Калькулятор косинуса
Результат
Косинус
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, построенном на этом угле. Но есть и более полезное описание: косинус — это одна координата точки. Единичная окружность устроена просто: радиус один, центр в начале координат. Начните на положительной полуоси x и повернитесь против часовой стрелки на свой угол — у точки, где вы остановились, есть абсцисса, и эта абсцисса и есть косинус. Синус — вторая координата, тангенс — их отношение, но именно косинус говорит, насколько далеко вы продвинулись вправо: какая доля пути идёт слева направо, а не снизу вверх. Из этой картинки следуют два свойства, и оба стоит знать прежде, чем пользоваться числом. Первое: косинус никогда не выходит за отрезок от минус единицы до единицы, потому что у точки на окружности радиуса один абсцисса не может оказаться вне него. При нуле градусов значение равно единице, на прямом угле — нулю, на половине оборота — минус единице, а на трёх четвертях — снова нулю. Второе: косинус — чётная функция. Поворот на отрицательный угол уводит точку под ось, но абсцисса у неё та же, что была бы при повороте на тот же угол в другую сторону, поэтому косинус минус шестидесяти градусов и косинус шестидесяти градусов — одно и то же число. В отличие от тангенса и котангенса эта функция определена при любом угле, который можно ввести: нет угла, на котором у неё нет значения, и поэтому эта страница не отказывает никогда. Единицу угла выбирают переключателем рядом с полем: градусы, радианы или grad. Таблица косинусов ниже перечисляет значения на двенадцати углах, по четыре на оборот, и прочитать этот единственный столбец сверху вниз — самый быстрый способ увидеть форму функции.
Косинус двенадцати углов на окружности
| θ (градусы) | cos θ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 30 | 0.866 |
| 45 | 0.7071 |
| 60 | 0.5 |
| 90 | 0 |
| 120 | -0.5 |
| 135 | -0.7071 |
| 150 | -0.866 |
| 180 | -1 |
| 210 | -0.866 |
| 270 | 0 |
| 330 | 0.866 |
Двенадцать углов, один столбец и вся форма функции одним взглядом: единица при нуле градусов, спад до нуля на прямом угле, через минус половину при ста двадцати до минус единицы на половине оборота, затем подъём через ноль при двухстах семидесяти к 0,866 при трёхстах тридцати. Пять значений в ней точные — единица, половина, ноль, минус половина и минус единица, — а остальные представляют собой корни, округлённые до четырёх знаков; рисунок в обоих случаях один и тот же. Две строки стоят в таблице намеренно, потому что они противоположны двум другим: триста тридцать градусов несёт то же значение, что тридцать, а двести десять — то же, что сто пятьдесят, поскольку косинус угла и косинус противоположного ему угла всегда одно и то же число. И последнее, о чтении таблицы: числа внутри неё считает программа, и десятичную часть она отделяет точкой, а в этом тексте десятичные доли записаны через запятую — это одно и то же число, записанное двумя способами, и разница только в том, кто его печатает.
Формула
cos θ = прилежащий катет ÷ гипотенуза cos θ = абсцисса точки, в которую попадает угол θ
- θ
- Угол в градусах или радианах. Может быть отрицательным и может быть больше полного оборота — важно только то, куда он попадает на окружности
- прилежащий катет
- Сторона рядом с углом θ в прямоугольном треугольнике, построенном на нём: не противолежащая углу θ и не гипотенуза
- гипотенуза
- Самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла. Она всегда не короче прилежащего катета — поэтому отношение никогда не поднимается выше единицы
Обращайтесь сюда, когда нужно одно число, а не три: косинус фазового угла, который вы собираетесь разложить на составляющие, доля силы, действующая вдоль поверхности, абсцисса точки, которую вы поворачиваете. Таблица косинусов ниже охватывает двенадцать углов, по четыре на оборот, и это самый быстрый способ увидеть форму функции целиком: она начинается с единицы, падает до нуля на прямом угле, доходит до минус единицы на половине оборота и возвращается обратно. Если вместе с косинусом нужны синус и тангенс того же угла, страница про тригонометрию выводит все три сразу, и числа совпадут до последнего знака; если же хочется увидеть саму точку, для этого построена страница про единичную окружность. А если у вас есть косинус и вы хотите вернуть угол — косинус 0,5 принадлежит не одному углу, так что ответов у этой задачи целый набор, — этим занимается страница про арккосинус.
Разобранные примеры
Угол 60 градусов
- Поверните на 60 градусов против часовой стрелки от положительной полуоси x
- Вы попадаете в точку (1/2, √3/2)
- Абсцисса этой точки и есть косинус, поэтому косинус равен 1/2 — а √3/2 принадлежит синусу
Угол, с которым страница открывается, и тот самый, который стоит сверить со страницей про тригонометрию: там на этом же угле косинус равен 0,5, а синус 0,866, и 0,5 — ровно то, что вы получите здесь. Эта пара — самое наглядное напоминание, что косинус шестидесяти градусов и синус тридцати — одно и то же число: шестьдесят и тридцать суть два острых угла одного прямоугольного треугольника.
Угол 0 градусов — наибольшее значение косинуса
- Ноль градусов — это отсутствие поворота: точка остаётся на положительной полуоси x
- Её координаты — (1, 0)
- Абсцисса равна 1, значит, косинус равен 1
Единица — это потолок. Ни на каком угле косинус не может его превысить, потому что это абсцисса точки, удалённой от начала координат на единицу, а правее единицы не лежит ни одна такая точка. Своего значения он достигает при нуле градусов и снова на каждом целом обороте после него — на 360, на 720, — и нигде между ними.
Угол во второй четверти, 120 градусов
- 120 градусов — это треть оборота, значит, точка лежит во второй четверти
- Её абсцисса теперь слева от начала координат, то есть отрицательна
- По величине значение то же, что при 60 градусах, а знак перевернулся
За прямым углом точка переходит влево от оси y, и косинус становится отрицательным — и остаётся таким до 270 градусов. Это самое полезное, что вообще сообщает знак косинуса: отрицательный косинус означает, что описываемое направление указывает назад, чем бы при этом ни занимался синус.
Отрицательный угол, минус 60 градусов
- Отрицательный угол поворачивает по часовой стрелке, а не против
- Точка оказывается под осью x, в (1/2, −√3/2)
- Её абсцисса — те же 1/2, поэтому косинус не изменился
Косинус — чётная функция: на угол и на противоположный ему угол он отвечает одинаково. Синус и тангенс так не умеют — у них обоих здесь знак меняется. В таблице с единственным столбцом это видно лучше всего, поэтому среди двенадцати углов ниже есть два, противоположных двум другим.
Ограничения
Два замечания. Значения выводятся с четырьмя знаками после запятой, а для большинства углов таблицы точное значение — это корень или дробь, которую никакая десятичная запись не заканчивает: косинус тридцати градусов равен корню из трёх, делённому на два, и 0,866 — это то, во что он превращается после округления, а не само число. Углы, на которых значение точное, — 0, 60, 90, 120, 180 и 270 градусов; на них ответ выглядит чистым, и это свойство самих углов, а не калькулятора. Во-вторых, страница не работает в обратную сторону. Косинус 0,5 принадлежит и шестидесяти градусам, и трёмстам, и бесконечно многим углам за ними, потому что функция повторяется каждый полный оборот и симметрична относительно нуля; чтобы восстановить по косинусу один угол, нужно отдельно решить, какой диапазон вам нужен, — и это задача страницы про арккосинус.
Частые вопросы
- Есть ли угол, у которого косинус не существует?
- Нет. Косинус определён при любом угле, включая те, где нет значения у тангенса: при девяноста градусах косинус равен нулю и при двухстах семидесяти он снова нуль, и оба раза это самые обыкновенные числа. В этом и состоит разница между двумя функциями, если сказать её одной фразой: тангенс — это отношение, которое может упереться в деление на ноль, а косинус — никогда. Поэтому эта страница не отказывает ни разу.
- Почему косинус 60 градусов равен синусу 30 градусов?
- Потому что шестьдесят и тридцать — два острых угла одного прямоугольного треугольника. В этом треугольнике сторона рядом с углом в шестьдесят градусов — та же сторона, что лежит против угла в тридцать, поэтому отношение, дающее косинус одного, даёт синус другого. Таблица ниже подтверждает это своим единственным числом: косинус тридцати градусов в ней равен 0,866, и ровно столько же составляет синус шестидесяти градусов.
- Что означает отрицательный косинус?
- То, что описываемое направление уходит влево от оси y — дальше четверти оборота от начала и ближе трёх четвертей. Это не ошибка и не меньшее значение: минус половина больше минус единицы, а наименьшего значения косинус достигает на половине оборота. Между девяноста и двумястами семьюдесятью градусами косинус отрицателен, а вне этого промежутка положителен.
- Можно ли вводить угол в радианах?
- Да — рядом с полем есть переключатель единиц, и угол читается одинаково при любом выборе. Шестьдесят градусов и 1,0472 радиана дают один и тот же косинус, половину. Следить стоит только за тем, в каких единицах составлен источник, с которым вы сравниваете: по умолчанию почти все подразумевают градусы.
- Почему косинус 90 градусов показывает ноль, тогда как синус того же угла равен ровно единице?
- Потому что на прямом угле точка лежит на оси y: её абсцисса равна нулю, а ордината — единице. Косинус — это абсцисса, поэтому он ноль, а синус — ордината, поэтому он единица. Оба значения точные, и эта пара лучше всего объясняет, что такое обе функции: косинус измеряет, насколько точка правая, а на этом угле она не правая вовсе.
- Почему эта страница даёт одно число там, где страница про тригонометрию даёт три?
- Потому что для этого они и сделаны. Страница про тригонометрию существует, чтобы три отношения можно было сравнить между собой, и в её таблице есть столбец на каждое. Эта страница нужна тому, кто хочет косинус и ничего больше, и единственный столбец как раз делает форму функции видимой: единица при нуле, ноль на прямом угле, минус единица на половине оборота, снова ноль на трёх четвертях и возвращение к единице. На каждом угле обе страницы совпадают до последнего знака, так что выбор здесь о подаче, а не об арифметике.
Источники
- Cosine — the function the unit circle reads off as the x-coordinate, its even symmetry, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their ranges, and why the cosine is defined everywhere while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
- Unit Circle — the circle of radius one, and why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)