Калькулятор центрального угла
Результат
Центральный угол
- Центральный угол в радианах
- 1,0000 rad
Калькулятор центрального угла берёт радиус круга и длину дуги на нём и возвращает центральный угол этого круга — угол, опирающийся на эту дугу, — сразу в градусах и в радианах. Это один и тот же угол, записанный двумя способами, и самое интересное на этой странице — какой из двух способов первичен. Радианная мера угла по определению равна длине дуги, делённой на радиус; это не формула, которую кто-то вывел, а то, чем радиан является. Поэтому радианная запись — это одно деление, и π в нём не участвует вовсе, а градусная запись — это то же число, умноженное на 180/π. Пара, с которой страница загружается, это показывает: радиус 5 и дуга 5 дают ровно один радиан, потому что дуга ровно такой же длины, как радиус, а один радиан — это 57,2958 градуса. Любое другое вычисление здесь — то же самое деление с другими числами. Отсюда же следует, почему эта страница и страница длины дуги существуют по отдельности. Это одно и то же уравнение, прочитанное в противоположных направлениях: одна берёт угол и даёт дугу, другая берёт дугу и даёт угол. Обе нужны, потому что вопросы приходят с обеих сторон: тот, кто измеряет изогнутую стену, имеет длину и хочет узнать, на какой угол она поворачивает, а тот, кто чертит сектор, имеет угол и хочет узнать, какой длины будет кромка. Единственное предупреждение, которое стоит перенести сюда с соседней страницы, — про компактную формулу L = rθ. В этой записи θ всегда в радианах, потому что иначе она просто не работает. Подставьте туда градусы — и ответ выйдет примерно в 57 раз больше, и выглядеть неправильным он не будет: он будет выглядеть длинным. Здесь обе записи выдаются сразу, так что перевод сделан за вас; предупреждение важно тогда, когда вы встретите компактную форму где-нибудь ещё. Отдельно стоит сказать про единицы измерения: длина дуги и радиус — это две длины, и берутся они в одних и тех же единицах, поэтому ничего переводить не нужно. Ответ же от единиц не зависит вообще: угол безразмерен, и обе его записи — градусы и радианы — выходят одинаково верными, в каком бы списке единиц ни стояли входные поля.
Угол при центре по длине дуги и радиусу её круга
| Радиус (cm) | Длина дуги (cm) | Угол при центре (градусы) | Угол при центре (радианы) |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 57.2958 | 1 |
| 10 | 5 | 28.6479 | 0.5 |
| 5 | 10 | 114.5916 | 2 |
| 4 | 1 | 14.3239 | 0.25 |
| 3 | 3 | 57.2958 | 1 |
| 6 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 31.4159 | 359.9997 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 360.0008 | 6.2832 |
Восемь дуг и четыре столбца: два измерения на входе, один и тот же угол на выходе дважды. Первая строка — та пара, с которой страница загружается, и определение радиана в одну строку: дуга, равная радиусу, даёт ровно 1, то есть 57,2958 градуса. Вторая и третья строки берут то же деление вверх и вниз — дуга вдвое короче радиуса даёт половину радиана, а дуга вдвое длиннее даёт два, — так что, читая их вместе, видно, что столбец радианов ведёт себя как обычное деление. Четвёртая строка — четверть радиана: дуга 1, уложенная на радиус 4, даёт 0,25, то есть 14,3239 градуса, и градусный столбец продолжает быть радианным числом, умноженным на 57,2958. Последние две строки — одно и то же в противоположных направлениях, и в них весь смысл таблицы: радиус 5, которому скормили его собственную напечатанную длину окружности, даёт 359,9997 градуса, а радиус 2, которому скормили его собственную, даёт 360,0008, потому что одно округление пошло вниз, а другое вверх. Ответ чуть выше 360 поэтому верен, и обе строки стоят здесь именно для того, чтобы это сказать. Каждое число пересчитано из своих радиуса и дуги при сборке страницы, в сантиметрах, и четыре знака — те же четыре знака, что и на панели результатов. О записи стоит сказать отдельно: в клетках таблицы те же величины напечатаны с точкой — 57.2958, 359.9997, 360.0008, — а в этом тексте они записаны с запятой: 57,2958, 359,9997, 360,0008. Это одно и то же число в двух записях, а не два разных.
Формула
θ(радианы) = L ÷ r, θ(градусы) = θ(радианы) × 180 ÷ π
- Длина дуги
- Расстояние вдоль кривой, в сантиметрах, — длина куска окружности, а не прямое расстояние между его концами
- Радиус
- Расстояние от центра до дуги, в сантиметрах. Оно должно быть больше нуля, потому что именно на него делится длина дуги
- θ (тета)
- Угол при центре, в радианах: длина дуги, делённая на радиус, — это и есть определение радиана. Полный оборот составляет 2π таких углов, то есть примерно 6,2832
- 180 ÷ π
- Число градусов в одном радиане, примерно 57,2958. Умножение радианной записи на него даёт градусную, и это единственное место, где в вычисление входит π
- Градусы
- Тот же угол, записанный так, как большинство людей привыкло читать углы: 360 на полный оборот. Показано первым, потому что именно это показал бы транспортир
- L = rθ
- Компактная запись той же связи, где θ в радианах. Переставленная, она и есть то деление, которое выполняет эта страница; если же подставить в неё градусы вместо радианов, ответ выйдет примерно в 57 раз больше
- Четыре знака после запятой
- Так записывается ширина обеих записей. Полный оборот — это 6,2832 радиана или 360 градусов, и около этой точки четыре знака входного числа начинают проглядывать в ответе
Всё, что было измерено вдоль кривой и теперь должно превратиться в угол. Механический цех — самый наглядный случай: изогнутый паз, гнутая трубка, участок катаного кольца приходят с длиной, а на чертеже проставлен угол; именно это деление переводит одно в другое. Изготовление и стройка — задача той же формы: изогнутые перила, измеренные по длине, гнутый бордюр, арочный проём, участок кирпичной кладки по дуге — всё это требует угла при центре прежде, чем что-либо можно размечать. Навигация и астрономия пользуются этим в обратную сторону: берут дугу, измеренную по земле или по небу, и переводят её в градусы широты, долготы или пеленга. Есть и школьное применение, которое и есть самый ясный способ понять эту единицу. Начертите круг, отрежьте нитку длиной в радиус и уложите её по окружности: угол, который она закроет при центре, равен одному радиану, а по всей окружности их укладывается чуть больше шести. Проделайте это один раз — и радианы перестанут быть произвольной единицей, которую надо заучивать. И есть практическое применение, которое раз за разом всплывает в программировании и инженерии: по радиусу и длине выяснить, какая доля круга использована. Эта доля — радианная запись, делённая на 2π, и ровно для этого здесь и выдаются обе записи.
Разобранные примеры
Радиус 5 и дуга 5
- Разделите дугу на радиус: 5 ÷ 5 = 1 радиан
- Переведите в градусы: 1 × 180 ÷ π = 57,2958
Та пара, с которой страница загружается, и определение радиана в одну строку: дуга, равная по длине радиусу, стягивает угол в один радиан. Градусная величина 57,2958 — то число, которое стоит запомнить, если о радианах вы запомните только одно. Заметьте, что радианная запись вышла точной, без всякого округления: эта пара подобрана так, чтобы деление вышло нацело.
Радиус 10 и дуга 5
- Разделите дугу на радиус: 5 ÷ 10 = 0,5 радиана
- Переведите в градусы: 0,5 × 180 ÷ π = 28,6479
Та же дуга на большем круге, поэтому угол меньше: здесь дуга 5 составляет половину радиуса, а не весь его. Полрадиана, 28,6479 градуса. Это та строка, которая показывает, что угол зависит от отношения, а не от одной только дуги, — тот же факт, который страница длины дуги утверждает с другого конца.
Радиус 4 и четверть длины окружности
- Вся длина окружности: 2 × π × 4 = 25,1327
- Четверть её: 25,1327 ÷ 4 = 6,2832 = π
- Разделите дугу на радиус: 12,5664 ÷ 4 = 3,1416 радиана
- Переведите в градусы: 3,1416 × 180 ÷ π = 180,0004
Половина оборота и та строка, которая показывает, куда деваются четыре знака ввода. Угол действительно равен 180 градусам, но дуга была введена как округлённая четверть длины окружности, 12,5664, и деление округлённого числа на 4 переносит это округление в ответ как 0,0004 градуса. Радианная запись — это π до четырёх знаков, и это другой способ увидеть, что перед нами половина оборота.
Радиус 2 и напечатанная длина окружности
- Вся длина окружности: 2 × π × 2 = 12,5664, напечатанная до четырёх знаков
- Разделите дугу на радиус: 12,5664 ÷ 2 = 6,2832 радиана
- Переведите в градусы: 6,2832 × 180 ÷ π = 360,0008
Полный оборот и величина чуть больше 360 градусов — и это верно, а не ошибка. Длина окружности радиуса 2 равна 12,5663706, а страница печатает её как 12,5664, округляя вверх. Введите это напечатанное число обратно — и угол выйдет на доли градуса больше полного оборота. Проглядывает округление во вводе, а не изъян в арифметике.
Радиус 6 и дуга 0
- Разделите дугу на радиус: 0 ÷ 6 = 0 радиан
- Переведите в градусы: 0 × 180 ÷ π = 0
Дуги нет вовсе, значит, нет и угла: два радиуса сомкнулись друг с другом, а дуга стянулась в точку. Ноль здесь допустимый ввод, и ответ — настоящий ноль. А вот радиус — то поле, которое нулём быть не может: на него делится длина дуги, поэтому при радиусе ноль ответа нет вообще.
Ограничения
Страница возвращает угол и ничего больше: ни дугу, ни радиус, ни площадь сектора. Если даны угол и радиус, то за длиной дуги — на соседнюю страницу. Радиус должен быть больше нуля: на него делится длина дуги, поэтому при радиусе ноль ответа нет вообще, и страница об этом сообщает, а не печатает пустоту. Длина дуги, наоборот, может быть равна нулю, и это даёт угол ноль. Дуга не должна быть длиннее полной окружности этого круга: у круга радиуса 5 длина окружности равна 31,4159, поэтому дуга 32 отклоняется. Ограничение проверяется по длине окружности в том виде, в каком её печатает страница, то есть по четырём знакам, а не по значению полной точности, и у этого есть заметное следствие: ответ чуть больше 360 градусов возможен и при этом верен. Если длина окружности вашего круга при печати округляется вверх, то, введя это напечатанное число обратно, вы получите угол вроде 360,0008 градуса, потому что округление уже сидело в набранном вами числе. Это не выход за собственный предел страницы. Оба входа берутся в одних и тех же единицах, и ничего не переводится; два ответа всегда в градусах и радианах, независимо от положения списков единиц.
Частые вопросы
- Почему записей две?
- Потому что у угла есть две стандартные единицы, и перевод между ними страница делает за вас. Радианная запись — это длина дуги, делённая на радиус, то есть само определение радиана; градусная — это то же число, умноженное на 180/π. Это один и тот же угол, и обе записи избавляют от ручного перевода и от поисков того, какую единицу требует формула.
- У меня вышло 360,0008 градуса. Это ошибка?
- Нет, это верно, и получается так тогда, когда введённая дуга уже была округлённым числом. Длина окружности радиуса 2 равна 12,5663706, а страница печатает её как 12,5664, то есть округляет вверх. Наберите это напечатанное значение обратно — и угол выйдет на доли градуса больше полного оборота. Вы видите округление в собственном вводе, а не ошибку в делении.
- Может ли радиус быть нулём?
- Нет. Угол — это длина дуги, делённая на радиус, поэтому при радиусе ноль ответа нет вообще: нет круга, на котором можно измерить угол. Страница так и говорит, а не печатает пустое место или бесконечность. Длина дуги, наоборот, может быть нулём, и это даёт угол ноль, то есть настоящий ответ.
- Какой может быть самая большая дуга?
- Длина окружности этого круга. Дуга — это кусок окружности, поэтому она не может быть длиннее целой, и всё, что выходит за предел, страница отклоняет: для радиуса 5 предел равен 31,4159. За ним угла при центре уже нет, потому что дуга прошла бы больше одного оборота.
- Как это связано с калькулятором длины дуги?
- Это одно и то же уравнение, прочитанное в двух направлениях. Здесь берутся радиус и дуга и выдаётся угол; там берутся радиус и угол и выдаётся дуга. Оба нужны потому, что вопросы приходят с обеих сторон: измерение кривой даёт длину, а чертёж сектора даёт угол, — и в таблице каждой страницы есть строка, которую печатает и другая.
- Радиан — это просто ещё одна единица, вроде градуса?
- Единица, но не произвольная в том смысле, в каком произволен градус. Градус — это одна трёхсотшестидесятая оборота, деление, унаследованное от вавилонской арифметики; радиан — это угол, который получается, когда дуга ровно такой же длины, как радиус. Именно поэтому в делении на этой странице нет π: π появляется только тогда, когда вы переводите результат в градусы.
Источники
- Central Angle — the angle at the centre of a circle subtended by an arc, and the relation between it, the arc and the radius — Wolfram MathWorld (United States)
- Radian — the unit the radians reading is in, defined as the angle subtended by an arc equal in length to the radius, which is the division this page performs — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the circumference that bounds an arc, and the 2π radians a full turn comes to — Wolfram MathWorld (United States)