Калькулятор синуса

sin θ = противолежащий катет ÷ гипотенуза sin θ = y ÷ r sin θ = −sin(−θ)

θ

Угол в градусах или радианах. Он может быть отрицательным и больше полного оборота — важно только, куда он попадает на окружности

противолежащий катет / гипотенуза

Две стороны, которые даёт прямоугольный треугольник с углом θ: сторона напротив θ и самая длинная сторона. Синус — первая, делённая на вторую, поэтому он никогда не больше единицы и не меньше минус единицы

y / r

То же отношение, прочитанное на окружности радиуса r: y — высота точки, в которую попадает угол. На единичной окружности r равен единице, поэтому синус — это просто высота

четверть

В какой из четырёх частей координатной плоскости оказался угол; отсчёт против часовой стрелки от положительной горизонтальной полуоси. Ноль означает, что угол лежит ровно на оси и не принадлежит ни одной четверти

Обращайтесь к этой странице, когда угол есть, а нужна высота, которая ему соответствует — вертикальная составляющая уклона, подъём пандуса, измеренный по его длине, разложение силы на направленную вверх часть. Это ещё и самый быстрый способ проверить знак: если угол перевалил за прямой, синус остаётся положительным до 180 градусов, и страница показывает четверть, чтобы было видно, что точка ушла влево, а вверх осталась. Таблица синусов ниже ставит те же двенадцать углов в том же порядке, что и страница косинуса, поэтому их можно читать рядом: там в одной колонке стоит прочерк всюду, где сдаётся тангенс, а на этой странице прочерка нет вообще. Если нужен синус рядом с косинусом и тангенсом, страница тригонометрии выводит все три сразу. А если на руках значение синуса и нужен обратно угол — это обратное направление, в котором каждое число от минус единицы до единицы принадлежит двум углам.

1. Угол 30 градусов — собственное начальное значение страницы

   1. Половина равностороннего треугольника — это прямоугольный треугольник с углом 30 градусов
   2. Сторона напротив угла в 30 градусов равна половине гипотенузы
   3. Одна вторая, делённая на единицу, даёт 0,5; точка выше оси и правее неё, значит четверть первая

   Угол, с которым страница загружается, и единственное показание на этой странице, точность которого видна без десятичных знаков. 30 градусов — ещё и наименьшее значение среди особых углов с ненулевым синусом: четверть оборота даёт единицу, восьмая часть оборота — 0,7071, а здесь 0,5. В столбце четверти стоит 1, потому что точка выше горизонтальной оси и правее вертикальной.

2. Угол 150 градусов — тот же синус в другой четверти

   1. 150 градусов — это на 30 градусов меньше развёрнутого угла
   2. Точка перешла влево от вертикальной оси, но осталась выше горизонтальной
   3. Высота та же, что и при 30 градусах, поэтому синус равен 0,5, а четверть стала второй

   Самый ясный случай, объясняющий, зачем эта страница вообще печатает четверть: по одному числу эти два угла не различить. 30 и 150 градусов имеют один и тот же синус 0,5, и в пределах полного оборота таких углов ровно два. Эта пара — правило, а не совпадение: синус угла равен синусу смежного с ним угла, и это видно, если сложить окружность по вертикальной оси.

3. Отрицательный угол, минус 30 градусов

   1. Минус 30 градусов — это 30 градусов, отсчитанные в другую сторону, по часовой стрелке от положительной горизонтальной полуоси
   2. Точка теперь ниже оси, а не выше, поэтому высота отрицательна
   3. Показание равно −0,5, а четверть — четвёртая

   Это и означает «нечётная функция»: меняется знак угла — меняется знак ответа. Косинус ведёт себя не так: при минус 30 градусах он даёт те же 0,866, что и при плюс 30. Разницу стоит запомнить, потому что она возвращается в каждой формуле, где встречаются обе функции, и именно из-за неё таблица ниже не симметрична относительно первой строки.

4. Угол 90 градусов, где в столбце четверти стоит ноль

   1. При прямом угле противолежащий катет и гипотенуза — это одна и та же сторона
   2. Сторона, делённая на саму себя, даёт единицу, поэтому синус равен 1 — наибольшее значение, которое он принимает
   3. Точка лежит на вертикальной оси, а не внутри четверти, поэтому четверть равна 0

   Показание 1 — верхняя граница, и ни один угол её не превышает. Ноль в столбце четверти — это соглашение, которого страница придерживается для всех четырёх углов на осях: 0, 90, 180 и 270 градусов не лежат ни в одной четверти, потому что четверть — открытая часть плоскости, а ось служит её границей. Оба нуля в таблице ниже следуют из этого правила, и именно на этой строке проще всего увидеть, почему это честный ответ, а не пропущенное значение.

Три ограничения стоит назвать прямо. Показания даны с четырьмя знаками после запятой, и большинство из них иррациональны: синус 60 градусов равен половине квадратного корня из трёх, поэтому 0,866 — это усечение, а не ответ, и короткие точные значения есть только там, где синус равен 0, 0,5 или 1 по модулю, — то есть при 0, 30, 90, 150, 180, 210, 270 и 330 градусах. Во-вторых, четверть — это название части плоскости, а не измерение, и четыре угла, лежащие на осях, не принадлежат ни одной части: в столбце для них стоит ноль. Этот ноль — не пропущенное значение и не пятая четверть; это утверждение, что угол лежит на границе. В-третьих, страница не делает обратного перехода. При синусе 0,5 угол может быть 30 градусов, 150 градусов или любым из них плюс целое число оборотов, и выбрать между ними — решение, которого эта страница не принимает. Углы больше миллиона градусов в любую сторону отклоняются, а не приводятся: на таких величинах само приведение теряет смысл.

Почему синус определён всегда, а тангенс — нет?

Потому что деление устроено наоборот. Синус — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу, а гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому дробь всегда между минус единицей и единицей и знаменатель никогда не обращается в ноль. Тангенс — это противолежащий катет, делённый на прилежащий, а при прямом угле прилежащий катет равен нулю: делить на ноль нельзя, и именно такой угол страница тангенса отклоняет. Эта страница принимает любой угол, включая 90 градусов, где показание равно единице.

Что показывает столбец четверти?

В какой из четырёх частей координатной плоскости оказался угол; отсчёт против часовой стрелки от положительной горизонтальной полуоси. Знак синуса говорит, выше точка оси или ниже, знак косинуса — левее или правее, и два знака вместе называют четверть. Страница показывает четверть потому, что сам синус этого не может: 30 и 150 градусов имеют один и тот же синус 0,5, и только четверть говорит, какой из них перед вами.

Почему для углов на осях четверть равна нулю?

Потому что 0, 90, 180 и 270 градусов лежат на оси, а не внутри четверти, а четверть — это открытая часть плоскости, границей которой служит ось. Отнести их к первой четверти значило бы утверждать неправду: точка не выше горизонтальной оси, она на ней. Ноль — честный ответ, и это то же соглашение, которого придерживается столбец четверти в таблице ниже.

Почему синус 150 градусов равен синусу 30 градусов?

Потому что синус угла равен синусу смежного с ним угла. 150 градусов — это на 30 градусов меньше развёрнутого угла, и если сложить окружность по вертикальной оси, одна точка переходит в другую, то есть обе лежат на одной высоте. Углы с одинаковым синусом всегда идут парой внутри полного оборота, и они зеркальны относительно вертикальной оси, а не горизонтальной — именно поэтому четверть меняется, а значение нет.

Бывает ли синус отрицательным?

Да, при любом угле ниже горизонтальной оси, то есть во второй половине оборота и при каждом отрицательном угле. Показание отрицательно между 180 и 360 градусами, а наименьшего значения оно достигает при 270 градусах, и это минус единица. В этом синус расходится с косинусом на четверть оборота, а не на половину: косинус уходит в минус, как только точка пересекает вертикальную ось, а синус — как только она пересекает горизонтальную.

Можно ли ввести угол в радианах?

Да — рядом с полем есть выбор единицы, и угол читается одинаково в любой из них. 30 градусов и 0,5236 радиана дают один и тот же синус, то есть 0,5, и одну и ту же четверть. Проверить стоит другое: в каких единицах задан источник, с которым вы сравниваете, потому что большинство печатных таблиц составлено в градусах, а большинство языков программирования — нет.

• Sine — the opposite-over-hypotenuse ratio, its odd symmetry, and its period of one full turn — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of all six ratios, their ranges, and why the sine is defined at every angle while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — the circle of radius one, the four quadrants it is divided into, and why a point on it is read as a cosine and a sine — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)