Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор многоугольника

Диапазон: 3 – 1 000

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Результат

93,5307 cm²

Площадь

Периметр
36,0000 cm
Апофема
5,1962 cm
Внутренний угол
120,00 °
Число длин диагоналей
2

Калькулятор многоугольника принимает число сторон правильного многоугольника и длину одной из этих сторон и возвращает пять величин: площадь, периметр, апофему, внутренний угол и число разных длин диагоналей. Это общий случай трёх страниц отдельных фигур рядом с ним, и разница между ними во входе, а не в выходе. Страница пятиугольника знает, что имеет дело с пятью сторонами, поэтому спрашивает одно число; этой странице нужно сначала сказать, сколько сторон, и только потом она сможет что-либо посчитать, а дальше арифметика одна и та же для любой фигуры — от треугольника до тысячеугольника. Пять формул стоит держать в одном месте, потому что четыре из них — одна и та же форма, повторённая несколько раз. Периметр — это сторона, умноженная на число сторон, и это единственная величина, которая точна всегда, когда точна сторона. Площадь — это число сторон, делённое на произведение четырёх и тангенса пи, делённого на число сторон, и всё это умножено на квадрат стороны; множитель перед квадратом стороны меняется вместе с фигурой: он равен 0,4330 для треугольника, 1 для квадрата, 1,7205 для пятиугольника и 2,5981 для шестиугольника, и дальше он только растёт — 31,5688 при двадцати сторонах и 79 577,2097 при тысяче, — потому что сторона зафиксирована, а фигура растёт. Величина, которая действительно подбирается к пи, 3,1416, — другая: это площадь, делённая на квадрат расстояния от центра до вершины, и она равна 2 для квадрата и 2,5981 для шестиугольника. Апофема — расстояние от центра до середины стороны — это сторона, делённая на удвоенный тангенс пи, делённого на число сторон. Внутренний угол равен числу сторон минус два, умноженному на 180 и делённому на число сторон: 60 градусов при трёх сторонах, 108 при пяти, 120 при шести, 135 при восьми и 179,64 при тысяче. А диагонали — это величины, которые с ростом числа сторон меняют не размер, а вид. У треугольника их нет, у квадрата и пятиугольника одна длина, у шестиугольника две, у восьмиугольника три, у двенадцатиугольника пять. Эта страница отвечает на это количеством, а не длинами, потому что фиксированный список выходов не может вместить число значений, которое само зависит от входа: длины не напечатать, не напечатав два одинаковых числа при четырёх и пяти сторонах или не оставив столбцы пустыми. Сами длины — на трёх страницах отдельных фигур, где фигура известна, а количество не является переменной. Таблица ниже устроена наоборот по сравнению с теми страницами: сторона остаётся равной 6, а движется число сторон, — так что одно и то же ребро можно проследить от треугольника до точки, где фигура перестала быть многоугольником в любом практическом смысле и стала окружностью.

Правильные многоугольники со стороной 6 — от треугольника до тысячеугольника

Число сторонПлощадь (cm²)Периметр (cm)Апофема (cm)Внутренний угол (°)Число длин диагоналей
315.5885181.7321600
436243901
561.9372304.12911081
693.5307365.19621202
7130.8208426.2296128.572
8173.8234487.24261353
10276.9915609.23311444
12403.06157211.19621505
201136.475312018.94131629
10002864779.55096000954.9265179.64499

Десять фигур с одинаковой длиной ребра, поэтому столбцы читаются как одна растущая фигура, а не как десять разных размеров. Три строки этой таблицы — сверка с тремя страницами отдельных фигур: при пяти сторонах площадь равна 61,9372, при шести — 93,5307, при восьми — 173,8234, то есть тем самым числам, с которыми открываются pentagon-calculator, hexagon-calculator и octagon-calculator. Если эти три когда-нибудь разойдутся с этими тремя ячейками, значит общая формула разошлась с формулами для отдельных фигур. Первый столбец — тот вход, который и отличает эту страницу от соседних, а два последних столбца — те, что не двигаются при изменении стороны: внутренний угол задаётся одним лишь числом сторон, а число длин диагоналей — это количество длин, а не количество диагоналей. Следите за шириной записи в столбце внутреннего угла: целые углы печатаются здесь как 60, 90, 108, 120, 135 и 144, потому что таблица печатает само число, тогда как панель результатов выше печатает их как 60,00, а угол семиугольника 128,57 совпадает в обоих местах. Это одна величина в двух записях, а не два ответа. Нижняя строка — причина, по которой страница останавливается на тысяче сторон: у фигуры с тысячей сторон и периметром 6000 площадь равна 2 864 779,5509 против 2 864 788,9757 у настоящей окружности того же периметра, разница 0,0003 процента, так что за этой строкой длина стороны уже ничего не говорит о форме. Каждая ячейка пересчитывается из своей строки при сборке страницы, в сантиметрах, квадратных сантиметрах и градусах. Числа приведены как есть: в самой таблице десятичный разделитель — точка (93.5307, а не 93,5307) и тысячи не группируются (6000, а не 6000), потому что значения считает машина, а не пишет текст.

Формула

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) внутренний угол = (n − 2) × 180 ÷ n число длин диагоналей = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n
Число сторон, и это единственный вход на этой странице, который меняет не размер фигуры, а то, на какую фигуру вы смотрите. Это должно быть целое число не меньше трёх: две стороны ничего не ограничивают, а половина стороны — не сторона. Всё, кроме периметра, зависит от него нелинейно, и именно поэтому эта страница печатает одну и ту же сторону при десяти разных числах сторон, а не десять разных сторон, которые печатают три страницы отдельных фигур
s
Длина любой одной стороны в сантиметрах. Как и на каждой странице правильного многоугольника, это единственная длина, которая здесь есть: фигура задана тем, что все стороны равны и все углы равны, так что одна сторона и их число определяют всю фигуру
A
Площадь в квадратных сантиметрах: число сторон, делённое на произведение четырёх и тангенса пи, делённого на число сторон, умноженное на квадрат стороны. Множитель перед квадратом стороны равен 0,4330 при трёх сторонах и растёт оттуда без ограничений — он проходит через 1 на квадрате, равен 31,5688 при двадцати сторонах и 79 577,2097 при тысяче, — потому что фиксированная сторона на фигуре с большим числом углов покрывает больше площади. Зафиксируйте вместо этого периметр, и рост остановится: тысячеугольник с периметром 6000 покрывает 2 864 779,5509 против 2 864 788,9757 у окружности того же периметра, разница 0,0003 процента. Величина, которая подбирается к пи, 3,1416, — это площадь, делённая на квадрат расстояния от центра до вершины
P
Периметр многоугольника в сантиметрах: сторона, умноженная на число сторон. Это единственный выход, линейный по обоим входам, и единственный, который точен всегда, когда точны входы, поэтому именно с ним стоит сверять остальные, когда результат выглядит неверным
a
Апофема в сантиметрах: расстояние от центра прямо до середины стороны, то есть сторона, делённая на удвоенный тангенс пи, делённого на число сторон. Это радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри фигуры, а удвоенная апофема — ширина по граням, то есть та величина, которую и правда можно измерить линейкой
Внутренний угол
Внутренний угол многоугольника — угол между двумя соседними сторонами внутри фигуры: число сторон минус два, умноженное на 180 и делённое на число сторон. От длины стороны он не зависит вовсе, поэтому он одинаков во всех строках таблицы, где сторона зафиксирована, а число сторон меняется. Эта страница печатает его с двумя знаками после запятой, потому что у семиугольника он равен 128,571428 и иначе округлился бы до 129 — это не более короткий ответ, а неверный
⌊n ÷ 2⌋ − 1
Сколько разных длин диагоналей у фигуры. Хорды, соединяющие пары вершин, дают половину числа сторон различных длин, и одна из них — сама сторона, поэтому у треугольника их нет, у квадрата и пятиугольника по одной, у шестиугольника две, у восьмиугольника три. Это количество, а не длина, поэтому у него нет единицы измерения и оно не меняется при изменении длины стороны
π
Отношение длины окружности к её диаметру, примерно 3,14159265. Оно появляется здесь потому, что именно тангенс пи, делённого на число сторон, связывает фигуру с её собственными углами: та же константа, которая описывает окружность, к которой эти фигуры приближаются с ростом числа сторон

Эта страница нужна, когда фигура не названа, или когда суть вопроса в самой фигуре, а не в её измерении. Если вы знаете, что имеете дело с шестиугольником или восьмиугольником, страница этой фигуры спросит одно число вместо двух и вдобавок напечатает длины диагоналей; приходите сюда, когда выбираете именно число сторон. Так бывает всегда, когда фигуру подбирают, а не измеряют, — сколько сторон должно быть у приподнятой грядки, крыши беседки, монеты или плитки, — потому что таблица позволяет прочитать одно и то же ребро при десяти числах сторон в одном столбце и увидеть, что даёт каждая дополнительная сторона. Закономерность стоит сформулировать прямо, и она состоит из двух половин, которые легко перепутать. При фиксированной стороне каждая добавленная сторона покупает площадь, и прибавки растут, а не уменьшаются: переход от трёх сторон к четырём добавляет 20,4 квадратного сантиметра к ребру в шесть сантиметров, от четырёх к пяти — 25,9, от пяти к шести — 31,6, а путь от двадцати сторон до тысячи добавляет 2 863 643, потому что фигура не только округляется, но и растёт, и периметр растёт вместе с ней. Зафиксируйте вместо этого периметр — и обмен развернётся. При периметре 6000 один шаг с пяти сторон на шесть покупает 120 589 квадратных сантиметров, тогда как весь путь от двадцати сторон до тысячи — 980 лишних сторон — покупает 23 591. Именно для этого сравнения нужны два последних столбца таблицы, и именно поэтому головка болта, напольная плитка и ячейка сот — шестиугольники: после шести сторон дополнительная площадь перестаёт окупать лишнее ребро, которое надо резать, и лишний угол, который надо подгонять. Столбец апофемы — для разметки фигуры на листе, ведь удвоенная апофема и есть ширина по граням, а столбец внутреннего угла — для сборки фигуры из кусков, ведь половина его и есть тот ус, который нужен каждой детали, и он одинаков для любого размера этой фигуры. Если вы сравниваете эту страницу с калькулятором окружности, честное сравнение — строка с тысячью сторон: при стороне 6 её периметр равен 6000, а площадь 2 864 779,5509 против 2 864 788,9757 у настоящей окружности того же периметра, разница 0,0003 процента.

Разобранные примеры

  1. Шестиугольник, сторона 6

    1. Периметр: 6 × 6 = 36
    2. Внутренний угол: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120 градусов ровно
    3. Апофема: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1,154700… = 5,196152…, что округляется до 5,1962
    4. Площадь: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2,598076… × 36 = 93,530743…, что округляется до 93,5307
    5. Число длин диагоналей: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

    Это тот ввод, с которым страница открывается, и та строка, которая примиряет эту страницу со страницей шестиугольника: 93,5307 и 5,1962 — это те два числа, которые показывает калькулятор шестиугольника, пока вы к нему ещё не притронулись. Двойка в последнем столбце — это ещё и две диагонали со страницы шестиугольника, одна с пропуском угла и одна напрямик, только записанные как количество, а не как длины; это то, что умеет эта страница и не умеет та. Внутренний угол 120 печатается здесь как 120,00 в панели результатов и как 120 в таблице ниже — одно и то же число при двух ширинах записи.

  2. Треугольник, сторона 6

    1. Периметр: 3 × 6 = 18
    2. Внутренний угол: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60 градусов ровно
    3. Апофема: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3,464101… = 1,732050…, что округляется до 1,7321
    4. Площадь: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0,433012… × 36 = 15,588457…, что округляется до 15,5885
    5. Число длин диагоналей: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

    Самая маленькая фигура, которую принимает страница, и единственная на ней, у которой диагоналей нет вовсе: любая хорда, соединяющая два угла треугольника, есть одна из трёх его сторон, поэтому ничего в диагонали не остаётся. Ноль здесь — ответ, а не пустая ячейка, а площадь 15,5885 совпадает с «Равносторонним треугольником» при той же стороне — это и есть проверка того, что общая формула не разошлась с формулой для отдельной фигуры. Обратите внимание на апофему: при трёх сторонах она самая маленькая из всех фигур таблицы, 1,7321 при стороне 6, потому что окружность, вписанная в треугольник, мала по сравнению с самим треугольником.

  3. Семиугольник, сторона 6

    1. Периметр: 7 × 6 = 42
    2. Внутренний угол: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128,571428…, что округляется до 128,57
    3. Апофема: 6 ÷ (2 × tan 25,714285…°) = 6 ÷ 0,963149… = 6,229585…, что округляется до 6,2296
    4. Площадь: 7 ÷ (4 × tan 25,714285…°) × 36 = 3,633912… × 36 = 130,820846…, что округляется до 130,8208
    5. Число длин диагоналей: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

    Та строка, ради которой эта страница и существует, и та, о которой предупреждает страница восьмиугольника. Любое число сторон до двенадцати даёт целый внутренний угол, кроме семи и одиннадцати, поэтому страница, печатающая углы вовсе без дробной части, напечатала бы здесь 129 — и это был бы не более грубый ответ, а неверный. Двух знаков после запятой хватает для любого числа сторон, которое страница принимает: при тысяче сторон угол равен 179,64, то есть всё ещё двум знакам до 180. Семиугольник ещё и первый, у которого различных длин диагоналей меньше, чем кажется: всего у семиугольника четырнадцать диагоналей, но они бывают только двух длин — с пропуском двух углов и с пропуском трёх, — потому что остальные представляют собой те же два отрезка, отсчитанные от других углов.

  4. Квадрат, сторона 6

    1. Периметр: 4 × 6 = 24
    2. Внутренний угол: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90 градусов ровно
    3. Апофема: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3 ровно
    4. Площадь: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
    5. Число длин диагоналей: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

    Квадрат — это тот случай, где общая формула упирается в неприятность с плавающей точкой, о которой стоит знать: тангенс 45 градусов математически равен 1, но страница вычисляет тангенс числа пи на четыре в плавающей точке и получает 0,9999999999999999, поэтому площадь приходит как 36,000000000000014. Печатается она как 36, потому что результат по дороге наружу округляется до четырёх знаков после запятой — ровно для этого это округление и нужно. Последний столбец — второе, на что здесь стоит посмотреть: у квадрата две диагонали, они пересекают фигуру одинаково, и ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 считает их за одну длину, что верно и что представляет собой ровно ту ловушку, которую эта страница обходит тем, что не печатает длины.

  5. Тысяча сторон, сторона 6

    1. Периметр: 1000 × 6 = 6000
    2. Внутренний угол: (1000 − 2) × 180 ÷ 1000 = 179 640 ÷ 1000 = 179,64 градуса ровно
    3. Апофема: 6 ÷ (2 × tan 0,18°) = 6 ÷ 0,006283… = 954,926539…, что округляется до 954,9265
    4. Площадь: 1000 ÷ (4 × tan 0,18°) × 36 = 79 577,2097… × 36 = 2 864 779,5509…, что округляется до 2 864 779,5509
    5. Число длин диагоналей: ⌊1000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

    Верхняя граница страницы и та строка, которая отвечает на вопрос, о котором остальные страницы этого семейства могут только рассуждать. У правильной фигуры в тысячу сторон с периметром 6000 площадь равна 2 864 779,5509 квадратного сантиметра; у настоящей окружности с тем же периметром она равна 2 864 788,9757, то есть на 0,0003 процента больше. Её апофема 954,9265 стоит против радиуса окружности 954,9297 — разница 0,0032 сантиметра. Так что вот здесь многоугольник уже перестал быть многоугольником в любом практическом смысле; именно поэтому страница не принимает больше тысячи сторон: за этой точкой длина стороны перестала описывать форму, и фигура превращается в окружность с лишними действиями.

Ограничения

Страница рассчитана только на правильные многоугольники: все стороны одной длины и все углы равны. У фигуры с неравными сторонами или неравными углами нет ни одной длины стороны, ни одного внутреннего угла, и никакой набор входов этой страницы её не опишет: введите число сторон и сторону — и страница молча ответит про правильную фигуру такого размера, не сообщив, что задуманная вами фигура другая. Число сторон должно быть целым и не меньше трёх, и страница сообщает об ошибке, а не округляет, если это не так; всё, что больше тысячи, тоже отклоняется, потому что за этой границей фигура является окружностью для любой цели, которой могли бы служить здешние числа. Выходные значения — в сантиметрах и квадратных сантиметрах независимо от того, что выбрано в списке единиц, поэтому сторона, введённая в дюймах, вернётся ответом в сантиметрах, который придётся переводить самому. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявление о точности, и для измеренной стороны её более чем достаточно; последние две цифры ничего не значат, если вход не был точным. Внутренний угол несёт два знака после запятой, а не ноль, поэтому целые углы печатаются здесь как 120,00, а на страницах пятиугольника и восьмиугольника — как 120: одна и та же величина в двух записях, а не расхождение между страницами. Последние два столбца — количество и угол, и ни один из них не двигается при изменении длины стороны, так что страница, которая как будто не реагирует на смену стороны, не зависла: три из пяти величин изменились. Диагональная величина здесь одна, и это количество, а не длина: сами длины — на трёх страницах отдельных фигур, и причина в том, что их число зависит от числа сторон, а фиксированный список выходов этого вместить не может. Страница двумерная, и поля для толщины материала у неё нет, поэтому она не даст объём призмы или вес пластины, вырезанной из такой фигуры, а число диагоналей — это количество разных длин, а не количество диагоналей: у семиугольника четырнадцать диагоналей, и страница говорит «два», и оба утверждения верны для разных величин.

Частые вопросы

Как найти площадь правильного многоугольника по стороне?
Умножьте квадрат стороны на число сторон и разделите на произведение четырёх и тангенса пи, делённого на число сторон. Множитель, на который умножается квадрат стороны, зависит только от числа сторон — 0,4330 для треугольника, 1 для квадрата, 1,7205 для пятиугольника, 2,5981 для шестиугольника — и растёт без ограничений с ростом числа сторон: 3,6339 при семи сторонах, 31,5688 при двадцати, 79 577,2097 при тысяче. К окружности приближается площадь, а не этот множитель, и только при фиксированном периметре; величина, которая подбирается к пи, 3,1416, — это площадь, делённая на квадрат расстояния от центра до вершины. Поскольку это множитель, а не слагаемое, удвоение стороны учетверяет площадь для любой фигуры на этой странице.
Почему внутренний угол не меняется при изменении длины стороны?
Потому что внутренний угол правильного многоугольника задаётся числом сторон и ничем больше: это число сторон минус два, умноженное на 180 градусов и делённое на число сторон. Ни одна длина стороны в это выражение не входит. У треугольника он всегда 60 градусов, у пятиугольника всегда 108, у шестиугольника всегда 120, у восьмиугольника всегда 135, какого бы размера они ни были. Именно поэтому четвёртый столбец таблицы предсказуем, а не измеряется, и поэтому ус, который вы отрезаете для шестиугольной рамки, равен 30 градусам независимо от того, подставка это или стол.
Сколько диагоналей у многоугольника?
Внутри этого вопроса живут два разных, и эта страница отвечает на второй. Число диагоналей — это число сторон, умноженное на число сторон минус три и делённое на два: у пятиугольника их пять, у шестиугольника девять, у восьмиугольника двадцать. Число разных длин диагоналей — это половина числа сторон, округлённая вниз, минус один: у пятиугольника одна, у шестиугольника две, у восьмиугольника три, у семиугольника две. Эта страница печатает второе, потому что именно вокруг этой величины построены страницы отдельных фигур рядом с ней и потому что количество длин — единственная диагональная величина, которая остаётся верной при любом числе сторон.
Что такое апофема и для чего она нужна?
Это расстояние от центра прямо до середины стороны, и оно же радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри фигуры. Это величина, которой многоугольник размечают, потому что удвоенная апофема — это ширина по граням, а измерить линейкой можно именно грани, а не углы. Если вы размечаете фигуру на листе, отложите апофему от центра столько раз, сколько у фигуры сторон, и вы получите середину каждой стороны. При трёх сторонах она мала по сравнению с фигурой, а с ростом числа сторон приближается к радиусу описанной окружности.
Когда пользоваться этой страницей вместо страницы пятиугольника или восьмиугольника?
Когда вы решаете, сколько будет сторон, а не когда уже знаете это. Страницы отдельных фигур спрашивают одно число и вдобавок дают длины диагоналей, потому что знают, с какой фигурой имеют дело; эта страница спрашивает два числа и взамен берётся за любое число сторон от трёх до тысячи и позволяет прочитать одну и ту же сторону при десяти из них в одном столбце. Если у вас есть готовый шестиугольник, который надо измерить, на странице шестиугольника шагов меньше. Если вы выбираете между шестиугольником и восьмиугольником для столешницы, эта страница и есть то сравнение.
Что столбец периметра говорит такого, чего не говорит столбец площади?
Он говорит, во сколько обойдётся построить фигуру, тогда как площадь говорит, что она накрывает. Периметр — это сторона, умноженная на число сторон, поэтому при фиксированной стороне он растёт по прямой, а площадь поднимается вместе с ним: переход от треугольника к квадрату добавляет 6 к периметру и 20,4 к площади ребра в шесть сантиметров, а переход от двадцати сторон к тысяче добавляет 5880 к периметру и 2 863 643 к площади — это куда больше ребра для фигуры, которая на глаз ничем не отличается. Зафиксируйте вместо этого периметр, и обмен пойдёт в другую сторону: при периметре 6000 одна лишняя сторона на шаге с пяти на шесть покупает 120 589 квадратных сантиметров, тогда как последние 980 сторон вместе покупают 23 591. Вот почему головка болта и напольная плитка — шестиугольники, а не фигуры с большим числом сторон: после шести лишнее ребро стоит дороже, чем стоит лишняя площадь.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор шестиугольникаПлощадь, периметр и диагонали правильного шестиугольника.Калькулятор восьмиугольникаПлощадь, периметр, апофема и три диагонали восьмиугольника.Калькулятор пятиугольникаПлощадь, периметр, апофема и диагональ в золотом сечении.Калькулятор кругаРадиус, диаметр, длина окружности и площадь — из любого одного.