Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор конца отрезка

Диапазон: -1 000 000 000 – 1 000 000 000

Диапазон: -1 000 000 000 – 1 000 000 000

Диапазон: -1 000 000 000 – 1 000 000 000

Диапазон: -1 000 000 000 – 1 000 000 000

Результат

5,0000

Другой конец x

Другой конец y
8,0000
Расстояние от середины до конца
3,6056

Калькулятор конца отрезка решает задачу середины в обратную сторону. Обратная задача ставится так. Известны середина отрезка и один его конец, а нужен второй конец. Правило — вычитание: координату середины удваивают и отнимают от неё известный конец, отдельно для каждой оси. Если середина — (3; 5), а один конец — (1; 2), то другой конец — (5; 8): дважды три минус один будет пять, дважды пять минус два будет восемь. Ответ — это и есть недостающий конец, а два числа рядом с ним служат подтверждением, что обращение выполнено верно. Это подтверждение и есть третье число на странице, и именно его стоит понять. Середина по определению равноудалена от обоих концов, поэтому расстояние от известного конца до середины обязано совпасть с расстоянием от середины до только что восстановленного конца. Страница печатает первое из этих двух расстояний. Если оно совпадает с той половиной отрезка, которую вы уже знали вручную, ответ верен; если восстановленный конец оказался не с той стороны от середины, напечатанная половина всё равно будет выглядеть совершенно правдоподобно, и поймать это можно только одним способом — проверить, что точка лежит по другую сторону от середины, чем введённый вами конец. Найденный конец — это симметричная точка: она получается отражением известного конца относительно середины. О двух свойствах ввода стоит знать заранее. Координаты — это просто числа без единицы измерения, поэтому ничто на странице не измеряется в сантиметрах или метрах: если числа взяты с карты в метрах, ответ будет в метрах, а если с графика — в том, чем была сетка. И ещё: четыре поля принимают значения в пределах плюс-минус одного миллиарда, но на восстановленный конец это ограничение не распространяется — дважды середина минус известный конец может дать до трёх миллиардов, и страница напечатает это число, а не пожалуется. Это не переполнение, а обычное вычитание, которое даёт число больше любого из тех, из которых оно построено.

Недостающие концы отрезков, которые встречаются часто

Середина xСередина yИзвестный xИзвестный yДругой xДругой yРасстояние до середины
3512583.6056
0034-3-45
-214-3-857.2111
2222220
0000000
1000000000200000001000000
555-551510
-1.52.53.5-0.5-6.55.55.831

Восемь отрезков, и три последних столбца — это ответ страницы вместе с её собственной проверкой. Первая строка — тот ввод, с которым страница открывается, и это тот же отрезок, с которым открывается страница середины, только прочитанный наоборот: та страница берёт (1; 2) и (5; 8) и возвращает (3; 5), а эта берёт (3; 5) и (1; 2) и возвращает (5; 8). Это самая дешёвая проверка того, что обе формулы собраны правильной стороной, и работает она на любой паре, а не только на этой. Во второй строке середина лежит в начале координат, отчего правило сводится к смене знака, а в третьей известный конец стоит в одной четверти, а ответ — в диагонально противоположной, и именно вычитание отрицательной координаты уводит ответ за середину, а не к ней. Четвёртая строка — отрезок нулевой длины, единственный случай, когда ответ не противоположен известному концу. В пятой строке все координаты нулевые, и это настоящий ответ, а не пустой. Шестая показывает ответ за пределами диапазона ввода: середина в миллионе от начала координат при известном конце в самом начале даёт ответ в двух миллионах. Последние две строки — вертикальный отрезок и дробный, где расстояние 5,831 является квадратным корнем и потому округлено. И замечание о чтении: десятичные знаки в ячейках печатает программа — она ставит точку и не разделяет разряды, поэтому в таблице стоят 3.6056, 7.2111 и 5.831; в тексте этой же страницы те же числа записаны с запятой — 3,6056, 7,2111 и 5,831. Это одно и то же число в двух записях, а не два разных числа.

Формула

Другой конец x = 2 × (середина x) − (известный конец x) Другой конец y = 2 × (середина y) − (известный конец y) Расстояние до середины = √((известный x − середина x)² + (известный y − середина y)²)

Середина
Пара x и y той точки, которая находится посередине отрезка. Она дана вам, а не вычислена, поэтому обязана быть настоящей серединой нужного вам отрезка — убедиться в этом страница не может
Известный конец
Тот конец, который у вас уже есть. Это должен быть именно конец отрезка, а не какая-то другая его точка: правило предполагает, что он отстоит от середины ровно на столько же, на сколько будет отстоять ответ
Другой конец
Ответ, по одной координате на ось, каждая округлена до четырёх знаков после запятой. Он лежит на том же расстоянии от середины, что и известный конец, но по другую сторону, поэтому обычно выходит за пределы тех чисел, которые вы ввели
Расстояние до середины
Расстояние от известного конца до середины, посчитанное прямо по этим двум точкам. Это самопроверка страницы: восстановленный конец обязан стоять на таком же расстоянии от середины, и именно сравнение этого числа с вашим собственным измерением ловит перевёрнутый знак
Четыре знака
Ширина, до которой записывается каждое число, включая хвостовые нули. Координаты, оказавшиеся целыми, всё равно печатаются с четырьмя нулями после запятой — это выбор отображения, а не заявление о точности

Самое очевидное применение — достроить фигуру: есть центр чего-то и один край, а нужна точка ровно напротив. Центр окружности и один конец диаметра дают второй конец этого диаметра — та же задача другими словами. Геодезист, который вынес колышек на середину трассы и знает, где оказался один её конец, хочет знать второй, и это ровно наша страница. Встречается это и в черчении: середина линии и один конец, а нужен дальний конец, чтобы поставить зеркало или парный элемент. Есть и второе применение, менее очевидное и часто более ценное — проверка. Возьмите отрезок, найдите его середину, подставьте её и один конец сюда, и страница должна вернуть другой конец. Если не вернула, значит середина была неверной или отрезок не прямой, и в любом случае вы узнали что-то важное до того, как на этом стали что-то строить. Строка расстояния — самая быстрая версия такой проверки: фигура, у которой две половины не совпадают, не является симметричной относительно точки, которую вы считали её серединой. Одна привычка сильно упрощает доверие к ответу: прежде чем читать результат, спросите себя, с какой стороны от середины должна оказаться новая точка. Ответ всегда — с противоположной стороны от введённого вами конца, а результат с той же стороны, что и известный конец, означает ошибку в знаке, а не сюрприз.

Разобранные примеры

  1. Пара по умолчанию — та же, что на странице середины, прочитанная в обратную сторону

    1. Удвоим координату x середины: 3 × 2 = 6, затем отнимем известную x: 6 − 1 = 5
    2. Удвоим координату y середины: 5 × 2 = 10, затем отнимем известную y: 10 − 2 = 8
    3. Другой конец — (5; 8)
    4. Расстояние до середины: промежуток от (1; 2) до (3; 5) равен √(4 + 9) = √13 = 3,6056

    Тот же отрезок, с которым загружается страница середины, только пройденный в обратную сторону: подставьте туда (1; 2) и (5; 8) — она вернёт (3; 5), а это и есть точка старта этой страницы. Совпадение двух страниц — самая дешёвая проверка того, что ни в одной из формул знаки не перевёрнуты, и работает она на любом вводе, а не только на этом. Расстояние 3,6056 — то же число, которое страница середины печатает для этого отрезка, и это не совпадение: измерен тот же промежуток между той же парой точек.

  2. Второй конец отрезка, середина которого — начало координат

    1. Удвоим координату x середины: 0 × 2 = 0, затем отнимем известную x: 0 − 3 = −3
    2. Удвоим координату y середины: 0 × 2 = 0, затем отнимем известную y: 0 − 4 = −4
    3. Другой конец — (−3; −4)
    4. Расстояние до середины: промежуток от (3; 4) до начала координат равен √(9 + 16) = 5

    Середина в начале координат превращает правило в простую смену знака, и это самый наглядный случай, чтобы увидеть, что делает страница: ответ — отражение известного конца относительно середины. Заодно при нескольких нулях во вводе легко потерять знак, так что именно этот ввод стоит взять, если результат выглядит неправильно: ответ здесь предопределён, и округлять в нём нечего.

  3. Конец в противоположной четверти

    1. Удвоим координату x середины: (−2) × 2 = −4, затем отнимем известную x: −4 − 4 = −8
    2. Удвоим координату y середины: 1 × 2 = 2, затем отнимем известную y: 2 − (−3) = 5
    3. Другой конец — (−8; 5)
    4. Расстояние до середины: промежуток от (4; −3) до (−2; 1) равен √(36 + 16) = √52 = 7,2111

    Здесь работает каждый знак, а вторая строка — та, на которой спотыкаются: вычитание отрицательной y прибавляет, поэтому ответ 5 находится выше середины 1, а не ниже. Восстановленный конец оказывается в четверти, диагонально противоположной известному концу, и это общая закономерность: отрезок, проходящий через середину, пересекает её сразу по обеим осям.

  4. Известный конец совпадает с серединой

    1. Удвоим координату x середины: 2 × 2 = 4, затем отнимем известную x: 4 − 2 = 2
    2. То же самое для y: 4 − 2 = 2
    3. Другой конец — (2; 2), та самая точка, с которой вы начали
    4. Расстояние до середины равно нулю, потому что точки совпали

    Отрезок нулевой длины — единственный случай, когда ответ лежит не по другую сторону от середины: он и есть середина, и известный конец там же. Это правильный ответ, а не вырожденный сбой: если оба конца отрезка — одна и та же точка, то она же является и его серединой, и сказать странице больше нечего. Стоит увидеть это один раз, чтобы повторяющаяся координата не читалась как ошибка.

  5. Середина далеко от известного конца

    1. Удвоим координату x середины: 1 000 000 × 2 = 2 000 000, затем отнимем известную x: 2 000 000 − 0 = 2 000 000
    2. Удвоим координату y середины: 0 × 2 = 0, затем отнимем известную y: 0 − 0 = 0
    3. Другой конец — (2 000 000; 0)
    4. Расстояние до середины: промежуток от начала координат до (1 000 000; 0) равен 1 000 000

    Случай, показывающий, что ответ не обязан укладываться в диапазон ввода. Оба введённых числа отстоят от начала координат не больше чем на миллион, а ответ — на два миллиона, дальше всего, что есть на странице, потому что известный конец и ответ стоят по разные стороны от середины, а не рядом друг с другом. Ничего похожего на переполнение или приближение здесь нет: удвоение и вычитание целых чисел остаются точными далеко за этим размером.

Ограничения

Страница предполагает, что точка, которую вы назвали серединой, ею и является. Она не проверяет, что известный конец и восстановленный конец равноудалены от неё, — она строит второй так, чтобы они были равноудалены, а значит неверная середина даёт ответ, ошибочный ровно на столько же, и заметить это страница не может. Если ваша середина — оценка, а не измерение, то и ответ — оценка. Координаты не имеют единицы измерения, и страница ничего не переводит и не хранит, поэтому она не увидит, что середину задали в метрах, а конец — в миллиметрах. Четыре поля ограничены плюс-минус одним миллиардом, а на восстановленный конец это ограничение не распространяется: он может дойти до трёх миллиардов, и это правильно, а не ошибка, потому что удвоение с последующим вычитанием имеет право выйти за пределы данных ему чисел. Координата, вышедшая за диапазон введённых вами значений, на этой странице обычное дело. Расстояние до середины округлено до четырёх знаков после запятой и чаще всего иррационально, поэтому для большинства вводов это приближение, и ручная сверка с вашим собственным измерением совпадёт не всегда и не в последнем знаке. И, наконец, страница восстанавливает точку и на этом останавливается: она не даёт ни полной длины отрезка, ни уклона прямой через него, ни третьего измерения, так что пару точек в пространстве здесь не достроить, даже если две координаты из трёх известны. Отдельно об арифметике ввода: десятичный разделитель в этих полях — запятая, поэтому запись вроде 1,500, где после запятой стоит ровно три цифры, будет молча прочитана как 1,5; тысячу пятьсот пишите просто как 1500, без запятой.

Частые вопросы

Какова формула конца отрезка?
Удвойте координаты середины и отнимите известный конец, отдельно по каждой оси. Если середина равна 3, а известный конец — 1, то другой конец равен 6 минус 1, то есть 5. Это переставленное правило середины: середина есть среднее двух концов, значит два конца вместе дают удвоенную середину, а если отнять один из них, останется другой. Запоминать сверх этого нечего, кроме направления последнего вычитания.
Почему ответ вышел за пределы введённых мной чисел?
Потому что оба конца лежат по разные стороны от середины, и ответ отстоит от неё вперёд на столько же, на сколько введённый конец отстаёт назад. Введите середину в миллионе от начала координат, а известный конец — в самом начале, и ответ окажется в двух миллионах. Это не переполнение и не ошибка: удвоение с вычитанием имеет право дать число больше любого из входных, и своего верхнего предела у результата нет — ограничен миллиардом только ввод в четыре поля.
Зачем на странице третье число?
Это страница, проверяющая саму себя. Середина равноудалена от обоих концов, поэтому промежуток от известного конца до середины обязан быть равен промежутку от середины до только что восстановленного конца. Страница печатает первый из этих двух промежутков, и если он совпадает с той половиной отрезка, которую вы знали заранее, ответ согласован. Сравнение со вторым промежутком не доказывало бы ничего: страница проверяла бы свой ответ своим же ответом.
Проверяет ли страница, что моя середина — настоящая середина?
Нет, и не может. Страница берёт точку, которую вы называете серединой, как исходный факт и строит второй конец так, чтобы он стоял на таком же расстоянии, — поэтому если введённая точка не была настоящей серединой отрезка, ответ будет ошибочен ровно на столько же, и ничто на странице не будет выглядеть необычно. Середина-оценка даёт оценённый конец. Единственная зацепка — строка расстояния, и она говорит только о введённой вами геометрии, а не о реальности.
Можно ли пользоваться этим для точек в пространстве?
Только разбирая по одной оси. На странице по два поля координат на точку и нет третьего, поэтому трёхмерную задачу в неё не ввести в том виде, в каком она есть. Само правило к двум измерениям отношения не имеет — удвойте середину и отнимите известный конец по каждой оси, — так что ту же арифметику можно применить к третьей координате вручную, но страница этого не сделает и результата не покажет.
А если известный конец совпадает с серединой?
Тогда ответ — та же самая точка, а расстояние до середины равно нулю. У отрезка, концы которого совпали, нет длины, и его середина — это он сам, так что ничего не сломалось. Это единственный случай, когда восстановленный конец лежит не по другую сторону от середины, и увидеть его один раз стоит: тогда повторяющаяся координата не будет выглядеть отказом вычисления.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор середины отрезкаСередина отрезка между двумя точками на плоскости.Калькулятор расстоянияРасстояние между двумя точками, с показанным решением.Калькулятор теоремы ПифагораНаходит любую сторону прямоугольного треугольника по двум другим.Калькулятор уклона по двум точкамУклон, угол и процент превышения между двумя точками.