Калькулятор расстояния

Расстояние = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) Горизонтальный катет = x₂ − x₁ Вертикальный катет = y₂ − y₁

Первая точка

Пара x и y — точка, от которой измеряют. Её координаты — обычные числа, поэтому они могут быть отрицательными, дробными или нулевыми, и единицу измерения выбирать не нужно

Вторая точка

Точка, до которой измеряют, по тем же правилам. Она может лежать в любом направлении от первой, в том числе прямо над ней, под ней, слева или справа

Горизонтальный катет

Первая координата x, вычтенная из второй, то есть шаг вбок от одной точки к другой. Отрицательное значение означает, что вторая точка лежит левее первой, и это то же число, которое расчёт углового коэффициента взял бы как горизонтальную проекцию

Вертикальный катет

Первая координата y, вычтенная из второй, — шаг вверх между точками. Отрицательное значение означает, что вторая точка ниже. Вместе с горизонтальным катетом он образует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого и есть расстояние

Расстояние

Квадратный корень из суммы квадратов двух катетов. Оно никогда не отрицательно, равно нулю только для совпадающих точек, а поскольку это обычно квадратный корень, его округляют до четырёх знаков после запятой

Пользуйтесь им всякий раз, когда есть две точки и нужен промежуток между ними, а направление неважно. Насколько далеко друг от друга две отметки на карте, какой длины будет забор между двумя столбами, сколько кабеля уйдёт на диагональ через комнату, как далеко доставка от склада, если маршрут прямой, а не дорожный. Это и та проверка, к которой стоит прибегнуть, когда более длинный расчёт пошёл не так: любые два результата, которые можно разместить на плоскости, измеримы друг относительно друга, и расстояние, отличающееся на порядок, — признак ошибки в знаке где-то раньше. У двух катетов своё назначение. Если нужно знать, какая часть промежутка приходится на бок и какая на подъём, они отвечают прямо на это, причём со знаками, то есть сообщают и направление, и величину. Именно это требуется перед тем, как считать угловой коэффициент, угол или азимут: страница не даст ни того, ни другого, ни третьего, но выдаст два числа, из которых все они строятся. Полезная привычка: возвести катеты в квадрат в уме ещё до того, как читать ответ. Девять плюс шестнадцать — двадцать пять, значит расстояние 5 верно, а расстояние 50 означало бы потерянный десятичный разделитель, а не удивительный результат.

1. Три вбок и четыре вверх

   1. Горизонтальный катет: 3 − 0 = 3
   2. Вертикальный катет: 4 − 0 = 4
   3. Возводим оба в квадрат: 9 и 16
   4. Складываем и извлекаем корень: √25 = 5

   Пара, с которой страница открывается, и самый маленький прямоугольный треугольник, все три стороны которого — целые числа. Стоит заметить две вещи. Катеты совпадают с введёнными числами — так бывает только тогда, когда одна из точек является началом координат, а расстояние получается точным, а не округлённым корнем, что на этой странице редкость. Используйте этот ввод как калибровку: если здесь страница возвращает 5, арифметика в порядке, и любой странный на вид ответ в другом месте — свойство ввода, а не неисправность.

2. Диагональ, где расстояние — округлённый квадратный корень

   1. Горизонтальный катет: 5 − 1 = 4
   2. Вертикальный катет: 8 − 2 = 6
   3. Возводим оба в квадрат: 16 и 36
   4. Складываем: 52, затем извлекаем корень — получается 7,21110255…, что округляется до 7,2111

   Обычный случай, а не аккуратный. Пятьдесят два — не полный квадрат, поэтому ответ иррационален, и четыре напечатанных знака — это его начало, а не он целиком. Полезная проверка, которая ничего не стоит: расстояние обязано быть больше любого из катетов, поэтому 7,2111 при катетах 4 и 6 правдоподобно, а расстояние короче большего катета означало бы, что корень извлекли не из той величины.

3. Те же две точки, измеренные в обратную сторону

   1. Горизонтальный катет: 0 − 3 = −3
   2. Вертикальный катет: 0 − 4 = −4
   3. Возводим оба в квадрат: 9 и 16, поскольку возведение в квадрат убирает знаки
   4. Складываем и извлекаем корень: √25 = 5

   Отрезок три-четыре-пять с переставленными концами и самое наглядное доказательство сразу двух свойств. Оба катета выходят отрицательными, потому что обе разности теперь измерены в другую сторону, а расстояние не меняется и остаётся равным 5: возведение в квадрат отбрасывает знаки прежде, чем они успевают навредить. В этом и причина, по которой расстояние всегда положительно — это длина, а направление измерения в арифметику не входит.

4. Расстояние, измеренное миллионами

   1. Горизонтальный катет: 6000000 − 0 = 6000000
   2. Вертикальный катет: 8000000 − 0 = 8000000
   3. Возводим оба в квадрат и складываем: 3,6 × 10¹³ плюс 6,4 × 10¹³ равно 10¹⁴
   4. Извлекаем корень: 10000000

   Тот же треугольник три-четыре-пять, увеличенный в два миллиона раз, — так получается, когда те же координаты применяют к проекции картографической сетки в метрах, а не к графику на бумаге. На странице ничего не меняется от величины чисел: катеты настолько же точны, насколько точны входные данные, а расстояние выходит целым. Эта строка здесь именно для того, чтобы это стало очевидным: читатель, ожидающий, что большие координаты внесут округление, иначе заподозрит точный ответ в подлоге.

5. Две точки, которые суть одна точка

   1. Горизонтальный катет: 2,5 − 2,5 = 0
   2. Вертикальный катет: ((−1,5) − (−1,5)) = 0
   3. Возводим оба в квадрат: 0 и 0
   4. Складываем и извлекаем корень: √0 = 0

   Нулевое расстояние — правильный ответ для точки и её самой, и это единственный ввод, который может его дать: сумма двух квадратов равна нулю, только когда оба квадрата нулевые. Страница не сочтёт это пустым результатом. Увидеть это стоит один раз, чтобы нуль в первом столбце не читался как незаполненное поле.

Страница измеряет на плоскости и только на плоскости. Поля для третьей координаты нет, поэтому расстояние между точками в пространстве ей недостижимо: понадобилась бы ещё разность по третьей оси, а положить её здесь некуда. Вариант со страницей, у которой есть необязательные z-поля, рассматривался и был отвергнут: у пары, где у одной точки z есть, а у другой нет, нет разумного ответа, а двум соседним страницам этого семейства пришлось бы обзавестись такими же полями ради единообразия. Координаты безразмерны, поэтому ответ получается в том, в чём измеряли, и смешанную пару страница заметить не может: если одна точка в метрах, а другая в миллиметрах, арифметика отработает без возражений и вернёт число, которое неверно, и ничто на странице об этом не скажет. Два катета — знаковые разности, а не длины, поэтому катет, напечатанный отрицательным, правилен, и исправлять его не нужно. Само расстояние округлено до четырёх знаков после запятой и обычно иррационально, так что напечатанное значение — это место, где заканчиваются знаки, а не весь ответ. Координаты ограничены плюс-минус одним миллиардом: это далеко за пределами любого графика, но вполне внутри диапазона некоторых проекций, измеряемых в метрах, и такие значения страница отклонит, а не вычислит. И, наконец, это расстояние по прямой, а не маршрут: если приходится следовать дорогам, стенам или береговой линии, число здесь — кратчайший возможный путь, и он всегда будет короче того, который можно проехать. Отдельно об арифметике ввода: десятичный разделитель в этих полях — запятая, но запись вроде 1,500, где после запятой стоит ровно три цифры, будет молча прочитана как 1,5, поэтому тысячу пятьсот пишите просто как 1500, без запятой.

Что такое формула расстояния?

Это теорема Пифагора, записанная через координаты. Возьмите разность двух значений x и разность двух значений y, возведите каждую в квадрат, сложите и извлеките корень. Эти две разности — катеты прямоугольного треугольника, а расстояние — его гипотенуза, поэтому формула не отдельное правило для заучивания, а всё та же теорема о треугольнике, применённая к шагам между точками. Для (0; 0) и (3; 4) это √(9 + 16), то есть 5.

Почему два дополнительных столбца иногда отрицательны?

Потому что это направленные шаги, а не промежутки, и у шага есть направление. Горизонтальный катет — это первое значение x, вычтенное из второго, поэтому он отрицателен ровно тогда, когда вторая точка лежит левее первой; вертикальный катет отрицателен, когда вторая точка ниже. Страница сохраняет знак намеренно. Только он говорит, в какую сторону лежит вторая точка, он же нужен следующему расчёту уклона или азимута, а само расстояние знаки игнорирует полностью, потому что возведение в квадрат их убирает.

Работает ли это для точек в трёхмерном пространстве?

Нет, и страница не делает вид, что работает: поля для третьей координаты нет. Трёхмерному расстоянию нужна ещё разность по третьей оси, прибавленная к сумме квадратов до извлечения корня, а имея только две координаты, страница была бы вынуждена предположить третью. Если точки заданы в пространстве, можно посчитать двумерное расстояние этой страницей и затем сложить его с разностью высот самостоятельно, но этот шаг страница за вас не сделает.

Координаты в метрах, сантиметрах или в чём-то ещё?

В том, что вы сами назовёте. Страница считает их обычными числами, не приписывает ответу единицу измерения и не предлагает выбрать её из списка — и это сделано намеренно: пара координат с графика или с картографической сетки не имеет единицы, пока не решено, в чём эта сетка начерчена. Если числа в метрах, расстояние в метрах; если в градусах долготы, расстояние в градусах, и последнее нельзя перевести в километры, не зная, в какой точке земного шара это происходит.

Может ли расстояние быть отрицательным или нулевым?

Отрицательным оно быть не может: возведение катетов в квадрат убирает любые знаки до сложения, а квадратный корень из неотрицательного числа неотрицателен. Нулём оно бывает только тогда, когда оба катета нулевые, то есть когда две точки совпадают, — и это настоящий ответ, а не неудачный расчёт. Любая другая пара различных точек даёт положительное расстояние, как бы близко они ни лежали.

Как проверить ответ без калькулятора?

Возведите два катета в квадрат и сложите, а затем спросите, квадрат какого числа даёт эту сумму. Четыре и шесть дают 16 плюс 36, то есть 52, а 7,2111 в квадрате близко к 52 — значит ответ в правильной области, хотя 52 и не полный квадрат. Два свойства делают проверку быстрой: расстояние всегда длиннее любого из катетов, потому что гипотенуза прямоугольного треугольника — его самая длинная сторона, и всегда короче суммы двух катетов. Всё, что выходит за эти границы, неверно.

• Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)