Калькулятор тригонометрии
Результат
Синус
- Косинус
- 0,8660
- Тангенс
- 0,5774
Калькулятор тригонометрии берёт один угол и возвращает сразу три величины — синус, косинус и тангенс, то есть три числа, которые описывают, куда этот угол попадает. Синус и косинус — это две координаты одной точки. Нарисуйте окружность единичного радиуса с центром в начале координат, начните на положительной горизонтальной оси и повернитесь против часовой стрелки на свой угол: точка, в которой вы остановитесь, имеет две координаты, и это и есть косинус и синус. Тангенс — отношение между ними, синус, делённый на косинус, а ещё это угловой коэффициент прямой из начала координат в эту точку. Именно потому, что тангенс — отношение, а не координата, он умеет то, чего не умеют двое других: у него кончаются значения. Там, где косинус равен нулю, — при прямом угле и в трёх четвертях оборота, — делить не на что, и тангенс там не очень большое число, а не число вовсе. Эта страница такие углы отклоняет и называет их, а не печатает огромное значение, оставляя вам догадываться, что оно значит то же самое. Смысл страницы в том, что выбирать между тремя функциями здесь не нужно: угол один, и все три ответа приходят вместе, так что видно, как они связаны. Синус растёт там, где косинус падает, потому что это две координаты одной и той же точки; тангенс равен их отношению и потому меняет знак ровно там, где косинус проходит через ноль, — то есть в тех самых двух углах, где он пропадает. Таблица значений ниже выкладывает все три функции на двенадцати углах по всему обороту, чтобы узор был виден, а не принимался на веру. Углы больше полного оборота здесь обычный вход: 390 градусов — тот же угол, что 30, и страница читает его именно так. Всё показано с четырьмя знаками после запятой — этого достаточно, чтобы сверить с учебником, и это честно говорит о том, что точные ответы в этих углах представляют собой корни и дроби, которые никакая десятичная запись не заканчивает.
Синус, косинус и тангенс при двенадцати углах
| θ (градусы) | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | 0.5 | 0.866 | 0.5774 |
| 45 | 0.7071 | 0.7071 | 1 |
| 60 | 0.866 | 0.5 | 1.7321 |
| 90 | 1 | 0 | — |
| 120 | 0.866 | -0.5 | -1.7321 |
| 135 | 0.7071 | -0.7071 | -1 |
| 150 | 0.5 | -0.866 | -0.5774 |
| 180 | 0 | -1 | 0 |
| 210 | -0.5 | -0.866 | 0.5774 |
| 270 | -1 | 0 | — |
| 330 | -0.5 | 0.866 | -0.5774 |
Двенадцать углов по всему обороту, и два прочерка в столбце тангенса — это и есть суть таблицы: при девяноста и при двухстах семидесяти градусах у тангенса нет значения, и страница говорит об этом прочерком, а не большим числом. Читайте столбец синуса сверху: за первую четверть оборота он поднимается от нуля до единицы, к половине оборота возвращается к нулю, уходит в минус и приходит обратно — полная волна за оборот. Столбец косинуса — та же волна, но на четверть оборота раньше. Тангенс ведёт себя иначе по своей природе: он повторяется каждые пол-оборота, а не каждый оборот, и потому девять строк от нуля до ста восьмидесяти уже содержат всю его историю целиком. Заметьте ещё, где достигают пика два положительных столбца: синус доходит до единицы ровно при девяноста, там же, где косинус доходит до нуля, а тангенс — это их отношение, чем этот угол и превращается в полюс. Числа калькулятор выводит в таблицу без изменений: разделитель дробной части в таблице — точка (0.866, а не 0,866), потому что значения столбцов берутся из расчёта, а не из текста.
Формула
sin θ = противолежащий катет ÷ гипотенуза cos θ = прилежащий катет ÷ гипотенуза tan θ = sin θ ÷ cos θ
- θ
- Угол в градусах или радианах. Он может быть отрицательным и может быть больше полного оборота — важно только то, куда он попадает на окружности
- противолежащий катет / прилежащий катет
- Два катета прямоугольного треугольника с углом θ: сторона напротив θ и сторона рядом с ним. При гипотенузе, равной единице, они становятся теми двумя координатами, которые читают синус и косинус
- гипотенуза
- Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, та, что лежит напротив прямого угла. Деление на неё и удерживает синус с косинусом между минус единицей и единицей
Эта страница отвечает на один вопрос тремя способами: дан угол — каковы его синус, косинус и тангенс? Обращайтесь к ней, когда угол у вас уже есть — уклон крыши, известный в градусах и нужный как коэффициент, фаза, известная в радианах, направление, которое вы собираетесь разложить на составляющие, — и вам нужны тригонометрические функции сразу, а не по одной. Таблица значений на двенадцати углах здесь по той же причине: почти все углы, которые встречаются на практике, — это один из этих двенадцати, и удобнее всего замечать, что синус тридцати и косинус шестидесяти равны, когда все три функции стоят рядом в одной строке. Ради чего стоит выбрать именно эту страницу, а не соседнюю: она единственная показывает три величины вместе, поэтому по ней видно и то, что синус с косинусом никогда не выходят за пределы от минус единицы до единицы, и то, что тангенс этих пределов не признаёт вовсе. Если вам нужна сама единичная окружность как картинка, это другая страница; если известны две стороны, а не угол, — тоже другая; а если дано отношение и нужно вернуть угол, это обратное направление, и им занимаются отдельные страницы: синус, косинус и тангенс угла не сообщают, чему этот угол равен.
Разобранные примеры
Угол 30 градусов — все три ответа положительны
- 30 градусов лежат в первой четверти, поэтому все три величины положительны
- Точка при 30 градусах на окружности единичного радиуса имеет координаты (√3/2, 1/2)
- Значит, косинус равен √3/2, синус равен 1/2, а тангенс — их отношение, то есть √3/3
Угол, с которым страница загружается, и первая содержательная строка таблицы ниже. Точные значения — это одна вторая, корень из трёх, делённый на два, и корень из трёх, делённый на три; показанные десятичные записи — те же числа, округлённые до четырёх знаков. Заметить здесь стоит 0,5774: это треть корня, а не повторяющаяся дробь, и именно поэтому тангенс тридцати градусов выглядит случайным числом рядом с аккуратными 0,5 и 0,866.
Угол 45 градусов — совпадение синуса и косинуса
- При 45 градусах точка лежит на прямой, где координаты равны
- Равные координаты означают, что синус и косинус — одно и то же число, √2/2
- Отношение двух равных чисел равно ровно единице, поэтому и тангенс здесь точный
Единственный угол меньше прямого, у которого тангенс получается точным: единица, а не 0,9999. Синус и косинус оба равны 0,7071 — и дальше на первой четверти они расходятся: синус продолжает подниматься к единице, а косинус начинает падать к нулю, и в этом расхождении и рождается вся разница между ними, потому что их сумма квадратов остаётся единицей.
Угол во второй четверти, 135 градусов — знаки расходятся
- 135 градусов — это 45 градусов сверх прямого угла, поэтому точка во второй четверти
- Её высота всё ещё положительна, значит, синус по-прежнему равен 0,7071
- Её удаление по горизонтали стало отрицательным, поэтому косинус равен −0,7071
- Тангенс — это положительное, делённое на отрицательное, то есть минус единица
Ради этих знаков пример и приведён. Синус при 135 градусах ровно такой же, как при 45, косинус сменил знак, и тангенс сменил его вместе с ним. Если читать таблицу ниже сверху вниз, видно три разных поведения: столбец синуса положителен в первой и второй четвертях и отрицателен в двух последних; столбец косинуса меняет знак при 90 градусах; а столбец тангенса меняет знак там же, где и пропадает, — и это не совпадение, а одна и та же точка.
Ограничения
Три вещи эта страница не делает. Первое: она читает угол и выдаёт отношения, но не идёт в обратную сторону. Если у вас есть 0,5 и вам нужен угол, синус которого равен 0,5, здесь ответа не будет — этим занимаются отдельные страницы, и это по-настоящему другой вопрос с по-настоящему другим набором ответов, потому что синусу, равному 0,5, соответствует не один угол. Второе: тангенс прямого угла и угла в три четверти оборота отклоняется, а не приближается, и тот же отказ распространяется на все углы, которые приводятся к этим двум, включая отрицательные и углы больше полного оборота. Так честнее, но из этого следует неудобство: угол 450 градусов даёт ошибку страницы, хотя для синуса и косинуса 450 — совершенно обычный угол, и они посчитались бы без всяких оговорок. Третье: показания даны с четырьмя знаками после запятой. Для двенадцати углов из таблицы этого мало, чтобы увидеть точные ответы: косинус тридцати здесь равен 0,866, а точно он равен корню из трёх, делённому на два, и никакая десятичная запись не окажется достаточной, потому что точные значения в большинстве этих углов иррациональны. Таблица ниже печатает десятичные дроби; если нужны сами корни, они собраны в стандартной таблице точных значений.
Частые вопросы
- Почему у тангенса нет значения при 90 градусах?
- Потому что тангенс — это синус, делённый на косинус, а при 90 градусах косинус равен нулю. Точка поднялась в самый верх единичной окружности, её удаление по горизонтали стало нулевым, и делить не на что. Честная формулировка такая: тангенс там не имеет значения, а не «очень большой». Синус и косинус при этом угле прекрасно определены — это единица и ноль, — и таблица ниже их по-прежнему показывает.
- Угол вводится в градусах или в радианах?
- В любых — рядом с полем есть переключатель единиц, и угол читается одинаково. Тридцать градусов и 0,5236 радиана дают одни и те же три числа с точностью до четырёх знаков. Разница проявляется только при сверке с источником, который подразумевает одну единицу, а таких большинство: учебник, где написано, что синус тридцати равен половине, говорит о градусах.
- Зачем нужна таблица значений ниже?
- Двенадцать углов по всему обороту, и все три функции в каждой строке. Вместе эти двенадцать покрывают все сочетания знаков, которые тригонометрические функции могут принять, оба полюса тангенса и все четыре четверти. Читайте по одному столбцу за раз, и поведение каждой функции становится видно: синус поднимается к единице и возвращается вниз, косинус — та же волна, сдвинутая на четверть оборота, а тангенс повторяется каждые пол-оборота вместо целого.
- Угол может быть отрицательным или больше 360 градусов?
- И то и другое — и ни то, ни другое не является особым случаем. Отрицательный угол поворачивает по часовой стрелке, а не против, и попадает в ту же точку, что его положительный напарник плюс полный оборот: минус тридцать градусов и триста тридцать градусов — один и тот же угол и одни и те же три показания. Всё, что больше полного оборота, просто продолжает идти по кругу: 390 — это снова 30. Значение имеет только конечное положение, поэтому калькулятор сначала приводит угол, а потом читает по нему отношения.
- Чем эта страница отличается от страницы единичной окружности?
- Поле у них общее, и до последнего знака они совпадают — так и задумано, их можно сверять друг с другом. Разница в том, что они показывают. Страница единичной окружности построена вокруг картинки: точка на окружности радиуса единица, её координаты и особые углы с их точными значениями. Эта страница построена вокруг функций и вокруг углов, которые неудобно рисовать: отрицательных, больших полного оборота и тех двух, где тангенс не имеет значения.
- Почему четыре знака после запятой, а не больше?
- Потому что четырёх достаточно, чтобы отличить ответ из учебника от неправильного, а дальше цифры перестают быть про угол. Точные значения почти во всех углах таблицы — это квадратные корни и дроби, десятичные записи которых не заканчиваются и не повторяются: косинус тридцати градусов — это корень из трёх, делённый на два, а 0,8660254037844386 — усечение этого числа, а не другое число. Больше знаков означало бы точность, которой у угла нет.
Источники
- Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined where the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine — the function the unit circle reads off as the y-coordinate, its period, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
- Tangent — the ratio the other two functions produce, its period of half a turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)