Калькулятор пятиугольника

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) диагональ = φ·s внутренний угол = 108°

Сторона

Длина любой из пяти сторон в сантиметрах. Как и у любого правильного многоугольника, это единственный вход, который здесь есть: все пять сторон равны, а все пять углов зафиксированы на 108 градусах, так что одна сторона определяет всю фигуру

Площадь

Пространство, которое занимает пятиугольник, в квадратных сантиметрах: квадратный корень из двадцати пяти плюс десять корней из пяти, делённый на четыре, умноженный на квадрат стороны. Константа равна примерно 1,7205, и именно её стоит запомнить: пятиугольник занимает примерно в 1,72 раза больше площади, чем квадрат, построенный на одной его стороне

Периметр

Расстояние по всему контуру в сантиметрах: пять сторон, ведь все пять одинаковы. Это единственный выход, который точен всегда, когда точна сторона, поэтому именно с ним стоит сверять остальные, когда результат выглядит неверным

Апофема

Расстояние от центра прямо до середины стороны в сантиметрах, то есть сторона, делённая на удвоенный тангенс 36 градусов. Это радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри пятиугольника, а удвоенная апофема — ширина фигуры, измеренная по граням

Диагональ

Расстояние между двумя вершинами, между которыми стоит ещё одна вершина, в сантиметрах, то есть сторона, умноженная на золотое сечение. На этой странице диагональ одна, а не две, как у шестиугольника, потому что все пять диагоналей правильного пятиугольника одинаковой длины: каждая из них пропускает ровно одну вершину, так что пары «длиннее и короче» тут нет

Внутренний угол

Угол между двумя соседними сторонами внутри пятиугольника: 108 градусов, заданные одним лишь числом сторон. От длины стороны он не зависит, поэтому этот столбец таблицы одинаков во всех строках. Половина его, 54 градуса, — это ус, который нужен пятисторонней рамке

φ

Золотое сечение, примерно 1,6180339887, — то число, на которое умножается сторона, чтобы получилась диагональ. Это пропорция, в которой диагонали пятиугольника делят друг друга, и причина, по которой эта фигура встречается в дизайне и в растениях куда чаще, чем можно было бы ожидать от её арифметики

√5

Квадратный корень из пяти, примерно 2,2360680. Он появляется в площади через выражение «двадцать пять плюс десять корней из пяти», и именно из-за него золотое сечение — иррациональное число, а не дробь: это единица плюс квадратный корень из пяти, делённое на два

Страница предназначена для пятиугольника как физического объекта, а пятиугольники обычно декоративны, а не конструктивны, и это меняет то, что вам нужно от чисел. Если вы вырезаете его из листа — столешницу, вывеску, тротуарную плитку, грядку, — площадь говорит, сколько материала уйдёт, а апофема подсказывает, как разметить его от центра, ведь удвоенная апофема — это ширина по граням, а именно её и можно измерить линейкой. Диагональ тогда отвечает на вопрос, поместится ли готовая деталь в то место, куда она предназначена, потому что это самая длинная линия через фигуру — из угла в угол через середину. Если вы собираете что-то из пяти деталей — рамку, фонарь, крышу беседки, кашпо, — вам нужен внутренний угол 108 градусов, поскольку ус на каждой детали равен его половине, 54 градусам, и этот настрой одинаков для любого правильного пятиугольника, какого бы размера он ни был. Золотое сечение — причина заглянуть в столбец диагонали, даже когда она вам не нужна: это подпись фигуры, и пятиугольник, у которого диагональ не равна 1,618 от стороны, не является правильным, как бы он ни выглядел. А если вы сравниваете фигуры, а не измеряете одну, таблица с одинаковой стороной на этой странице и на двух соседних даёт самое честное сравнение из возможных: при стороне 6 пятиугольник покрывает 61,9372, шестиугольник — 93,5307, а восьмиугольник — 173,8234, так что одно и то же ребро покупает тем больше площади, чем больше сторон, на пути к окружности.

1. Сторона 6

   1. Периметр: 5 × 6 = 30
   2. Диагональ: φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, что округляется до 9,7082
   3. Апофема: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, что округляется до 4,1291
   4. Площадь: 1,7204774… × 36 = 61,937187…, что округляется до 61,9372
   5. Внутренний угол: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108 градусов ровно

   Это тот ввод, с которым страница открывается. Проверка, которую на нём стоит сделать, — разделить диагональ на сторону: 9,7082 ÷ 6 даёт 1,618, то есть золотое сечение, и это отношение выполняется в каждой строке таблицы и у любого правильного пятиугольника, какой только существовал. Это ещё и та строка, которую можно сравнить с двумя соседними страницами при той же длине стороны: сторона 6 даёт 61,9372 здесь против 93,5307 на странице шестиугольника и 173,8234 на странице восьмиугольника — одно и то же ребро, больше сторон, больше площади. Пятиугольник из этих трёх самый маленький, а по площади он ещё и самый широкий, потому что при пяти сторонах он меньше всех похож на круг.

2. Сторона 1

   1. Периметр: 5 × 1 = 5
   2. Диагональ: φ × 1 = 1,6180339…, что округляется до 1,618
   3. Апофема: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, что округляется до 0,6882
   4. Площадь: 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, что округляется до 1,7205
   5. Внутренний угол: 108 градусов

   Единичный пятиугольник, и на этой строке обе константы стоят сами по себе: площадь равна 1,7205, то есть это вся константа площади целиком, а диагональ равна 1,618, то есть само золотое сечение. Обе стоит запомнить именно в таком виде. Сравните площадь с квадратом со стороной единица, у которого она равна 1, и с 0,433 у треугольника и 2,598 у шестиугольника: пять сторон попадает между квадратом и шестиугольником, и это тот порядок, которому следует всё семейство.

3. Сторона 3

   1. Периметр: 5 × 3 = 15
   2. Диагональ: φ × 3 = 4,854101…, что округляется до 4,8541
   3. Апофема: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, что округляется до 2,0646
   4. Площадь: 1,7204774… × 9 = 15,484296…, что округляется до 15,4843
   5. Внутренний угол: 108 градусов

   Строка, на которой золотое сечение выглядит всего неуклюжее и потому убедительнее всего: диагональ равна 4,8541, сторона равна 3, и 4,8541 ÷ 3 даёт 1,618. Отношение, которое выходит одними и теми же тремя цифрами при стороне 1, при стороне 3 и при стороне 6, — это свойство формы, а не арифметики. Ещё на этой строке площадь и периметр стоят ближе всего друг к другу во всей таблице — 15,4843 против 15, — но это почти совпадение, а не равенство, и к тому же это разные величины в разных единицах.

4. Сторона 10

   1. Периметр: 5 × 10 = 50
   2. Диагональ: φ × 10 = 16,180339…, что округляется до 16,1803
   3. Апофема: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, что округляется до 6,8819
   4. Площадь: 1,7204774… × 100 = 172,047740…, что округляется до 172,0477
   5. Внутренний угол: 108 градусов

   Пятиугольник со стороной десять сантиметров, примерно размер тротуарной плиты. Апофема 6,8819 — это то число, которым его размечают: удвоенная она, 13,7638, есть ширина по граням. В этой строке есть совпадение, которое стоит заметить раньше, чем оно покажется ошибкой: апофема здесь, 6,8819, состоит из тех же четырёх цифр, что и площадь при стороне 2, выше по таблице. Обе величины — одно и то же выражение с квадратным корнем, полученное с разных сторон, одна из них длина, а другая площадь, и то, что при этих двух размерах у них совпали четыре цифры, не значит ничего сверх этого.

5. Сторона 0

   1. Периметр: 5 × 0 = 0
   2. Диагональ: φ × 0 = 0
   3. Апофема: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
   4. Площадь: 1,7204774… × 0 = 0
   5. Внутренний угол: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108 градусов

   Ноль — это допустимый ввод, а не пустое поле, и эта строка делает природу внутреннего угла самой наглядной: пятиугольник со стороной ноль схлопнулся в точку, четыре из пяти величин равны нулю, а внутренний угол по-прежнему 108 градусов. Это свойство формы, а не размера, поэтому он переживает и полное исчезновение размера. Оставить поле пустым — это другой случай: когда в нём ничего нет, страница не показывает результата вообще, потому что считать не из чего.

Страница рассчитана только на правильные пятиугольники: все пять сторон одной длины и все пять углов по 108 градусов. У пятиугольника неправильной формы — домиком или вытянутого — нет единой длины стороны, и одним числом его не описать, а страница молча выдаст правильный пятиугольник с такой стороной, не сообщив, что задуманная вами фигура другая. Выходные значения — в сантиметрах и квадратных сантиметрах независимо от того, что выбрано в списке единиц, поэтому сторона, введённая в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить самому. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявление о точности, и для измеренной стороны её более чем достаточно; последние две цифры ничего не значат, если вход не был точным. Внутренний угол точен и равен 108 градусам, он печатается без дробной части, но он одинаков во всех строках, так что страница, которая как будто не реагирует на смену стороны, не зависла: четыре из пяти величин изменились. Диагональ на странице одна, а не две, и это не упущение: все пять диагоналей правильного пятиугольника одинаковой длины, так что печатать пару «длиннее и короче» нечего. Страница двумерная, и поля для толщины материала у неё нет, поэтому она не даст объём пятиугольной призмы или вес пятиугольной пластины. Она также не описывает пятиконечную звезду, построенную на диагоналях: это фигура из нескольких пятиугольников, составленная из треугольников, а не один пятиугольник.

Почему диагональ пятиугольника всегда равна 1,618 от его стороны?

Потому что это число — золотое сечение, и правильный пятиугольник — одно из самых наглядных мест, где оно появляется. Оно определяется так: целое относится к большей части так же, как большая часть к меньшей, и диагонали пятиугольника пересекаются ровно в этой пропорции — а отсюда и отношение диагонали к стороне оказывается тем же самым. Это верно для любого пятиугольника любого размера, поэтому столбец диагонали в таблице можно проверить, разделив диагональ любой строки на её сторону.

Почему страница показывает одну диагональ, а страница шестиугольника — две?

Потому что у правильного пятиугольника только одна длина диагонали. Каждая диагональ соединяет две вершины, между которыми ровно одна вершина, и в силу симметрии все пять получаются одинаковыми. У шестиугольника иначе: при шести вершинах есть два различных расстояния — одно пропускает вершину, другое идёт напрямик, — поэтому та страница печатает оба. Печатать для пятиугольника длинную и короткую диагональ значило бы напечатать одно и то же число дважды и предложить читателю искать разницу, которой нет.

Почему внутренний угол не меняется при изменении стороны?

Потому что углы правильного пятиугольника задаются числом сторон и ничем больше. Внутренний угол правильного многоугольника — это число сторон минус два, умноженное на 180 градусов и делённое на число сторон; для пяти сторон это 108 градусов, и длина стороны в это выражение не входит вовсе. Пятиугольник со стороной 1 и пятиугольник со стороной 100 имеют одинаковые углы и различаются только размером. Именно поэтому последний столбец таблицы одинаков во всех строках, и именно поэтому настройка уса в 54 градуса годится для любого пятиугольника, который вы когда-либо будете вырезать.

Что такое апофема и чем она здесь полезна?

Это расстояние от центра прямо до середины стороны, и оно же радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри. Для пятиугольника это та величина, которой фигуру размечают: удвоенная апофема — это ширина по граням, а по граням линейкой провести легко, по углам — нет. Если вы размечаете пятиугольник на листе, отложите апофему от центра пять раз — и вы получите середины всех пяти сторон.

Замощают ли правильные пятиугольники пол?

Нет, и это единственная фигура в семействе, которая не замощает. Три правильных пятиугольника вокруг одной точки оставляют зазор, потому что трижды по 108 градусов — это 324, а полный оборот равен 360, и недостающие 36 градусов так и остаются незаполненными. Поэтому для пятиугольного пола нужна вторая фигура, которая заполнит промежутки, и поэтому пятиугольник чаще декоративен, чем конструктивен, тогда как шестиугольник, замощающий плоскость идеально, — это форма плитки и пчелиных сот.

Может ли сторона быть нулевой, и то же ли это, что пустое поле?

Ноль — законный вход: четыре из пяти выходов возвращаются нулями, и это честный ответ для пятиугольника без размера, а внутренний угол всё равно остаётся 108 градусов, потому что от размера он не зависит вовсе. Пустое поле — другой случай: когда в нём ничего нет, страница не показывает результата вообще, потому что считать не из чего. Это различие важно, пока вы печатаете: очистка поля, чтобы ввести число заново, не должна выводить строку нулей.

• Pentagon — the five-sided polygon, with the area, the apothem, the diagonal and the 108-degree interior angle this page computes, and the golden-ratio proportion its diagonals cut each other in — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular pentagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)