Калькулятор середины отрезка

Середина по x = (x₁ + x₂) ÷ 2 Середина по y = (y₁ + y₂) ÷ 2 Длина половины = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

Первый конец

Один конец отрезка, заданный парой x и y. Вводить можно с любого конца: перестановка двух пар не меняет середину, потому что сложение не зависит от порядка

Второй конец

Другой конец, по тем же правилам. Ни один из концов не обязан быть больше другого, поэтому второй x может оказаться меньше первого, а любая из координат может быть отрицательной

Середина

Два средних значения, по одному на каждую ось, каждое округлено до четырёх знаков после запятой. Это и есть ответ, и он всегда лежит между концами: середина вне их означала бы, что где-то потерян знак

Длина половины

Расстояние от середины до любого из концов, вычисленное прямо из двух концов, а не из округлённой середины. Для обоих концов оно одно и то же, и ради этой проверки строка и существует

Четыре знака после запятой

Ширина, с которой записано каждое число на странице, а не заявление о точности. Координаты печатаются вместе с нулями на конце, а длина половины часто представляет собой квадратный корень, который не заканчивается, так что четыре знака — это место, где его обрезали

Обращайтесь к середине, когда что-то должно лежать ровно между двумя точками, которые можно назвать. На полпути между двумя городами на карте, центр диаметра, точка, в которую геодезист ставит колышек, середина стены, на которую сейчас будет что-то повешено, точка равновесия между двумя фигурами на графике. Во всех случаях известны два конца, а нужно то, что лежит между ними, и усреднение каждой координаты это даёт. Это же и самый быстрый способ найти центр окружности, если известны две противоположные точки на ней: центр окружности — середина любого её диаметра. Вторая половина страницы — та, которой обычно не пользуются. Середина — не просто пара чисел, выданная правилом; это точка, равноудалённая от обоих концов, и выход «длина половины» позволяет убедиться в этом на месте. Если отрезок измеряли линейкой, полная длина уже известна, и её половина должна совпасть с тем, что напечатала страница. Когда не совпадает — неверен ввод, а не ответ, и самая частая причина — знак: разность между y, равным минус 7, и y, равным 7, составляет четырнадцать, а не нуль, и потерянный минус во втором конце сдвигает весь ответ вверх или вниз на семь, оставаясь при этом совершенно обычным на вид.

1. Отрезок по умолчанию: от одного до пяти вбок и от двух до восьми вверх

   1. Усредняем значения x: (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. Усредняем значения y: (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. Середина — точка (3; 5)
   4. Длина половины: разность по x равна 4, разность по y равна 6, поэтому полная длина √(16 + 36) = √52 = 7,2111, а её половина — 3,6056

   Пара, которая появляется на странице при загрузке, и хорошая для проверки на глаз. Оба средних — целые числа, поэтому координаты точны, тогда как длина половины представляет собой квадратный корень и потому округлена: честная картина всей страницы. Пройти от (1; 2) до (5; 8) означает четыре вбок и шесть вверх; середина находится в двух вбок и трёх вверх от первого конца, чем и является точка (3; 5), а длина половины 3,6056 — это диагональ такого шага два на три.

2. Отрезок три-четыре-пять, где каждое число точно

   1. Усредняем значения x: (0 + 3) ÷ 2 = 1,5
   2. Усредняем значения y: (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. Середина — точка (1,5; 2)
   4. Разность по x равна 3, разность по y равна 4, поэтому полная длина √(9 + 16) = 5, а длина половины — 2,5

   Треугольник три-четыре-пять встречается по всей этой группе страниц, потому что это самый маленький прямоугольный треугольник с целыми сторонами, и здесь он окупается дважды: полная длина равна ровно 5, а длина половины — ровно 2,5, так что на странице ничего не округлено. Используйте этот ввод как калибровку, когда неясно, не является ли странный ответ следствием округления: на таких данных он им быть не может. Обратите внимание и на нуль в другой форме: координата x равна 1,5 и печатается как 1,5000 — это договор о четырёх знаках, а не утверждение, что ответ известен до четырёх знаков.

3. Два конца по разные стороны от начала координат

   1. Усредняем значения x: (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. Усредняем значения y: ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. Середина — начало координат, (0; 0)
   4. Разность по x равна −8, разность по y равна 14, поэтому длина √(64 + 196) = √260 = 16,1245, а половина — 8,0623

   Нулевая середина — настоящий ответ, а не пустое поле. Пара здесь симметрична относительно начала координат, поэтому начало координат лежит между ними ровно посередине, и обе координаты приходят как 0,0000. Тот же нуль появляется на странице для любого отрезка, концы которого — отражения друг друга, а это большое семейство, а не курьёз. Отметьте и работу со знаками в разностях: вычитание отрицательной координаты равносильно сложению, поэтому разность по y равна 14, хотя сами значения y — это 7 и минус 7.

4. Середина, попадающая в целое число при дробно выглядящих концах

   1. Усредняем значения x: ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. Усредняем значения y: (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. Середина — точка (2; 1)
   4. Разность по x равна 10, разность по y равна −6, поэтому длина √(100 + 36) = √136 = 11,6619, а половина — 5,831

   Обе разности здесь чётные, поэтому пара неудобных на вид координат даёт в среднем целые числа. Десять вбок и шесть вниз дают длину половины 5,831 — квадратный корень, который никогда не заканчивается, так что это ещё и случай, показывающий обрезку на четырёх знаках в работе. Если хочется проверить строку руками, возведите напечатанную длину половины в квадрат: 5,831 в квадрате — это 34,0, а 5,8309 в квадрате — 33,999, то есть достаточно близко к 34, в квадрат которых возводится точный ответ; лучшего подтверждения четыре знака дать не могут.

5. Два конца, которые суть одна точка

   1. Усредняем значения x: (2,5 + 2,5) ÷ 2 = 2,5
   2. Усредняем значения y: ((−1,5) + (−1,5)) ÷ 2 = −1,5
   3. Середина — та же точка, с которой начали
   4. Обе разности нулевые, поэтому длина равна 0 и длина половины равна 0

   Отрезок нулевой длины, на который страница отвечает честно: середина точки и её самой — это она сама, а длина половины равна нулю. Это единственный вид ввода, способный заставить третью строку напечатать 0, поскольку нулевая длина половины требует совпадения обоих концов. Увидеть это стоит один раз, чтобы страница с тремя числами, одно из которых нуль, не читалась как страница с пропущенным значением: здесь ничего не отказало.

Страница возвращает середину описанного отрезка и больше ничего о нём. Она не даёт прямую через две точки, поэтому не сообщит ни уклона, ни точек пересечения с осями, ни уравнения этой прямой, и полной длины отрезка она тоже не даёт: третья строка — это её половина, так что удвойте длину половины, если нужна вся длина. Координаты безразмерны, и ни одному из выходов единица измерения не приписывается. Если точки в футах, ответы в футах; если в клетках, ответы в клетках; но страница ничего ни во что не переводит и не предупредит, если два конца заданы один в метрах, а другой в миллиметрах. Для безразмерной страницы это реальный риск: она не может увидеть, что (1; 2) и (5000; 8000) — вероятно, один и тот же отрезок, набранный в разных единицах, и вернёт она середину, которая просто неверна с точностью до множителя. Координаты ограничены плюс-минус одним миллиардом. Ограничение существует по арифметическим причинам, а не по математическим, и в сообщении об ошибке будет видно, какое поле его нарушило, но это значит, что страница не годится для координат масштаба материковой съёмки или спутниковой орбиты, выраженной в метрах. И, наконец, длина половины округлена до четырёх знаков после запятой и для большинства вводов представляет собой иррациональное число, то есть является приближением; умножение на два в конце ручной проверки унаследует это округление, поэтому удвоенная длина половины может отличаться от полной длины в последнем знаке или в двух.

Что такое формула середины?

Это усреднение каждой координаты по отдельности. Середина по x — это два значения x, сложенные и поделённые пополам, а середина по y — два значения y, сложенные и поделённые пополам; поэтому ответ всегда лежит между концами, причём по каждой оси отдельно, а не где-то ещё на плоскости. Для концов (1; 2) и (5; 8) это даёт 3 и 5, потому что 1 и 5 дают в среднем 3, а 2 и 8 дают 5. Второго правила за первым не прячется: если вы умеете усреднять два числа, вы умеете находить середину.

Почему страница печатает третье число помимо двух координат?

Потому что две координаты проверить нельзя, а длину половины можно. Координаты есть у любой точки, поэтому неверная середина — это всё равно правдоподобная пара чисел, ничем себя не выдающая. Длина половины — это расстояние от середины до любого из концов, и по определению эти два расстояния равны; значит, сравнение с половиной измеренной длины либо проходит, либо не проходит сразу. Часто это ещё и то число, которое было нужно: расстояние от середины чего-либо до его края.

Есть ли у координат единицы измерения?

Нет, и у ответа тоже. Страница считает ваши числа просто координатами, и это сделано намеренно: у координатной плоскости нет собственной единицы, а калькулятор, требующий выбрать сантиметры или дюймы прежде, чем ввести отсчёт с графика, придумывал бы единицу, которой у вас никогда не было. Если точки взяты с карты в метрах, читайте вывод в метрах; если это долгота и широта, читайте длину половины в градусах — это не расстояние в километрах, и перевести его в километры нельзя, не зная, в какой точке земного шара это происходит.

Может ли середина оказаться вне отрезка?

Нет, и это полезно знать при проверке ответа. Середина двух чисел — их среднее, а среднее никогда не выходит за пределы диапазона чисел, из которых оно построено; значит, середина отрезка всегда лежит где-то между его концами и оказывается на границе только тогда, когда оба конца совпадают. Если страница вернула точку, не лежащую между вашими концами, то неверен ввод, а не арифметика. Обычная причина — потерянный минус.

Что произойдёт, если два конца совпадают?

Вы получите эту же точку обратно и нулевую длину половины, и это правильный ответ, а не ошибка. Точка и она сама задают отрезок нулевой длины, и середина такого отрезка — сама точка. Это единственный ввод, способный дать нуль в третьей строке, поскольку нулевая длина половины требует, чтобы обе разности обратились в нуль. Страница не станет возражать, потому что возражать не на что.

Сколько знаков после запятой у ответа?

Четыре, и нули на конце печатаются, а не отбрасываются, поэтому середина отрезка от (1; 2) до (5; 8) читается как 3,0000 и 5,0000. Эти нули говорят о ширине вывода, а не о достоверности: координата равна ровно 3, и страница печатает её так, чтобы столбец чисел был выровнен. Приблизительна обычно длина половины, потому что на большинстве вводов это квадратный корень, и четыре знака — то место, где страница перестаёт её записывать.

Останется ли середина той же, если поменять концы местами?

Да. Сложение не зависит от порядка, поэтому среднее 1 и 5 совпадает со средним 5 и 1, и то же верно для любого другого поля. Меняется при перестановке концов только знак двух разностей, по которым считается длина половины, а поскольку разности перед сложением возводятся в квадрат, длина половины тоже выходит прежней. Меняйте пары местами свободно: ничто на странице не зависит от того, какой конец назван первым.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)