Калькулятор угла приведения

a = ((θ mod 360) + 360) mod 360 a > 180° → a = 360° − a приведённый угол = min(a, 180° − a)

θ

Угол, который вы вводите, в градусах. Это может быть любое действительное число: положительное или отрицательное, меньше полного оборота или на много оборотов больше, целое или дробное. Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке от горизонтальной оси — так принято в геодезии и во всём, что вращается в другую сторону

a

Угол, сложенный в первые пол-оборота: первая строка загоняет ввод в диапазон от 0 до 360, не включая 360, а вторая складывает всё, что больше 180, обратно вниз. После обеих угол оказывается где-то между 0 и 180, а это всё, что нужно знать об угле для приведения, потому что две половины круга — зеркальные отражения друг друга

Приведённый угол

Острый угол между конечной стороной и горизонтальной осью, в градусах, всегда между 0 и 90. Это расстояние, а не поворот, поэтому у угла 180 градусов приведённый угол равен 0: конечная сторона лежит на самой оси, от которой её и измеряют. Печатается с двумя знаками после запятой, как и на странице котерминальных углов, чтобы угол, заданный с точностью до четверти градуса, давал ответ той же точности

mod 360

Остаток от деления на полный оборот — именно он отбрасывает целые лишние обороты. Удвоение — сначала прибавить 360, потом снова взять остаток — нужно потому, что оператор остатка в большинстве языков программирования даёт отрицательный результат для отрицательного ввода, и минус 45 иначе вышел бы как минус 45, а не как 315, и каждый отрицательный угол сложился бы не по той ветке

min(a, 180° − a)

Расстояние до ближайшей части горизонтальной оси: на окружности радиуса один угол и точка, отстоящая от него на 180 градусов, — это два места, где конечная сторона встречает ось, так что приведённый угол равен тому из двух, которое ближе. Записанное одним выражением, а не четырьмя правилами по четвертям, оно вдобавок покрывает и осевые случаи без отдельной ветки — ради этого формула так и написана

Четверть

Та четверть круга, в которой оказывается конечная сторона после того, как угол загнали в диапазон и сложили: первая четверть — от 0 до 90 градусов, вторая — от 90 до 180, третья — от 180 до 270 и четвёртая — от 270 до 360. Четыре угла, лежащие ровно на оси, не принадлежат никакой четверти, и страница так и печатает, а не подшивает их к соседке

Обращайтесь к этой странице, когда вычисляете тригонометрическую функцию вручную — приведение угла для этого и нужно, — и когда вместе с ней нужна четверть. Эти две вещи идут в паре: приведённый угол даёт величину синуса, косинуса или тангенса, а четверть даёт знак, и страница, дающая только одно из двух, оставляла бы вам вторую половину работы по памяти. Углы, где это важнее всего, — те, что встречаются в учебнике: 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330, — и у всех у них приведённые углы берутся из одного короткого списка: 30, 45 и 60. В этом и смысл идеи. Углов бесконечно много, а приведённых углов, которые стоит знать, всего несколько, поэтому таблица из девяти углов сводится к таблице из трёх, а остальное — бухгалтерия знаков. Страница полезна и сама по себе, без всякой тригонометрии, как способ сориентировать угол. Если геодезист даёт вам азимут 315 градусов, приведённый угол 45 говорит, что он отстоит от ближайшей оси на 45 градусов, а четверть говорит, от какой именно оси; то же чтение отвечает на вопросы о направлении ветра, экранных координатах и всём остальном, что измеряется углом от фиксированного направления. Два случая стоит попробовать на странице до того, как они понадобятся. Введите 180 и увидите, что ответ 0: конечная сторона лежит на оси, и расстояние до неё равно нулю. Введите минус 45 и увидите, что ответ 45: отрицательные углы загоняются в диапазон, а не отвергаются, и приведённый угол угла по часовой стрелке совпадает с приведённым углом его зеркала против часовой. А если вы сравниваете эту страницу с калькулятором котерминальных углов, то у них один и тот же ввод и разные вопросы: та страница даёт другой угол с той же конечной стороной, эта — расстояние от этой конечной стороны до ближайшей оси. Пара вместе — это то, что обычно и нужно тригонометрической задаче: конечная сторона, опознанная и по положению, и по расстоянию до оси.

1. Угол 210 градусов

   1. Загоняем в диапазон: 210 mod 360 = 210, уже внутри одного оборота
   2. Складываем: 210 больше 180, поэтому 360 − 210 = 150
   3. Расстояние до ближайшей оси: min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30

   Угол, с которым страница загружается, и учебниковый случай: 210 градусов лежат в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны, а приведённый угол равен 30. Значит, синус 210 градусов равен минус синусу 30, то есть минус одной второй, а косинус равен минус косинусу 30, то есть минус корню из трёх, делённому на два. Оба нужных для этого факта есть на странице и в её таблице: величина — из приведённого угла, знаки — из четверти.

2. Угол 135 градусов

   1. Загоняем в диапазон: 135 mod 360 = 135
   2. Складываем: 135 не больше 180, поэтому остаётся 135
   3. Расстояние до ближайшей оси: min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45

   Вторая четверть и тот приведённый угол, который стоит знать наизусть вместе с 30 и 60. Угол 135 градусов отстоит от вертикальной оси на 45 градусов, поэтому его приведённый угол равен 45, а синус и косинус равны по величине — корень из двух, делённый на два, — причём синус положителен, а косинус отрицателен. Обратите внимание на форму двух шагов: складывание сдвигает угол во вторую половину круга, а расстояние доводит его до оси. И то и другое нужно для всего, что лежит во второй, третьей или четвёртой четверти.

3. Угол 100,25 градуса

   1. Загоняем в диапазон: 100,25 mod 360 = 100,25
   2. Складываем: не больше 180, поэтому остаётся 100,25
   3. Расстояние до ближайшей оси: 180 − 100,25 = 79,75

   Строка, которая оправдывает два знака после запятой. Угол на четверть градуса больше 100 даёт приведённый угол на четверть градуса меньше 80, и страница, округляющая ответы до целых градусов, напечатала бы 80 и ошиблась бы на четверть градуса. Углы такого порядка обычны в геодезии и астрономии, где их измеряют в минутах дуги, а не в целых градусах, и 79,75 — как раз тот ответ, который должен пережить путешествие через страницу без потерь.

4. Угол 180 градусов

   1. Загоняем в диапазон: 180 mod 360 = 180
   2. Складываем: 360 − 180 = 180
   3. Расстояние до ближайшей оси: min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0

   Случай, на котором спотыкаются, и причина, по которой последний шаг записан как расстояние, а не как угол, на который поворачивают. Приведённый угол измеряет, насколько конечная сторона удалена от горизонтальной оси, а на 180 градусах конечная сторона лежит вдоль этой оси, поэтому расстояние равно нулю. Ответ — 0, а не 180, и этот угол не принадлежит никакой четверти: таблица печатает его как лежащий на оси, а не подшивает ко второй четверти или к третьей, и то и другое было бы неверно.

5. Угол минус 45 градусов

   1. Загоняем в диапазон: −45 превращается в −45 + 360 = 315
   2. Складываем: 315 больше 180, поэтому 360 − 315 = 45
   3. Расстояние до ближайшей оси: min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45

   Отрицательный угол, отсчитанный по часовой стрелке от горизонтальной оси, и строка, на которой шаг загонки в диапазон отрабатывает своё: минус 45 — это та же конечная сторона, что и 315 градусов, то есть четвёртая четверть, и приведённый угол равен 45 — столько же, сколько у положительных 45. Углы по часовой стрелке и против неё одной величины имеют общий приведённый угол и различаются только четвертью, и это ровно то разделение труда, что и между двумя столбцами таблицы.

Страница работает в градусах, и приведённые углы она печатает в градусах; радианы в поле не принимаются и не печатаются, поэтому угол, заданный в радианах, придётся сначала перевести — умножить на 180 и разделить на пи. Ответ всегда лежит между 0 и 90 включительно, а значит, два очень разных угла могут иметь один и тот же ответ: у 30, 150, 210 и 330 приведённый угол равен 30, и по одному приведённому углу нельзя понять, с какого из них вы начали. Для этого нужна четверть, которую страница даёт в таблице, но не печатает в панели результатов, потому что четверть не бывает лучше или хуже другой, а значки на этом сайте означают что-то, когда появляются. Четыре угла, лежащие ровно на оси, — 0, 90, 180 и 270, а также их отрицательные значения и кратные, — не имеют четверти вообще, и страница говорит об этом, а не приписывает их к ближайшей; читателю, которому нужно сгруппировать их с четвертью, придётся решить, какой условности следует его учебник. Поле угла принимает что угодно до миллиона градусов в любую сторону, что куда больше любого реального применения, но целые лишние обороты отбрасываются, так что страница — не инструмент для подсчёта оборотов. Вывод записывается шириной в два знака после запятой, и это ширина отображения, а не заявление о точности: для угла, измеренного до четверти или сотой градуса, она подходящая, а для измеренного до целого градуса — избыточная. Страница не вычисляет тригонометрические функции: она даёт приведённый угол и, в таблице, четверть, то есть два нужных ингредиента, но само значение синуса, косинуса или тангенса — отдельный шаг, и страница его не делает. Ей также нечего сказать об углах в трёх измерениях, о сферических координатах или о поворотах не вокруг фиксированной оси на плоскости: всё это использует родственные идеи, но не эту.

Как найти приведённый угол для угла в третьей четверти?

Вычтите из него 180. Угол 210 градусов в третьей четверти имеет приведённый угол 30; угол 240 даёт 60; угол 225 даёт 45. Общее правило для всего круга такое: для углов от 180 до 270 вычитают 180, для углов от 270 до 360 вычитают угол из 360, во второй четверти вычитают его из 180, а в первой берут как есть. Эта страница применяет все четыре правила одним выражением, поэтому она же справляется и с осевыми случаями, на которых эти четыре правила ошибаются.

Почему приведённый угол 180 градусов равен не 180, а нулю?

Потому что приведённый угол — это расстояние, а не поворот. Он измеряет, насколько конечная сторона удалена от горизонтальной оси, а на 180 градусах конечная сторона лежит вдоль этой оси — расстояние равно нулю. Те же рассуждения дают 90 и для 90, и для 270 градусов, поскольку эти две конечные стороны стоят на вертикальной оси и отстоят от горизонтальной на 90 градусов. Все четыре угла лежат на оси и не принадлежат никакой четверти, и таблица этой страницы так и печатает, а не подшивает их к ближайшей.

Приведённый угол может быть отрицательным?

Нет. Ответ всегда лежит между 0 и 90 градусами включительно, что бы ни было на входе. Отрицательный угол при этом не отвергается: минус 45 градусов отсчитывается по часовой стрелке от горизонтальной оси, это та же конечная сторона, что и 315 градусов, и приведённый угол равен 45. Углы по часовой стрелке и против неё одной величины имеют общий приведённый угол и различаются только тем, в какой четверти они окажутся.

Какие приведённые углы стоит запомнить?

Три: 30, 45 и 60. Любой угол, о котором спрашивает учебник, сводится к одному из них — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315 и 330 все сводятся к одному из этих трёх, — а остальная работа состоит в выборе знака по четверти. В этом сведении и весь смысл приведённого угла: углов бесконечно много, но тригонометрические значения нужно знать лишь для нескольких.

Чем приведённый угол отличается от котерминального?

Котерминальный угол — это другой угол, оканчивающийся в том же месте: 400 градусов и 40 градусов имеют одну и ту же конечную сторону, и этому посвящён калькулятор котерминальных углов. Приведённый угол — это то, насколько эта конечная сторона удалена от ближайшей горизонтальной оси, всегда между 0 и 90. У них один и тот же ввод и разные вопросы, и тригонометрическая задача обычно хочет и того и другого: чтобы конечная сторона была опознана и чтобы было известно её расстояние до оси.

У угла минус 45 такой же приведённый угол, как у 45?

Да, у обоих 45. Эти два угла — зеркальные отражения друг друга относительно горизонтальной оси, поэтому они на одинаковом расстоянии от неё, и различаются только тем, по какую сторону оси лежат: 45 градусов — в первой четверти, а минус 45, он же 315, — в четвёртой. Именно поэтому ответ на вопрос о приведённом угле сам по себе никогда не позволяет опознать исходный угол.

• Reference angle — the acute angle between the terminal side of an angle and the horizontal axis, which is the quantity this page computes, with the quadrant-by-quadrant values and the axis cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric functions — the sine, cosine and tangent whose values are recovered from a reference angle together with the sign given by the quadrant, which is what makes the reference angle useful — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit circle — the picture this page's arithmetic is really about, in which the terminal side meets a circle of radius one and the reference angle is the distance from that meeting point to the nearest axis — Wolfram MathWorld (United States)