Калькулятор длины дуги

L = (θ ÷ 360) × 2πr

Радиус

Расстояние от центра круга до дуги, в сантиметрах

θ (тета)

Угол при центре, в градусах: угол между двумя радиусами, которые упираются в концы дуги. Это не тот угол, на который дуга поворачивается на рисунке, и не угол между двумя концами, если смотреть на них снаружи

360

Весь круг в градусах, и причина, по которой формула записана именно так. Деление угла на 360 превращает его в долю круга, которую покрывает дуга

2πr

Длина окружности — длина всего круга, от которой и берётся доля. π здесь та же постоянная, что у любого круга, а r — снова радиус

L

Длина дуги, в сантиметрах. Та же доля длины окружности, какой угол является долей от 360 градусов

L = rθ

Та же формула в компактной форме — той, которую печатают учебники и справочники. В этой форме θ выражена в радианах, а не в градусах: подставить сюда 60 вместо 1,0472 и есть та ошибка, о которой предупреждает вся страница

Четыре знака после запятой

Так записывается ширина показа. Ответ обычно нельзя выписать точно, потому что нельзя выписать π: четверть круга радиуса 5 даёт 7,8540 и на этом останавливается

Всё, что является частью круга и чья длина важна. Самый наглядный случай — измерение: изогнутая стена, изогнутая стойка, эркер, поворот дорожки, длина забора, идущего по кривой, а не по прямой; заказывают именно длину вдоль кривой, и она больше прямого расстояния между двумя концами. Второй случай — материалы, которые продаются полосами и гнутся: кант, отделка, уплотнитель, гофра, изогнутая секция перил, лист металла, прокатанный по радиусу. Посчитать длину до раскроя — в этом весь смысл, а дуга, отрезанная короче, идёт в отход. Третий — машины и техника: путь, который проходит щётка стеклоочистителя, траектория роботизированной руки, ремень, бегущий по изогнутой направляющей, длина цепи на звёздочке. В каждом из них длина дуги это фактически пройденное расстояние, и под него подбирают двигатель. И есть школьное применение. Пропорцию легко увидеть на круге, начерченном циркулем: дуга в 90 градусов это четверть длины окружности, и это можно сверить с формулой; и это тот механизм, который позволяет дальше перейти к секторам, сегментам и в конце концов к радианам, а радианы не сложнее той же самой пропорции, только записанной наоборот.

1. Радиус 5 и угол 90 градусов

   1. Угол как доля круга: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. Вся длина окружности: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Четверть её: 31,4159 ÷ 4 = 7,854

   Четверть круга и та пара, с которой страница загружается. Две величины, которые стоит держать в голове вместе, — это 7,854 и 31,4159, которые тот же радиус даёт при 360 градусах: одна ровно вчетверо больше другой, и это быстрый способ убедиться, что угол действительно работает как доля, а не как что-то другое.

2. Радиус 5 и угол 60 градусов

   1. Угол как доля круга: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. Вся длина окружности: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Шестая часть её: 31,4159 ÷ 6 = 5,236

   Шестая часть круга — это угол, который даёт при центре равносторонний треугольник, и причина, по которой 60 градусов всплывают всюду, где что-то делится на шесть. Эту же строку печатает и страница сектора, так что две страницы можно положить рядом: какой бы ни вышла здесь длина дуги, страница сектора покажет ту же величину для того же радиуса и угла.

3. Радиус 5 и полный оборот

   1. Угол как доля круга: 360 ÷ 360 = 1
   2. Вся длина окружности: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Вся она: 31,4159

   Пограничный случай и проверка всей страницы: при 360 градусах дуга прошла весь круг и замкнулась, поэтому она и есть окружность, а длина окружности радиуса 5 равна 31,4159. Если бы эта строка когда-нибудь напечатала что-то другое, формула была бы неверна — именно поэтому её и стоит держать в таблице.

4. Радиус 10 и угол 90 градусов

   1. Угол как доля круга: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. Вся длина окружности: 2 × π × 10 = 62,8319
   3. Четверть её: 62,8319 ÷ 4 = 15,708

   Та же четверть круга, что и в первом примере, и та же длина, что у дуги радиуса 5 при 180 градусах. Удвоение радиуса и деление угла пополам оставляют дугу неизменной, потому что длина дуги зависит от них вместе, а не от каждого по отдельности. Это самое дешёвое доказательство того, почему формула перемножает, а не складывает.

5. Радиус 5 и угол 0

   1. Угол как доля круга: 0 ÷ 360 = 0
   2. Вся длина окружности: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Нисколько: 0

   Угол ноль означает, что два радиуса сомкнулись друг с другом и дуга стянулась в одну точку на окружности, поэтому её длина равна нулю. Это настоящий ответ, и страница его выдаёт, а это не то же самое, что оставить поле пустым: пустому полю не от чего считать, и результата не показывается вовсе.

Страница возвращает длину дуги и ничего больше. Она не даёт ни площади сектора, ни длины прямой хорды между концами, ни угла, ни радиуса: первые две величины покрывает страница сектора, а обратный ход от длины дуги к углу — это отдельная страница. Угол задаётся в градусах и ограничен 360: центральный угол больше полного оборота отклоняется, а не сворачивается, потому что центральный угол по определению не больше одного оборота. Ноль принимается в любом из двух полей и даёт дугу нулевой длины, что для точки верно и не то же самое, что пустое поле. Оба входа берутся в одних и тех же единицах, поэтому радиус в дюймах даёт длину дуги в дюймах; ничего не переводится. Ответ — это длина вдоль дуги окружности, и о любой другой кривой он не говорит ничего: эллиптическая арка, спираль, цепная линия или поворот, который не является настоящей окружностью, верного ответа не дадут, и из них именно эллипс — тот случай, который люди ожидают увидеть проще, чем он есть.

Угол задаётся в градусах или в радианах?

Формула, которую считает страница, — это (θ ÷ 360) × 2πr, и она записана так, чтобы градусы делились прежде всего остального. Но у поля угла есть список единиц, и в нём рядом с градусами стоят радианы и грады, так что ввести угол можно и в них: страница приведёт его к градусам до вычисления. А вот компактная форма L = rθ, которую вы могли видеть в других местах, радианов не прощает, и это стоит знать: 60, подставленное в неё, даёт ответ примерно в 57 раз больше — а ответ, который просто длинный, не выглядит неправильным.

Какой из углов на рисунке центральный?

Тот, что при центре круга, между двумя радиусами, проведёнными к двум концам дуги. Это не угол между двумя концами, измеренный откуда-то с самой дуги, и не тот угол, на который кривая выглядит повернувшейся на рисунке. Если на чертеже отмечено несколько углов, центральный — тот, у которого вершина в центре.

Чем это отличается от калькулятора сектора?

Страница сектора даёт по тем же двум входам три числа: площадь клина, длину дуги и прямую хорду между концами — потому что тому, кто работает с сектором, обычно нужно больше одного из них. Эта страница даёт только длину дуги. В этом одном числе обе страницы совпадают точно, поэтому если нужна только длина, здесь дорога короче.

Может ли угол быть больше 360 градусов?

Нет, и страница отклоняет такой угол, а не сворачивает его. Центральный угол по определению есть угол при центре круга, и он не может превышать один полный оборот; 400 градусов означали бы дугу длиннее всей окружности, а это уже не дуга. Ограничение сделано намеренно и совпадает со страницей сектора, поэтому одна и та же пара чисел принимается или отклоняется на обеих страницах одинаково.

Зависит ли длина дуги от радиуса?

Да, и зависимость здесь умножение, а не сложение. Удвоение радиуса удваивает дугу, удвоение угла тоже, поэтому дуга в 180 градусов при радиусе 5 и дуга в 90 градусов при радиусе 10 имеют одинаковую длину. Именно поэтому формула эти два числа перемножает, а не делает с ними что-то ещё.

А если кривая — не окружность?

Тогда эта страница не даст верного ответа и не предупредит об этом. Каждая дуга здесь — кусок настоящей окружности. Эллиптическая арка, винтовая лестница, цепная линия и траектория брошенного тела имеют длины, которые считаются другой математикой, и из них именно эллипс люди чаще всего принимают за простую долю круга, хотя ею он не является.

• Arc — the definition of an arc of a circle and the proportion between its length, the radius and the angle at the centre — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular Arc — the same subject in more detail, including the compact form L = rθ and the statement that the angle in it is measured in radians — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the circumference that an arc is a fraction of, and the 2πr that fraction is taken of — Wolfram MathWorld (United States)