Калькулятор единичной окружности

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

Угол, отсчитанный против часовой стрелки от положительного направления оси x. Он может быть отрицательным и может быть больше полного оборота — важно только то, куда он попадает на окружности

cos θ

Координата x точки, в которую попадает угол. При нуле градусов точка стоит в (1; 0), поэтому косинус равен единице; при девяноста градусах он равен нулю

sin θ

Координата y той же самой точки. При нуле градусов она равна нулю; при девяноста градусах точка стоит на верху окружности, и синус равен единице

tan θ

Синус, делённый на косинус, — это наклон прямой из начала координат в точку. Там, где косинус равен нулю, значения у него нет, потому что именно там эта прямая вертикальна

Радиус, равный единице

Почему координаты можно считывать прямо. Точка находится на расстоянии одной единицы от начала координат, поэтому по теореме Пифагора две координаты всегда дают в сумме единицу — а это и есть тождество cos²θ + sin²θ = 1. Собственно, поэтому единичная окружность и называется единичной

Градусы, радианы или грады

Выпадающий список переводит то, что вы ввели, в градусы ещё до вычисления, поэтому ответ в любом случае один и тот же. Четверть оборота — это девяносто градусов, или половина пи в радианах, или сто градов

Четыре знака после запятой

Ширина, с которой печатаются значения. Точными выходят лишь немногие из них — синус тридцати равен половине, тангенс сорока пяти равен ровно единице, а всё, что стоит на осях, выражается целыми числами, — а остальное это величины вроде корня из двух, делённого на два, которые приходится округлять в конце

Единичная окружность — это таблица, которую заставляют заучивать на любом курсе тригонометрии, потому что три тригонометрические функции есть не что иное, как координаты точки на ней; и эта страница и есть такая таблица, только с полем, в которое можно вписать любой угол. Ближайшие применения — те, где угол есть, а нужны его составляющие: разложение силы или скорости на горизонтальную и вертикальную части, а это ровно пара синуса и косинуса и ничего больше; вычисление фазы в электронике или коэффициента мощности; нахождение горизонтальной дальности чего-нибудь, брошенного под углом. Геодезия и навигация обращаются к ней всякий раз, когда румб надо превратить в расстояние на восток и расстояние на север, — а это в точности две координаты. Графика и игры используют её для всего, что вращается: спрайт, который поворачивается, камера, которая облетает объект, точка на колесе, — потому что положение вращающейся точки и есть косинус и синус, и записать это один раз через такую функцию вместо разбора случаев по четвертям — именно то, что делает код вращения коротким. И есть ещё чисто учебное применение, ради которого эта страница и сделана: табличные углы стоит знать наизусть, и возможность ввести девяносто и увидеть, как тангенс отказывает, — куда лучший способ запомнить, что значения там нет, чем просто быть об этом извещённым. Таблица значений ниже — тот же набор углов, записанный точными дробями, а не десятичными, потому что именно в таком виде ими и пользуются.

1. Угол 30 градусов

   1. Поворачиваем на 30 градусов против часовой стрелки от положительного направления оси x
   2. Точка, в которую мы попадаем, — это (√3/2; 1/2)
   3. Косинус — координата x: 0,8660
   4. Синус — координата y: 0,5
   5. Тангенс — их отношение: 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   Угол, с которым страница загружается, и первая строка таблицы, с которой обычно и начинают табличные углы. Его точные значения — корень из трёх, делённый на два, половина и корень из трёх, делённый на три; здесь показаны десятичные записи, а точные дроби — в таблице ниже.

2. Угол 45 градусов

   1. Поворачиваем на 45 градусов против часовой стрелки, и точка оказывается на диагонали
   2. Синус и косинус равны, потому что точка стоит под 45 градусов к обеим осям: √2/2 = 0,7071
   3. Тангенс — их отношение, а число, делённое само на себя, даёт единицу

   Единственный угол между нулём и девяноста, где синус и косинус равны, и происходит это потому, что точка лежит на прямой y = x. Тангенс, равный ровно единице, это подтверждение тому же на языке алгебры — и причина, по которой уклон в 45 градусов называют уклоном один к одному.

3. Угол 180 градусов

   1. Поворачиваем на пол-оборота, и точка оказывается на отрицательном направлении оси x
   2. Косинус — координата x: −1
   3. Синус — координата y: 0
   4. Тангенс — это ноль, делённый на минус единицу, то есть 0

   Пол-оборота и тот знак, на котором спотыкаются: косинус равен минус единице, а не единице, потому что точка ушла на противоположную сторону окружности. Синус здесь выходит ровно нулём, хотя арифметика внутри страницы по дороге даёт очень маленькое число, — значение округляется в конце, и это честный способ с этим обойтись.

4. Угол 390 градусов

   1. Полный оборот возвращает в начало, поэтому 390 градусов — то же самое, что 30
   2. Точка — (√3/2; 1/2), ровно как и для 30 градусов

   Те же три значения, что и в примере с 30 градусами, потому что лишний оборот приводит в ту же точку. Именно это и делает страницу пригодной для углов, которые не лежат между нулём и полным оборотом: заворачивание делается за вас, а не остаётся ручной работой перед вводом.

Эта страница берёт один угол и возвращает его синус, косинус и тангенс. Тангенс не имеет значения при девяноста градусах и при двухстах семидесяти, а также при любом угле, отличающемся от них на целое число оборотов, потому что точка уходит туда, где её координата x равна нулю, и делить не на что. Когда это происходит, страница отказывает и объясняет, а не печатает очень большое число; синус и косинус там прекрасно определены — это единица и ноль, — но страница выдаёт три значения вместе, поэтому она удерживает все три, а не два из них; точные значения для этих двух углов есть в таблице ниже. Углы, очень близкие к этим, принимаются и дают очень большие тангенсы, и это математически верно: почти вертикальный уклон и в самом деле крутой, поэтому «почти» и «ровно» — не одно и то же, и страница их не смешивает. Три значения — это чистые числа без единиц, что бы ни было выбрано в выпадающем списке; список задаёт, в каких единицах вводится угол, а не то, что получается на выходе. Четыре знака после запятой — это ширина отображения, а не заявление о точности, и у большинства углов точного десятичного значения нет вообще; именно поэтому в справочной таблице распространённые углы даны точными дробями. Обратных задач страница не решает: она превращает угол в координаты, но не превращает координаты обратно в угол, и она не даёт ни длины дуги, ни площади сектора, ни того, насколько далеко по окружности ушёл угол.

Почему у тангенса нет ответа при 90 градусах?

Потому что тангенс — это синус, делённый на косинус, а при девяноста градусах косинус равен нулю. Точка ушла на верх окружности, её координата x равна нулю, и делить не на что. Честная формулировка такая: значения там нет, а не «оно огромное». Синус и косинус при этом угле прекрасно определены — точка стоит на верху окружности, поэтому синус равен единице, а косинус нулю. Страница выдаёт три значения вместе, поэтому она не даёт ни одного, а не два из трёх: она отказывает и объясняет почему. Точные значения для этой строки всё равно есть в таблице ниже.

Можно ввести угол больше 360 градусов?

Да, и отрицательный тоже. Важно только то, куда угол попадает на окружности, поэтому 390 градусов дают ровно те же три значения, что и 30, а минус 30 — те же, что и 330. Страница сама приводит угол, а не заставляет делать это руками заранее, и это важно, потому что румбы и повороты сплошь и рядом уходят за полный оборот.

Почему значения десятичные, а в школьной таблице дроби?

Потому что панель результатов — это калькулятор, а таблица — это справочник. Точные значения табличных углов — корень из двух, делённый на два, корень из трёх, делённый на два, и их родственники, и точными десятичными дробями они не записываются: 0,7071 — это округлённая запись одного из них. В справочной таблице ниже те же углы даны точными дробями, и именно в таком виде их и стоит запоминать.

Для чего вообще нужен тангенс?

Это уклон. Тангенс угла — это превышение, делённое на заложение, для прямой из начала координат в точку, поэтому он и всплывает в уклонах, в уклонах крыш и во всём, что измеряется отношением вертикали к горизонтали. Синус и косинус — координаты, а тангенс — отношение между ними, и именно из-за этой разницы дыры в области определения есть только у тангенса.

Единица измерения имеет значение?

Выпадающий список задаёт только то, в чём вводится угол, — градусы, радианы или грады, — и больше ничего. Три значения — это обычные числа вообще без единиц, потому что у координаты на окружности радиуса один единиц нет и у отношения двух таких координат тоже. Внутри страница переводит угол в градусы, поэтому 0,5236 радиана и 30 градусов дают одинаковые ответы.

Это то же самое, что калькулятор прямоугольного треугольника?

Это его частный случай. В любом прямоугольном треугольнике синус — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу, а косинус — прилежащий, делённый на гипотенузу; на единичной окружности гипотенуза равна единице, поэтому отношения превращаются просто в два катета. Любой прямоугольный треугольник — это увеличенная или уменьшенная копия картинки с единичной окружностью, поэтому числа с этой страницы годятся для треугольников любого размера.

• Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)