Калькулятор теоремы Пифагора
Результат
Неизвестная сторона
- Площадь
- 6,00 cm²
- Периметр
- 12,00 cm
Калькулятор теоремы Пифагора решает прямоугольный треугольник по любым двум его сторонам. Заполните два поля из трёх — и третье вернётся, вместе с площадью и периметром треугольника. Соотношение за этим короткое: в прямоугольном треугольнике квадраты двух меньших сторон складываются в квадрат самой длинной, которая лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой. В виде формулы: два катета в квадрате, сложенные вместе, дают квадрат гипотенузы. В этой одной строке содержатся три решателя. Дайте два катета — и вы складываете и извлекаете корень, получая гипотенузу. Дайте гипотенузу и один катет — и вы вычитаете и извлекаете корень, получая второй катет. Два направления отличаются одним знаком, и различение их — это большая часть того, что страница делает за вас. Заполнить нужно ровно два поля из трёх, и это настоящее правило, а не формальность: три стороны не независимы, поэтому заполнение всех трёх либо повторяет то, что теорема уже говорит, либо противоречит ей, а заполнение одного оставляет фигуру недоопределённой. Площадь и периметр идут прицепом потому, что они почти бесплатны, как только треугольник собран, и потому, что ради них измерение часто и затевалось. Теорема гораздо старше своего обычного имени. Ссылка ниже отмечает, что соотношение применялось в вавилонских расчётах более чем за тысячелетие до Пифагора — на табличке, арифметика которой на нём держится, — и что оно встречается и в ранних индийских текстах о построении алтарей, и в китайских математических сочинениях. Китайский текст «Чжоу би суань цзин» сохраняет доказательство разрезанием, в котором куски, разложенные вокруг центрального квадрата, устанавливают соотношение между квадратами на трёх сторонах. То, что сегодня называют теоремой Пифагора, — утверждение, к которому пришли несколько цивилизаций, а не открытие одного человека, и первое записанное доказательство принадлежит Евклиду, а не Пифагору. О трёх свойствах ответов стоит знать заранее. Недостающая сторона почти всегда иррациональна. Прямоугольные треугольники с целыми сторонами существуют — три и четыре, дающие пять, наименьший из них, — и они исключение, так что два знака после запятой на экране отмечают, где цифры остановились, а не где закончилось число. Всё сообщается в сантиметрах и квадратных сантиметрах, что бы ни было выбрано в списках единиц, и на этой странице пересчёт происходит до решения, а не после, и это важно, потому что возведение в квадрат не линейно: треугольник 3-4-5, введённый в дюймах, в сантиметрах уже не 3-4-5. И страница решает сторону и на этом останавливается. Она не говорит, пифагорова ли тройка у имеющихся сторон, равнобедренный ли это треугольник или из какого-то иного особого семейства, и острый или тупой угол лежит против стороны.
Прямоугольные треугольники, решённые от каждой пары исходных сторон
| Дано | Катет a (cm) | Катет b (cm) | Гипотенуза (cm) | Площадь (cm²) | Периметр (cm) |
|---|---|---|---|---|---|
| a, b | 3 | 4 | 5 | 6 | 12 |
| a, b | 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| a, b | 8 | 15 | 17 | 60 | 40 |
| a, c | 6 | 8 | 10 | 24 | 24 |
| b, c | 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| a, b | 1 | 1 | 1.41 | 0.5 | 3.41 |
| a, b | 0.5 | 1.2 | 1.3 | 0.3 | 3 |
| a, c | 9 | 12 | 15 | 54 | 36 |
Восемь треугольников, и первый столбец называет те две стороны, от которых начинается каждая строка, — a, b для двух катетов, a, c или b, c для катета с гипотенузой. Этот столбец нужен потому, что после решения печатаются все три стороны, и без него нельзя было бы понять, какая из них была ответом. Первая строка — ввод, с которым страница загружается, наименьший прямоугольный треугольник с целыми сторонами, а вторая — следующий за ним. Вторая и пятая строки — один и тот же треугольник, достигнутый двумя разными способами: пять-двенадцать-тринадцать, решённый сначала по двум катетам, а затем по катету и гипотенузе, причём они совпадают по каждому столбцу, и это страница, проверяющая себя на обеих ветвях арифметики. Четвёртая строка — тоже ветвь вычитания: шесть и десять дают восемь, и это удвоенный треугольник три-четыре-пять. Первая и восьмая строки — тот же треугольник в разных масштабах: девять, двенадцать и пятнадцать — это три-четыре-пять с каждой стороной, умноженной на три, поэтому площадь его в девять раз больше, а периметр в три. Вторая и седьмая строки показывают то же масштабирование в обратную сторону: половина, одна целая две десятых и одна целая три десятых — это пять-двенадцать-тринадцать, поделённое на десять, отчего тамошние дроби и точны, а не округлены. Третья строка — ещё одна тройка с целыми сторонами, восемь-пятнадцать-семнадцать, а шестая — равнобедренный случай, где гипотенуза равна корню из двух и два показанных знака являются приближением. Каждое число здесь пересчитывается из двух исходных сторон при сборке страницы, и все они в сантиметрах. И замечание о чтении: десятичные знаки в ячейках печатает программа — она ставит точку и не разделяет разряды, поэтому в таблице стоят 1.41, 3.41 и 0.5; в тексте этой же страницы те же числа записаны с запятой — 1,41, 3,41 и 0,5. Это одно и то же число в двух записях, а не два разных числа.
Формула
a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Площадь = ab ÷ 2 Периметр = a + b + c
- a
- Один из двух катетов, то есть сторон, сходящихся под прямым углом. Любой из катетов можно назвать a, так что два поля для катетов взаимозаменяемы — обмен чисел между ними ничего в ответе не меняет
- b
- Второй катет. Какой из двух катетов вы вписали, а какой оставили пустым, для треугольника безразлично; поле с именем b — просто то, которое не досталось a
- c
- Гипотенуза — сторона напротив прямого угла и самая длинная из трёх. Это единственное поле, где ошибиться легко, потому что выглядит оно как любое другое поле для стороны: если страница говорит, что гипотенуза должна быть длиннее данного ей катета, значит два числа поменялись местами
- Недостающая сторона
- Та единственная сторона, которую вы оставили пустой, найденная по двум другим и показанная первой, потому что это и есть заданный вами вопрос. Заметьте, что она может оказаться как катетом, так и гипотенузой — смотря какое поле вы оставили пустым
- Площадь
- Половина произведения двух катетов, в квадратных сантиметрах. В ней участвуют только катеты: гипотенуза в площадь прямоугольного треугольника не входит никогда, и это полезно помнить при проверке
- Периметр
- Три стороны, сложенные вместе, в сантиметрах. Он считается по неокруглённым длинам, поэтому сложение двух напечатанных введённых чисел с напечатанной недостающей стороной может отличаться от него в последнем знаке
- Два знака после запятой
- Ширина, до которой записываются три вывода. Сторона, вышедшая из квадратного корня, иррациональна, если треугольник не оказался случайно тройкой с целыми сторонами, так что для большинства вводов эти два знака — обрез, а не окончание
Это нужная страница всякий раз, когда в деле есть прямой угол и не хватает одной длины. Лестница у стены, где две измеряемые стороны — стена и земля, а лестница — гипотенуза. Прямоугольный участок, где для изгороди нужна диагональ, а две стороны уже известны. Крыша, где известны подъём и пробег, а длина стропила нет. Экран, у которого указана диагональ, а стороны нет. Всё, что удаётся свести к прямоугольнику и его диагонали, — работа для этой страницы. Она же нужна при проверке расстояния, посчитанного по координатной сетке: горизонтальный и вертикальный шаги между двумя точками — это катеты, а расстояние по прямой между ними — гипотенуза; поэтому страница расстояния из этого же подраздела и эта несут одну и ту же арифметику в двух разных костюмах. Две привычки упрощают доверие к ответу. Гипотенуза всегда самая длинная сторона, поэтому недостающая сторона, вышедшая длиннее введённой вами гипотенузы, — признак того, что два поля заполнены наоборот. И недостающая сторона всегда короче суммы двух других, потому что прямая между двумя точками короче любого пути в обход через третью; результат, нарушающий любую из этих границ, неверен независимо от того, как выглядит арифметика. Когда есть все три стороны, площадь стоит бросить взгляд как проверку здравого смысла: треугольник с катетами три и четыре занимает шесть квадратных единиц, а тот, что занимает шестьдесят, стоит с запятой не на месте.
Разобранные примеры
Катеты три и четыре
- Недостающая сторона — гипотенуза, поэтому складываем: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- Извлекаем корень: √25 = 5
- Площадь: (3 × 4) ÷ 2 = 6
- Периметр: 3 + 4 + 5 = 12
Ввод, с которым страница загружается, и наименьший прямоугольный треугольник, все три стороны которого целые. Каждая цифра здесь точна, что делает этот случай калибровочным: три, четыре, пять, площадь шесть и периметр двенадцать, и округлять нечего нигде. Если читатель запомнит один прямоугольный треугольник, пусть это будет этот: он быстрее всего проверяет любой другой ответ в тех же единицах — девять плюс шестнадцать будет двадцать пять, и результат, который к этому не сводится, где-то пошёл не туда.
Катеты пять и двенадцать
- Гипотенуза: 25 + 144 = 169
- Квадратный корень: √169 = 13
- Площадь: (5 × 12) ÷ 2 = 30
- Периметр: 5 + 12 + 13 = 30
Следующая тройка с целыми сторонами и совпадение, которое стоит заметить, а не принять за ошибку: площадь и периметр оба равны тридцати. Это свойство именно этого треугольника, а не правило, и несложно убедиться, что правилом оно не является: у треугольника три-четыре-пять выше площадь равна шести, а периметр двенадцати, и они не равны. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов, а периметр — их сумма, и совпадают они лишь тогда, когда катеты случайно удовлетворяют одному определённому уравнению.
Катет и гипотенуза, причём катет недостающий
- Недостающая сторона — катет, поэтому вычитаем: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
- Извлекаем корень: √64 = 8
- Площадь: (6 × 8) ÷ 2 = 24
- Периметр: 6 + 8 + 10 = 24
Направление, в котором работает вычитание, и то, на котором люди спотыкаются, потому что две операции отличаются не более чем знаком. Это удвоенный треугольник три-четыре-пять, поэтому площадь и периметр снова попали на одно и то же число: удвоение каждой стороны учетверяет площадь и удваивает периметр, и здесь эти две величины пересекаются. Если читать ответ со страницы, недостающая сторона 8 короче гипотенузы 10 и длиннее катета 6 — ровно там, где ей и следует быть.
Второй катет, из другой пары
- Недостающая сторона — катет, поэтому вычитаем: 169 − 144 = 25
- Квадратный корень: √25 = 5
- Площадь: (5 × 12) ÷ 2 = 30
- Периметр: 5 + 12 + 13 = 30
Тот же треугольник, что во втором примере, но достигнутый через другую пару полей, и это собственная проверка страницы на себе. Треугольник пять-двенадцать-тринадцать решается либо по двум катетам, что и делает второй пример, либо по катету и гипотенузе, что делает этот, и оба пути обязаны дать одни и те же три стороны. Заметьте, что пустым здесь оставлено другое поле: ответ снова катет, но это катет a, а не b, и числа в двух входных полях поменялись местами по сравнению с примером выше.
Оба катета одинаковы
- Гипотенуза: 1 + 1 = 2
- Квадратный корень: √2 = 1,4142135…, что округляется до 1,41
- Площадь: (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
- Периметр: 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, что округляется до 3,41
Наименьший равнобедренный прямоугольный треугольник и стандартная демонстрация того, что ответ обычно не целое число. Гипотенуза квадрата со стороной один — это квадратный корень из двух, число, которое никогда не заканчивается и никогда не повторяется, и ни у одного треугольника с целыми сторонами отношение сторон не равно один к одному к корню из двух; именно поэтому ответы теоремы и приходится округлять. Интереснее здесь периметр: это единственный вывод, зависящий от неокруглённой гипотенузы, и на этом вводе сложение двух напечатанных чисел с напечатанным 1,41 даёт то же значение, хотя на любом другом вводе — не обязательно.
Катеты половина и одна целая две десятых
- Гипотенуза: 0,25 + 1,44 = 1,69
- Квадратный корень: √1,69 = 1,3
- Площадь: (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
- Периметр: 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3
Пифагорова тройка в маскировке: половина, одна целая две десятых и одна целая три десятых — это треугольник пять-двенадцать-тринадцать, у которого каждая сторона поделена на десять, так что ответ точен, а не округлён, несмотря на десятичные дроби. Тройки масштабируются, а значит, их бесконечно много и, кроме того, прямоугольный треугольник с неудобными на вид дробными сторонами вполне может выйти чистым. Отсюда же следует, что десятичный ответ и округлённый ответ — не одно и то же: эта 1,3 точна, а 1,41 из примера выше — нет, и страница никак не может сказать вам, на что именно вы смотрите.
Ограничения
Страница решает сторону и выдаёт площадь с периметром. Она не говорит, образуют ли стороны тройку с целыми сторонами, равнобедренный ли треугольник и вообще что-либо о том, что это за треугольник, и это решение, а не упущение. Вопрос о том, является ли набор сторон пифагоровой тройкой, нельзя надёжно решить изнутри этой страницы, потому что числа, которые получает решатель, уже переведены в сантиметры: стороны три и четыре дюйма приходят как 7,62 и 10,16, и сведения о том, была ли исходная тройка три-четыре-пять целочисленной, пересчёт уже выбросил. Суждение, менявшее ответ в зависимости от выбранной пользователем единицы, было бы хуже отсутствия суждения, поэтому страница молчит, а подходящее место для этого — отдельный инструмент. Всё сообщается в сантиметрах и квадратных сантиметрах, что бы ни было выбрано в списках, и пересчёт происходит до решения треугольника, а не после. Возведение в квадрат не линейно, поэтому это не то же самое, что решить в исходной единице и перевести ответ, и тройка с целыми сторонами, набранная в дюймах, не даст целых сантиметров. Недостающая сторона выходит из квадратного корня и иррациональна почти на любом вводе, так что два знака после запятой — это обрез, а не полный ответ, хотя сами вводимые числа могут быть точными. Периметр и площадь считаются по неокруглённым длинам, поэтому восстановление их по напечатанным на экране числам может отличаться в последнем знаке. Заполнить нужно ровно два поля из трёх: одно отвергается, потому что фигура не определена, а все три отвергаются, потому что стороны стесняют друг друга и набор, который не сходится, не описывает никакого треугольника. Сторона, равная нулю, не принимается — в отличие от радиуса на соседней странице окружности: треугольника с нулевой стороной не существует, и его площадь с периметром обе были бы бессмысленны. Гипотенуза должна быть строго длиннее того катета, который дан вместе с ней, а когда это не так, страница просит поменять два числа местами, а не сообщает код ошибки; это сообщение означает, что два поля заполнены наоборот, — самая частая ошибка, к которой этот набор полей и располагает. И, наконец, это плоский треугольник с прямым углом в нём, поэтому косоугольные треугольники и треугольники, нарисованные на сфере, выходят за пределы того, что теорема утверждает.
Частые вопросы
- Какие два поля заполнять?
- Любые два из трёх. Два катета или катет с гипотенузой — годится и то и другое, а страница определяет случай по тому, какое поле вы оставили пустым. Чего она не примет, так это одного поля самого по себе или всех трёх сразу. Одна сторона не определяет прямоугольный треугольник, так что решать было бы нечего, а все три переопределяют его, поскольку любые две стороны уже задают третью, и набор, который не сходится, не имеет за собой никакого треугольника.
- Как понять, складывать или вычитать?
- Это зависит от того, какое поле вы оставили пустым. Если недостающая — гипотенуза, сложите квадраты двух катетов и извлеките корень. Если недостающая — катет, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеките корень из остатка. Страница решает за вас по форме ввода, и это главная причина пользоваться ею, а не калькулятором: два случая отличаются одним знаком, а их путаница — стандартный способ получить неверный ответ, который выглядит совершенно правдоподобно.
- Страница пишет, что гипотенуза должна быть длиннее катета. Что я сделал не так?
- Два числа стоят не в тех полях. Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, и она всегда самая длинная из трёх, поэтому она не может быть короче катета или равна ему. Обмен двух значений это исправит. Это самая частая ошибка на этой странице, потому что оба поля выглядят одинаково: ничто в обычном текстовом поле не говорит, какое из них предназначено для длинной стороны, а треугольника со сторонами 5, 5 и 3 не существует.
- Почему у недостающей стороны есть дробная часть, если я ввёл целые числа?
- Потому что квадратный корень из целого числа обычно не целое число. Прямоугольные треугольники с целыми сторонами — три-четыре-пять, пять-двенадцать-тринадцать, восемь-пятнадцать-семнадцать — существуют и их бесконечно много, но они составляют малую долю всех прямоугольных треугольников. Для всего остального недостающая сторона иррациональна, и два показанных знака после запятой — это место, где её обрезали. Ответ 7,62 — приближение; ответ 8 — точен.
- Страница скажет мне, что мой треугольник — это 3-4-5?
- Нет, и она намеренно этого не пытается. К тому моменту, когда запускается арифметика, длины уже переведены в сантиметры, поэтому треугольник, введённый как три и четыре дюйма, доходит до решателя как 7,62 и 10,16 — сведения о том, были ли исходные стороны целыми, исчезают раньше, чем вопрос успевает возникнуть. Проверка, дававшая разные ответы в зависимости от выбранной единицы, была бы хуже отсутствия проверки, поэтому страница решает сторону и оставляет классификацию отдельному инструменту.
- Площадь и периметр — это одно и то же?
- Только по совпадению, и в собственной таблице страницы такое совпадение есть: у треугольника пять-двенадцать-тринадцать площадь равна тридцати квадратным сантиметрам, а периметр — тридцати сантиметрам. Это величины разного рода, и равенство здесь только в цифрах. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов, периметр — сумма всех трёх сторон, и совпадают они у этого треугольника и ещё у нескольких. У треугольника три-четыре-пять двумя строками выше площадь равна шести при периметре двенадцать.
- Может ли одна из сторон быть нулевой?
- Нет. Треугольника с нулевой стороной не существует: три точки оказались бы на одной прямой или совпали, и площадь с периметром потеряли бы смысл. Это настоящее отличие от страницы окружности из того же подраздела, где радиус ноль — законный ввод, описывающий окружность, стянутую в точку. Нулевая сторона отвергается здесь прямо в поле, и отрицательная длина отвергается так же.
Источники
- Pythagorean theorem — the relation between the legs and the hypotenuse of a right triangle, with the history the introduction draws on: use in Babylonian calculations more than a millennium before Pythagoras, early Indian and Chinese sources, and the Zhoubi Suanjing dissection argument in which pieces around a central square establish the relation between the three side squares (Dauben 2007, Maor 2007) — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean triple — the whole-number side sets such as 3, 4, 5 that the page produces but deliberately does not identify, and the reason they are the exception rather than the rule — Wolfram MathWorld (United States)
- Right triangle — the shape the page solves, with the hypotenuse defined as the side opposite the right angle and therefore the longest of the three — Wolfram MathWorld (United States)