Калькулятор площади сегмента

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Радиус

Расстояние от центра до дуги, в сантиметрах. Половина основания отрезаемого треугольника и единственное число, которое говорит, насколько велик был круг

Центральный угол

Угол, под которым хорда видна из центра, в градусах. Вместе с радиусом он задаёт сегмент целиком: он определяет и какую часть круга занимает сектор, и насколько высок треугольник, который снимается

Площадь

Поверхность сегмента, в квадратных сантиметрах, — площадь сектора минус площадь треугольника. Ниже 180 градусов это меньшая из двух областей, на которые хорда делит круг; выше вычитание превращается в сложение и вы получаете большую

Хорда

Прямая линия, замыкающая сегмент, в сантиметрах, и основание снятого треугольника. Она растёт до диаметра при 180 градусах, а затем снова убывает, доходя до нуля при полном обороте

Длина дуги

Расстояние вдоль изогнутого края, в сантиметрах, — та же дуга, что и у сектора, потому что отрезание треугольника кривую не меняет. Это внешняя граница сегмента, и она просто продолжает расти вместе с углом

Высота сегмента

Насколько дуга поднимается над серединой хорды, в сантиметрах. Это глубина сегмента и та величина, которую можно измерить линейкой, положенной поперёк плоской стороны: от 0 при нулевом угле до полного диаметра при полном обороте

½r² sin θ

Площадь треугольника, который образуют два радиуса и хорда. Она наибольшая при 90 градусах и падает до нуля при 180 — поэтому у половины круга треугольника, который надо вычитать, просто нет

Четыре знака после запятой

Так записывается ширина показа. Каждая из четырёх величин содержит π или синус и потому почти никогда не заканчивается, а площадь — это разность двух таких чисел, значит её последние знаки наименее надёжны на странице

Эта страница для области, которую прямая отсекает от круга, а это, как выясняется, форма более частая, чем клин, из которого она выведена. Арочное окно или дверной проём с закруглённым верхом — это сегмент, сидящий на прямоугольнике; то же и сечение тоннеля, у которого верх дуга, а стены прямые. Неполные трубы и баки — классический случай: смоченная площадь горизонтальной цилиндрической трубы есть сегмент, и именно поэтому объём жидкости в бочке — задача про сегмент, а не про круг. На карте сегментом оказывается область между прямой межевой линией и изогнутой дорогой или рекой, а также полоска круглого поля, оставшаяся за прямым забором. В производстве хорда, отрезанная от круглого прутка или круглой заготовки, оставляет сегмент в отход, и там нужна именно формула высоты — когда измерить можно не угол, а глубину реза: линейка, положенная поперёк плоской стороны и опущенная до самой глубокой точки кривой, даёт высоту напрямую, а угол по ней можно восстановить отдельно. И это форма укуса: след, оставленный зубами на круглом печенье, — сегмент, где хорда проходит по отпечатку зубов, а высота равна глубине укуса.

1. Сегмент в четверть круга

   1. Площадь сектора: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19,6349…
   2. Площадь треугольника: ½ × 5² × sin(90°) = 12,5
   3. Площадь сегмента: 19,6349 − 12,5 = 7,1349…, что округляется до 7,135
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(45°) = 7,0711
   5. Длина дуги: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7,854
   6. Высота: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0,2928932 = 1,4645

   Ввод, с которым страница загружается, и самый наглядный случай того, что делает вычитание. Сектор равен 19,6349, треугольник отнимает от него 12,5, и остаётся 7,135 — треть того, что занимал клин. Высота делает фигуру осязаемой: дуга поднимается над хордой всего на 1,4645 сантиметра, так что это довольно плоская долька, а не толстый кусок круга.

2. Пологий сегмент в 60 градусов

   1. Площадь сектора: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13,0899…
   2. Площадь треугольника: ½ × 5² × sin(60°) = 12,5 × 0,8660254 = 10,8253
   3. Площадь сегмента: 13,0899 − 10,8253 = 2,2646…, что округляется до 2,2647
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(30°) = 5
   5. Длина дуги: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5,236
   6. Высота: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0,1339746 = 0,6699

   Тот же круг, что и в строке выше, но угол у́же, и сегмент оказывается куда меньше, чем можно ждать от изменения угла: 2,2647 против 7,135 при двух третях угла. Причина в том, что треугольник съедает почти весь клин: сектор равен 13,0899, а треугольник забирает из него 10,8253. На малых углах сегмент — тонкая долька, и площадь падает гораздо быстрее, чем угол.

3. Половина круга

   1. Площадь сектора: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39,2699…
   2. Площадь треугольника: ½ × 5² × sin(180°) = 0
   3. Площадь сегмента: 39,2699 − 0 = 39,2699
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(90°) = 10
   5. Длина дуги: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15,708
   6. Высота: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

   Угол, на котором треугольник исчезает. При 180 градусах хорда — это диаметр, и оба радиуса лежат вдоль неё, так что у треугольника нет площади, которую можно вычесть, и сегмент равен всему полукругу — 39,2699, ровно то, что страница сектора печатает для своего полукруга. Высота равна 5, то есть радиусу: сильнее сегмент этого круга выпятиться не может.

4. Треть круга

   1. Площадь сектора: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37,6991
   2. Площадь треугольника: ½ × 6² × sin(120°) = 18 × 0,8660254 = 15,5885
   3. Площадь сегмента: 37,6991 − 15,5885 = 22,1106…, что округляется до 22,1107
   4. Хорда: 2 × 6 × sin(60°) = 10,3923
   5. Длина дуги: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12,5664
   6. Высота: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0,5 = 3

   Строка, которая сходится со страницами по обе стороны от этой. Хорда равна 6√3, а дуга — 4π: те же числа, что страница сектора печатает для клина в 120 градусов того же круга, — хорда и дуга не меняются, когда треугольник убирают, потому что ни то, ни другое в него не входит. Высота равна ровно 3, половине радиуса, потому что косинус 60 градусов равен одной второй.

5. Большой сегмент при 270 градусах

   1. Площадь сектора: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58,9049
   2. Площадь треугольника: ½ × 5² × sin(270°) = 12,5 × (−1) = −12,5
   3. Площадь сегмента: 58,9049 − (−12,5) = 71,4049
   4. Хорда: 2 × 5 × sin(135°) = 7,0711
   5. Длина дуги: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23,5619
   6. Высота: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1,7071068 = 8,5355

   Строка, которую стоит читать внимательно, и та, что объясняет, почему эта страница никак не судит о том, разумен ли ответ. При 270 градусах синус отрицателен, поэтому вычитание треугольника прибавляет 12,5 вместо того, чтобы отнимать, и страница возвращает 71,4049 — бо́льшую из двух областей, отсекаемых хордой, а не меньшую. Для арифметики это правильный ответ, и очень часто это не та область, которую имел в виду читатель; поэтому здесь ничто не помечено как малый или большой сегмент. Хорда равна 7,0711 — столько же, сколько в строке про 90 градусов выше, потому что sin(135°) равен sin(45°): два разных угла, одна хорда.

Страница только про круговые сегменты: прямая хорда и дуга над ней на плоском круге. Выше 180 градусов арифметика переходит на другую сторону и возвращает большую из двух областей, на которые хорда делит круг, а не меньшую. Это сделано намеренно и неизбежно: по формуле нельзя понять, какую из двух вы имели в виду, и именно поэтому ни один ответ здесь не помечен как большой или малый сегмент. Площадь — это разность двух чисел, каждое из которых содержит π или синус, поэтому её последние знаки самые ненадёжные на странице. Хорда и дуга при отрезании треугольника не меняются, поэтому тому, кому нужен был клин, а не серп, стоит взять соседнюю страницу сектора. Ответы выходят в сантиметрах и квадратных сантиметрах, в какую бы единицу ни был выставлен список, так что радиус, введённый в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить. Высота измеряется от хорды до самой глубокой точки дуги и нужна тогда, когда угол неизвестен, но обратного хода от высоты к углу страница не делает. Углы больше 360 градусов отклоняются, а не сворачиваются. Ничего из этого не работает для сегмента эллипса, для хорды, которая не стягивает всю дугу, и для толщины с торцами настоящей детали — бочарной клёпки или арочного кирпича.

Чем сегмент отличается от сектора?

Сектор — это клин, ограниченный двумя радиусами и дугой, кусок пирога. Сегмент — это то, что останется, если отрезать от этого клина треугольник: только область между хордой и дугой. Соседняя страница сектора считает клин, а эта считает то, что осталось после того, как из него вычли ½r²sin θ.

Почему при 270 градусах страница выдаёт большую область?

Потому что площадь треугольника равна ½r²sin θ, а после 180 градусов синус отрицателен, и вычитание прибавляет вместо того, чтобы отнимать. Арифметика верна, и ответ — большая из двух областей, на которые хорда делит круг. Страница намеренно не помечает ответы как большой или малый сегмент: по одному радиусу и углу невозможно понять, какую из двух областей вы имели в виду, поэтому она считает одну, а разбираться оставляет вам.

Зачем нужна высота сегмента?

Это то, насколько дуга поднимается над серединой хорды, то есть глубина сегмента. Она на странице потому, что именно её и можно измерить на деле: положите линейку поперёк плоской стороны, измерьте до самой глубокой точки кривой — и высота у вас в руках, угол для этого не нужен. Она идёт от 0 при нулевом угле до полного диаметра при полном обороте, и именно так обычно описывают неполную трубу.

Почему хорда и дуга такие же, как на странице сектора?

Потому что ни та, ни другая не входят в отрезаемый треугольник. Вычитание убирает область, ограниченную двумя радиусами и хордой; сама хорда — это граница того треугольника, а не его внутренность, а дугу вычитание вообще не затрагивает. Поэтому у сегмента в 120 градусов и у сектора в 120 градусов одного и того же круга хорды одинаковы, дуги одинаковы, а площади разные.

Где вообще встречается такая форма?

Везде, где прямая пересекает круг. У неполной горизонтальной трубы или бака сечение жидкости — это сегмент, и потому объём жидкости в бочке считается как задача про сегмент. Арочное окно, свод тоннеля на прямых стенах, область между прямой межевой линией и изогнутой дорогой, отход при отпиливании от круглого прутка и след укуса на круглом печенье — всё это сегменты.

Можно ли найти угол по высоте?

На этой странице нет: высота здесь выход, а не вход. Угол по ней восстановить можно, поскольку высота равна r(1 − cos(θ/2)), но для этого нужно решать уравнение относительно косинуса и брать обратную функцию, а страница этого не делает. Если у вас на руках именно измеренная глубина, практический путь — подбирать углы, пока столбец высоты не совпадёт с измеренным, либо считать обратную функцию отдельно.

• Circular segment — the region between a chord and its arc, with the area as the sector minus the triangle that this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular sector — the wedge this page subtracts the triangle from, and the page next door where the wedge itself is the answer — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the shape the segment is cut from, and the page where the whole circle and its chord properties are set out — Wolfram MathWorld (United States)