°) = 10 × 1 = 10

   Угол, на котором хорда перестаёт быть хордой и становится диаметром: концы дуги теперь друг напротив друга, поэтому прямая между ними проходит через центр и равна 2r. Синус 90 градусов равен ровно 1, отсюда и чистота ответа. Всё в этой строке — половина полного круга из строки ниже, кроме хорды: здесь она наибольшая, и после 180 градусов хорда снова начинает уменьшаться, хотя площадь продолжает расти.

4. Треть круга радиусом 6 см

   1. Доля круга: 120 ÷ 360 = 1/3
   2. Площадь: 36π ÷ 3 = 12π = 37,6991…, что округляется до 37,6991
   3. Длина дуги: 12π ÷ 3 = 4π = 12,5664…, что округляется до 12,5664
   4. Хорда: 2 × 6 × sin(60°) = 12 × 0,8660254 = 10,3923048…, что округляется до 10,3923

   Треть круга радиусом 6, и та строка, которая связывает эту страницу с соседней. Хорда равна 6√3 — это ровно короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной 6, и это не совпадение: три таких клина составляют половину шестиугольника, а шесть — весь. Площадь, равная 12π, и дуга, равная 4π, — второе, на что стоит обратить внимание: когда доля выходит аккуратной, ответы сохраняют π и отбрасывают всё остальное.

5. Весь круг

   1. Доля круга: 360 ÷ 360 = 1
   2. Площадь: 1 × π × 5² = 25π = 78,5398…, что округляется до 78,5398
   3. Длина дуги: 1 × 2π × 5 = 10π = 31,4159…, что округляется до 31,4159
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(180°) = 10 × 0 = 0

   Сектор в 360 градусов — это весь круг, и его площадь с длиной дуги ровно такие, какие страница круга печатает для радиуса 5: те же 78,5398 и те же 31,4159. Иначе и быть не может: сектор, занимающий весь круг, и есть круг. А вот хорда интереснее. Она равна 0, и это правильный ответ, а не сбой: концы дуги сошлись друг с другом, поэтому у прямой между ними вообще нет длины. Хорда может быть нулевой, когда площадь наибольшая, — эти два измерения друг с другом никак не связаны.

Страница только про секторы: два прямых радиуса и дуга между ними, на плоском круге. Сегмент — область между хордой и её дугой, то есть то, что останется от этого клина, если отрезать треугольник, — это другая фигура, и у неё своя страница по соседству. Ответы выходят в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в какую бы единицу ни был выставлен список; радиус, введённый в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить самому. Угол задаётся в градусах, и список единиц у поля принимает радианы и грады, но считает страница всегда от градусов. Углы больше 360 градусов отклоняются, а не сворачиваются: за полным оборотом остаётся больше одного способа понять, какой именно кусок вы имели в виду, и страница предпочитает сказать об этом, а не угадывать. Четыре знака — это ширина записи, а не заявление о точности: площадь и длина дуги содержат π и почти никогда не заканчиваются, а хорда точна только при тех углах, где точён синус. Хорда измеряет прямую линию через клин, поэтому при углах больше 180 градусов она измеряет короткий путь через кусок, который больше половины круга; это верно, но редко совпадает с тем, что имеет в виду человек, рисующий круговую диаграмму. Ничего из этого не работает для куска эллипса или другой некруглой кривой, для клина со скруглённой верхушкой и для толщины настоящего куска — торта или ломтя сыра.

Почему здесь два поля, а на странице круга одно?

Потому что сектор одним числом не задаётся. Круг задаётся: назовите радиус, и о нём известно всё. Сектор — это круг, от которого откусили кусок, и то, насколько кусок велик, приходится говорить отдельно: клин в 30 градусов большого круга и клин в 180 градусов маленького — совершенно разные фигуры. Радиус задаёт круг, а угол задаёт, какую его часть вы взяли, поэтому нужны оба, и ни один не выводится из другого.

Почему при 60 градусах хорда в точности равна радиусу?

Потому что хорда — это 2r·sin(θ/2), а при 60 градусах половина угла равна 30 градусам, и её синус равен ровно половине. Двойка и половина сокращаются, и остаётся r. Это один из немногих углов, при которых хорда выходит целым числом, и именно поэтому складывается шестиугольник: шесть клиньев по 60 градусов, приложенных друг к другу, дают фигуру, у которой все стороны — и шесть радиусов, и шесть хорд — одной длины.

Чем сектор отличается от сегмента?

Сектор — это клин, ограниченный двумя радиусами и дугой, как кусок пирога. Сегмент — это область между хордой и её дугой, то есть то, что останется от клина, если отрезать треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Соседняя страница сегмента считает именно эту вторую область, и её площадь — это площадь здешнего клина минус треугольник.

Какая из трёх величин мне нужна?

Площадь — если кусок это поверхность: кусок пиццы, участок земли, стекло. Длина дуги — если что-то идёт вдоль кривой: отделка по изогнутой стойке, изгородь по выпуклой меже, ход ремня по части шкива. Хорда — если нужна прямая через кусок: ширина лопасти на её конце, пролёт арки или расстояние между двумя точками обода.

Хорда равна 0 для полного круга. Это ошибка?

Нет, это верный ответ. При 360 градусах два конца дуги прошли весь круг и сомкнулись, поэтому прямая между ними не имеет длины. Стоит заметить, что площадь в этот же момент наибольшая — это весь круг, — а хорда наименьшая, потому что эти две величины друг с другом никак не связаны. Так ведёт себя только хорда: длина дуги просто становится длиной окружности.

Можно ли ввести угол в радианах?

Да, список единиц рядом с полем угла принимает градусы, радианы и грады и переводит введённое в градусы, прежде чем что-либо считать. В справочной таблице все углы в градусах, поэтому радианная запись около 1,047 — это тот же кусок, что и строка с 60 градусами. В ответе от единицы ничего не меняется: площадь в любом случае в квадратных сантиметрах, а дуга и хорда — в сантиметрах.

• Circular sector — the region bounded by two radii and an arc, with the area and the arc length this page computes and the fraction-of-the-circle form of both — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the shape the sector is cut from, and the page next door where any one of four measurements gives the other three — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular segment — the region between a chord and its arc, which is this wedge with the triangle removed, and the shape the page next door computes — Wolfram MathWorld (United States)