Калькулятор котерминальных углов

θ′ = θ + 360°n coterminal = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

Угол, который вы вводите, в градусах. Он может быть отрицательным и может быть куда больше полного оборота: и то и другое здесь обычный вход, а не особый случай

n

Любое целое число — положительное, отрицательное или ноль. Каждое значение n выбирает одного члена семейства углов с общей конечной стороной, поэтому таких углов бесконечно много, а страница печатает двух самых полезных

360°

Один полный оборот. Вычитание его оставляет луч ровно там, где он был, и именно это делает два угла котерминальными, а не разными

⌊θ ÷ 360°⌋

Сколько целых оборотов снимается, округляя вниз, к минус бесконечности, а не к нулю. Округление к нулю оставило бы отрицательный угол лежать снаружи промежутка вместо того, чтобы завернуть его внутрь, и это единственное место на этой странице, где она может тихо ошибиться

Coterminal angle

Представитель от 0 до 360 градусов, не включая 360. Именно по этому числу написаны тригонометрические таблицы и единичная окружность, и именно его чаще всего и хотят получить

Negative coterminal angle

Тот же луч, описанный как отрицательный поворот: приведённый угол минус один полный оборот, от минус 360 до нуля, не включая ноль. Он всегда ровно на 360 ниже другого числа

Два знака после запятой

Ширина, с которой печатаются ответы. Углы обычно измеряют до доли градуса, а не до доли секунды, и два знака — примерно та честная точность, которую вообще даёт чтение по транспортиру

Всякий раз, когда угол намотался больше чем на полный оборот, а нужен ответ внутри одного оборота. Валы и вращающиеся механизмы — самый наглядный случай: у муфты, провернувшейся на три с четвертью оборота, конечная ориентация выражается углом меньше 360, и то же приведение применяется к кулачку, кривошипу, поворотному столу или сочленению робота, у которого ход задан в оборотах. Намотка и укладка — второй случай: катушка, намотанная 14 раз, кабель, вытравленный и снова намотанный, пружина, повёрнутая на известное число оборотов, — всё это считают в оборотах, а нужно в градусах. Измерительные приборы — третий: фаза, накопленная за много периодов сигнала, суммарный угол, снятый с энкодера, который считает вверх и не сбрасывается, накопленная ошибка курса и вообще любой прибор, выдающий угол, которому дали уйти за один оборот. В навигации и геодезии этим пользуются для румбов, которые складывали и вычитали, пока они не вышли из диапазона от 0 до 360, и для разности двух курсов — поэтому курс минус 30 градусов рутинно переписывают как 330. В математике это первый шаг почти любого тригонометрического вычисления: таблица значений синуса и косинуса покрывает только один оборот, поэтому любой угол вне этого диапазона надо сначала вернуть внутрь, иначе таблицей не воспользоваться. На уроке это наглядная демонстрация периодичности: нарисуйте одну и ту же конечную сторону для 30, 390 и 750 градусов, заметьте, что все три плеча попали на одну прямую, и необходимость запоминать, что синус повторяется каждые 360 градусов, отпадает сама. А в повседневной арифметике это те несколько случаев, когда из одного угла вычли другой и получили отрицательный, — именно тогда большинству впервые нужен ответ от 0 до 360, а не знаковый.

1. Угол 400 градусов

   1. Считаем полные обороты: 400 ÷ 360 = 1,11, значит снимается один оборот
   2. Вычитаем его: 400 − 360 = 40
   3. Вычитаем ещё один оборот для отрицательного представителя: 40 − 360 = −320

   Пара, с которой страница загружается, и выбрана она потому, что вход лишь чуть-чуть перевалил за полный оборот: читатель, впервые встретивший идею, видит всю операцию за один шаг. Два ответа отличаются на 360, и это верно на каждой строке таблицы — самый быстрый способ проверить, что результат вообще осмысленный.

2. Угол 750 градусов

   1. Считаем полные обороты: 750 ÷ 360 = 2,08, значит снимаются два оборота
   2. Вычитаем их: 750 − 720 = 30
   3. Вычитаем ещё один оборот: 30 − 360 = −330

   Та же конечная сторона, что у угла 30 градусов, только на два полных оборота дальше по кругу, и та пара строк, ради которой таблица и сделана. Считывать приведение по столбцу оборотов — два оборота с 750 оставляют 30 — это ровно то, как считают руками, и именно поэтому такой столбец в таблице вообще есть.

3. Угол минус 30 градусов

   1. Считаем полные обороты, округляя вниз: −30 ÷ 360 = −0,08, что округляется вниз до −1
   2. Прибавляем этот оборот обратно: −30 − 360 × (−1) = 330
   3. Вычитаем оборот для отрицательной стороны: 330 − 360 = −30

   Направление, с которого приходит большинство: отрицательный угол получается, когда из одного курса вычли другой. Заметьте, что отрицательный представитель здесь — сам исходный угол, без изменений: минус 30 уже лежит внутри отрицательного промежутка. Округлять при этом надо вниз: округление к нулю оставило бы минус 30 как есть, снаружи положительного промежутка, куда он и должен попасть.

4. Угол 1000 градусов

   1. Считаем полные обороты: 1000 ÷ 360 = 2,78, значит снимаются два оборота
   2. Вычитаем их: 1000 − 720 = 280
   3. Вычитаем ещё один оборот: 280 − 360 = −80

   Два оборота и остаток 280 — здесь арифметика перестаёт быть очевидной: ответ близок к полному обороту, а не к нулю, и читатель, ждущий маленького остатка по прошлым примерам, удивится. Страница принимает и миллион градусов, и он даёт те же 280 и минус 80: число оборотов меняется, конечная сторона — нет.

5. Угол 0 градусов

   1. Ни один полный оборот не снимается: 0 уже внутри промежутка
   2. Положительный представитель равен 0
   3. Вычитаем оборот для отрицательной стороны: 0 − 360 = −360

   Случай, который и закрепляет правило для отрицательной стороны. Альтернативная условность напечатала бы нуль в обоих числах, а это читается как страница, которая ничего не сделала. Если отрицательным представителем считать ровно один оборот ниже приведённого угла, два напечатанных числа никогда не совпадут, и на этой границе правило держится так же, как и везде.

Эта страница приводит угол и только: она не говорит, в какой четверти лежит конечная сторона, не даёт приведённый угол и не вычисляет ни одной тригонометрической функции. Каждое из этого — отдельная страница. Принимаются только градусы: вывода в радианах нет, и угол, заданный в радианах, придётся перевести до ввода. Вход ограничен миллионом градусов в любую сторону, а это примерно 2778 полных оборотов; дальше число перестаёт соответствовать чему-либо, что кто-нибудь измеряет, хотя арифметика продолжала бы работать. Два напечатанных числа всегда отличаются ровно на 360 градусов, и отрицательное из них всегда меньше, поэтому отрицательный вход может дать положительный вывод и наоборот. Строго говоря, котерминальными называют несовпадающие углы с совпадающими конечными сторонами, так что введённый вами угол в этом строгом смысле не котерминален сам себе — он сам с собой совпадает. Страница следует бытовому употреблению, в котором годится любой угол на той же конечной стороне, и говорит об этом здесь, а не в сноске. Углы округляются до двух знаков после запятой, и это ширина отображения, а не заявление о точности. Ничего здесь не работает с градусами, минутами и секундами как отдельными единицами и ничего не работает с углами в градах или в оборотах.

Я ввёл 40, и котерминальный угол вышел 40. Что-нибудь вообще произошло?

Ничего и не должно было: 40 уже внутри одного оборота, поэтому оно само себе представитель, и приведение его не трогает. Строго говоря, котерминальными называют несовпадающие углы, оканчивающиеся на одном луче, так что сам с собой угол котерминален не бывает — он с собой совпадает. Страница следует бытовому употреблению, в котором годится что угодно на той же конечной стороне, поэтому первое число повторяет ваш ввод всякий раз, когда ввод уже приведён. Меняется второе число.

Почему отрицательный угол на целый оборот ниже, а не просто тот же угол со знаком минус?

Потому что очевидная альтернатива ломается на нуле. Если бы отрицательным представителем считалось что угодно от минус 360 до нуля, то ввод нуля напечатал бы нуль и нуль — два одинаковых числа, а это читается как страница, которая ничего не сделала. Если же он ровно на один оборот ниже приведённого угла, два напечатанных числа никогда не совпадают и всегда отличаются ровно на 360 градусов, что можно проверить на каждой строке таблицы.

Можно ввести отрицательный угол?

Да, и это один из самых частых входов. Отрицательные углы появляются всюду, где из одного курса вычитают другой или где поворот измеряют по часовой стрелке, и минус 30 градусов рутинно переписывают как 330. Приведение округляет вниз, а не к нулю, ровно поэтому: округление к нулю оставило бы минус 30 снаружи промежутка вместо того, чтобы завернуть его внутрь.

Почему два ответа всегда отличаются на 360 градусов?

Потому что второй — это первый минус один полный оборот, так он и построен. Вычитание 360 градусов оставляет луч ровно там, где он был, поэтому оба числа описывают одну конечную сторону и отличаются ровно на один оборот. Это и самая быстрая проверка любого результата: прибавьте 360 к нижнему числу и должны получить верхнее.

Страница говорит, в какой четверти лежит угол?

Нет — она приводит угол и на этом останавливается. Четверть, в которую попадает конечная сторона, и приведённый угол между этой стороной и ближайшей осью — тема страниц про приведённый угол и про единичную окружность. Приведение, которое делает эта страница, — шаг, предшествующий и тому и другому, поэтому это отдельная страница, а не строчка в чужом выводе.

Можно ввести радианы?

На этой странице нет — она принимает только градусы, и переключателя единиц у неё нет. Угол в радианах придётся сначала перевести, умножив на 180 и разделив на пи. Само приведение устроено одинаково в любой единице, но странице пришлось бы сначала знать, какую вы имели в виду, чтобы решить, чему равен полный оборот.

• Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — what an angle is, including angle standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)