Калькулятор уклона по двум точкам

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) Уклон в процентах = m × 100

m

Угловой коэффициент, он же уклон: на сколько прямая поднимается на каждую единицу вправо. Единицы у него нет, потому что это одно расстояние, делённое на другое. Положительный означает подъём при росте x, отрицательный — спуск, а 0 означает, что прямая горизонтальна. Это главный ответ на странице, и единственное из пяти чисел, которое переживает перестановку точек: обмен местами меняет знак и у подъёма, и у пробега, а отношение двух отрицательных остаётся тем же

Δy = y₂ − y₁

Подъём, разность двух значений y и числитель коэффициента. Он сохраняет свой знак: переход от y, равного 5, к y, равному 1, даёт подъём −4, и именно минус делает коэффициент отрицательным. Это то число, которое получилось бы при измерении вертикального расстояния между точками, и оно напечатано на странице, чтобы коэффициент можно было проверить вручную

Δx = x₂ − x₁

Пробег, разность двух значений x и знаменатель коэффициента. Это горизонтальное расстояние между точками, и, в отличие от коэффициента и угла, на практике при чтении слева направо он не бывает отрицательным, хотя страница сохраняет тот знак, который даёт вычитание. Он не должен быть равен 0: нулевой пробег — это вертикальная прямая, у которой коэффициента нет, и страница останавливается, а не делит на ноль. Здесь важна и парность: x₁ принадлежит y₁, а x₂ принадлежит y₂, и перепутанные четыре числа дадут коэффициент совсем другой прямой

θ = arctan(m)

Угол уклона в градусах, то есть угол между прямой и горизонтом, напечатанный с двумя знаками после запятой. Он получается арктангенсом коэффициента — поэтому всегда лежит между −90 и 90 и поэтому же повторяется каждые 180 градусов: прямая через две точки продолжается в обе стороны, и угол описывает её направление, а не отдельный отрезок. Коэффициент 0,5 даёт 26,57 градуса, коэффициент 1 даёт 45, а крутой коэффициент 10 даёт 84,29 — угол жмётся к 90 по мере приближения прямой к вертикали и никогда её не достигает

Уклон в процентах = m × 100

Тот же коэффициент в виде процентов, напечатанный с двумя знаками после запятой: подъём как доля пробега. Коэффициент 0,5 — это уклон 50 %, коэффициент 1 — 100 %, а пологая прямая 1 к 12 — 8,33 %. Процент — это не угол, и спутать их легко: уклон 100 % соответствует всего 45 градусам, потому что уклон измеряет подъём относительно пробега, а угол — относительно самой наклонной линии

Пользуйтесь, когда у вас на руках именно две точки, то есть на практике координаты, а не измерения: две снятые позиции на плане участка, два отсчёта с графика, два угла, снятые с чертежа, две строки из таблицы значений x и y. Эта страница отвечает на вопрос, который идёт сразу за расстоянием между двумя точками, и отвечает в той форме, в которой прямую описывает математика, — угловым коэффициентом, из которого сразу следует уравнение прямой. Это ещё и честная страница для прямой, идущей вниз: знак коэффициента печатается, а не отбрасывается. К калькулятору превышения обращайтесь, когда подъём и пробег уже измерены как отдельные расстояния и вопрос стоит так, как его пишут на площадке, — падение дюйм на фут, подъём два сантиметра на метр, — потому что та страница пропускает вычитание координат и берёт эти два числа напрямую. К калькулятору расстояния обращайтесь, когда нужно расстояние между двумя точками, а не направление прямой через них; к калькулятору середины — за точкой на полпути; к калькулятору конца отрезка — когда есть середина и один конец, а нужен другой. Вместе эти четыре описывают один и тот же отрезок: его длину, его положение, его направление и то, где он заканчивается.

1. Точки (0; 0) и (4; 2)

   1. Подъём: 2 − 0 = 2
   2. Пробег: 4 − 0 = 4
   3. Угловой коэффициент: 2 ÷ 4 = 0,5
   4. Угол уклона: arctan(0,5) = 26,565…° → 26,57
   5. Уклон: 0,5 × 100 = 50 %

   Строка по умолчанию и самая простая для ручной проверки: старт в начале координат делает подъём равным y второй точки, а пробег — её x. Коэффициент 0,5 означает половину единицы вверх на каждую единицу вбок, и это достаточно полого, чтобы подъём не замечался, — доступный пандус это примерно 1 к 12, в шесть раз меньше. Три числа согласуются между собой именно так, как задумано: 0,5, 26,57 градуса и 50 % — один и тот же уклон, записанный тремя способами, и только пробег 4 из них можно измерить рулеткой.

2. Точки (1; 2) и (5; 8)

   1. Подъём: 8 − 2 = 6
   2. Пробег: 5 − 1 = 4
   3. Угловой коэффициент: 6 ÷ 4 = 1,5
   4. Угол уклона: arctan(1,5) = 56,309…° → 56,31
   5. Уклон: 1,5 × 100 = 150 %

   Ни одна из точек не в начале координат — это обычный случай, и он показывает, почему страница вычитает, а не читает координаты: обе точки находятся вверх и вправо от начала, и ни одна координата сама по себе не является ни подъёмом, ни пробегом. Уклон 150 % — то число, которое удивляет, потому что процент больше ста звучит невозможным; он не невозможен и означает лишь, что прямая поднимается больше, чем проходит вбок. Угол 56,31 градуса служит проверкой: всё, что круче коэффициента 1, круче 45 градусов, а всё, что меньше, — положе.

3. Точки (0; 0) и (12; 1)

   1. Подъём: 1 − 0 = 1
   2. Пробег: 12 − 0 = 12
   3. Угловой коэффициент: 1 ÷ 12 = 0,08333… → 0,0833
   4. Угол уклона: arctan(0,08333…) = 4,763…° → 4,76
   5. Уклон: 0,08333… × 100 = 8,33 %

   Пологая прямая и та строка, которая сходится с калькулятором превышения на одном и том же числе: здесь подъём один на пробег двенадцать — это 8,33 %, а там дюйм подъёма на фут пробега — тоже 8,33 %; одно отношение, записанное двумя способами, один раз по двум точкам, другой раз по двум измеренным расстояниям. Это отношение и есть стандартный максимум для доступного пандуса во многих строительных нормах, а то, что добавляет эта страница, — чтение его как коэффициента 0,0833 или угла 4,76 градуса: угол мал, и именно поэтому уклон и принято указывать процентами — в 4,76 градуса трудно целиться, а 1 к 12 легко отмерить.

4. Точки (2; 5) и (7; 1)

   1. Подъём: 1 − 5 = −4
   2. Пробег: 7 − 2 = 5
   3. Угловой коэффициент: −4 ÷ 5 = −0,8
   4. Угол уклона: arctan(−0,8) = −38,659…° → −38,66
   5. Уклон: −0,8 × 100 = −80 %

   Прямая, идущая вниз, и причина, по которой страница печатает подъём, а не только отношение: минус приходит из подъёма, поэтому читатель, увидевший одно лишь −0,8, не смог бы понять, не взяли ли пробег в другую сторону. Пробег остаётся положительным, равным 5, потому что это расстояние вправо, и знак несёт только вертикальное направление. При чтении слева направо эта прямая опускается на 80 сантиметров на каждый метр вперёд — та самая величина, которой задают уклон дренажа или тетиву лестницы, и она была бы прямо обманчивой со снятым знаком.

Эта страница считает угловой коэффициент прямой по двум точкам и ничего больше. Она не подгоняет прямую по более чем двум точкам, не сообщает, где прямая пересекает оси, и не даёт уравнения прямой, хотя напечатанный ею коэффициент — первая половина этого уравнения. Она не работает в обратную сторону: один коэффициент описывает направление, а не прямую, и прямых с коэффициентом 0,5 бесконечно много — понадобилась бы ещё точка, и это как раз то, что делает уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту из тех же чисел, которые выдаёт эта страница. Четыре координаты — чистые числа без единиц, поэтому переводить нечего и выбирать не из чего: если точки в метрах, то коэффициент в метрах на метр, а пробег в метрах, и ни тому, ни другому страница единицу не припишет. Поэтому же она не предупредит о смешанных единицах: введите x в метрах, а y в сантиметрах — и она всё равно их поделит, получив коэффициент в сто раз больше нужного, без единого признака, что что-то не так. Вертикальная прямая не получает ответа, а получает отказ, потому что углового коэффициента у неё не существует; если у ваших двух точек один и тот же x, проверьте, что это действительно две разные точки, — две совпадающие дадут тот же отказ. Горизонтальная прямая получает ответ: коэффициент и угол равны 0. Перестановка двух точек оставляет коэффициент и угол неизменными, потому что обе разности меняют знак вместе, но разбиение координат на неправильные точки — x₁ с y₂ — молча описывает другую прямую, и никакая проверка на этой странице этого не поймает, ведь любые четыре числа являются координатами какой-нибудь прямой. Ничто здесь не оценивается: пологий и крутой — суждения относительные, и страница их не выносит. Коэффициент печатается с четырьмя знаками, а угол и уклон — с двумя; это ширина отображения, общая для всего этого подраздела, а не заявление о точности: коэффициент 0,0833 — это округлённое 1 к 12, и съёмка с точностью до сантиметра на пробеге в метр последнего знака не оправдает. Отдельно об арифметике ввода: десятичный разделитель в этих полях — запятая, поэтому запись вроде 1,500, где после запятой стоит ровно три цифры, будет молча прочитана как 1,5; тысячу пятьсот пишите просто как 1500, без запятой.

Как посчитать уклон по двум точкам?

Вычтите значения y, чтобы получить подъём, вычтите значения x, чтобы получить пробег, и разделите: угловой коэффициент равен (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Точки (0; 0) и (4; 2) дают подъём 2 и пробег 4, поэтому коэффициент равен 0,5. Неважно, какую точку называть первой: перестановка меняет знак у обеих разностей, и два минуса сокращаются, — но важно, чтобы x₁ стояла в паре с y₁.

Как перевести уклон в градусы?

Возьмите арктангенс коэффициента. Коэффициент 0,5 даёт 26,57 градуса, коэффициент 1 даёт 45 градусов, а коэффициент 10 даёт 84,29 градуса. Угол всегда попадает между −90 и 90, потому что арктангенс не различает два направления прямой: прямая через ваши две точки продолжается в обе стороны, и угол описывает её крутизну, а не указывает вдоль неё.

Что означает отрицательный уклон?

То, что при чтении слева направо прямая идёт вниз. Точки (2; 5) и (7; 1) опускаются на 4 при пробеге 5, поэтому коэффициент равен −0,8, а угол уклона равен −38,66 градуса. Минус здесь не ошибка, и страница не берёт модуль: это разница между пандусом, идущим вверх, и дренажом, уходящим вниз, — противоположные строительные решения из одних и тех же чисел. Пробег при этом остаётся положительным, знак несёт только подъём.

Уклон 100 % — это то же самое, что угол 90 градусов?

Нет, и это самая частая путаница с уклонами. Уклон 100 % означает, что подъём равен пробегу, то есть коэффициент равен 1, а это 45 градусов, а не 90. Уклон сравнивает подъём с пробегом, а угол — с самой наклонной линией. Круче ста процентов вполне возможно: коэффициент 1,5 — это уклон 150 % и всего 56,31 градуса, и угол приближается к 90 только по мере роста уклона до бесконечности.

А если у обеих точек одинаковый x?

Тогда прямая вертикальна и углового коэффициента у неё нет. Пробег равен 0, деление не определено, и страница говорит об этом, а не печатает бесконечность: коэффициент вертикальной прямой — не очень большое число, а отсутствие числа. Если вы имели в виду две различные точки, проверьте значения x; если прямая действительно вертикальна, длину между этими точками даёт калькулятор расстояния — это единственное, что у вертикальной прямой есть.

Чем это отличается от калькулятора превышения?

Они считают одно и то же число по разным входным данным. Эта страница берёт две точки и сама вычитает координаты; калькулятор превышения берёт подъём и пробег как два уже измеренных расстояния — именно так уклоны и записывают на площадке: дюйм падения на фут, два сантиметра подъёма на метр. Точки (0; 0) и (12; 1) здесь дают 8,33 %, то же число, которое та страница даёт для дюйма подъёма на фут пробега. Заметьте, что два тамошних поля не имеют общей единицы — подъём читается в дюймах, а пробег в футах, — поэтому то же отношение вводится туда как 1 и 1, а не как 1 и 12.

• Slope — the rise over the run, with the sign conventions for lines that fall as well as rise, and the relation between the slope, the angle of inclination and the grade — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the straight line through two points, whose direction is the slope this page computes and whose other properties follow from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Point-Slope Form — where the slope from two points is used next: the equation of the line through them, which needs a slope and one point — Wolfram MathWorld (United States)