Калькулятор арксинуса

θ = arcsin x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] второе решение на [0°, 360°) — это 180° − θ

x

Значение синуса, с которого вы начинаете. Оно должно лежать между минус единицей и единицей: синус угла не выходит из этой полосы, поэтому значение вне её не соответствует никакому углу

θ

Угол, который возвращает функция; его называют главным значением. Он всегда лежит между минус девяноста и девяноста градусами и печатается и в градусах, и в радианах

180° − θ

Второй угол круга с тем же синусом. Отражения относительно вертикальной оси имеют один и тот же синус, поэтому партнёр находится вычитанием из ста восьмидесяти, а не прибавлением

Берите эту страницу, когда у вас есть отношение, а нужен угол: уклон, измеренный и записанный как синус, составляющая силы, выраженная долей от целого, показание из таблицы, где было сведено только отношение. Арксинус нужен и тогда, когда в задаче о треугольнике даны две стороны и спрашивается угол против одной из них, — синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Рядом стоят две страницы. Если нужны три отношения при данном угле, а не угол по отношению, работает страница тригонометрии: она идёт в обратную сторону, и обе совпадают всюду, где определены. А если на руках отношение прилежащего катета к гипотенузе, это арккосинус — его область значений покрывает верхнюю половину круга, а не правую.

1. Значение синуса 0,5

   1. Значение лежит внутри полосы от минус единицы до единицы, значит угол существует
   2. Тридцать градусов — это угол из главного диапазона, синус которого равен 0,5, поэтому калькулятор покажет тридцать градусов
   3. В радианах это тридцать умножить на пи и разделить на сто восемьдесят, то есть одна шестая пи, или 0,5236

   Значение, с которым страница открывается, и то, что показывает цену выбранного диапазона. У ста пятидесяти градусов синус тоже 0,5 — это отражение тридцати градусов относительно вертикальной оси, — но функция возвращает одно число, и тридцать то, которое попало в диапазон. Таблица делает потерянный угол видимым: 0,5 стоит шестой из её девяти строк, а третий столбец этой строки равен 150. Оба угла отвечают на один и тот же вопрос; вернуть функция вправе только один из них.

2. Значение синуса 0,25, не табличный угол

   1. Четверть не является синусом никакого угла из привычной таблицы, поэтому ответ будет десятичной дробью
   2. Угол, синус которого равен 0,25, — это 14,48 градуса с точностью до двух знаков
   3. В радианах тот же угол равен 0,2527, то есть примерно четверти самого значения синуса

   Большинство значений попадает сюда, а не на табличный угол, и эта строка показывает, как выглядит настоящий поиск по таблице. На столбец радиан стоит взглянуть: для малых углов радианная мера очень близка к самому значению синуса, поэтому 0,2527 стоит рядом с 0,25. Это приближение малых углов, и то, что оно проявляется в таблице само собой, — самое короткое объяснение того, почему радиан является единицей математического анализа.

3. Отрицательное значение синуса, минус 0,5

   1. Минус 0,5 лежит внутри полосы, поэтому калькулятор находит угол
   2. Угол из главного диапазона, синус которого равен минус 0,5, — это минус тридцать градусов
   3. Радианы сохраняют тот же знак: минус 0,5236

   Второе место, где эта страница читается иначе, чем страницы двойного и половинного угла. Там отрицательный угол приводился к диапазону до всех прочих действий и возвращался как положение в верхней половине круга. Здесь ответ остаётся знаковым, потому что главный диапазон — это полоса от минус девяноста до девяноста, и половина её лежит ниже нуля. Тридцать градусов ниже горизонтали и тридцать градусов выше — один и тот же угол с противоположными знаками, и функция возвращает тот, знак которого совпадает со знаком входа. Строка таблицы для минус 0,5 показывает оба прочтения: минус тридцать во втором столбце и 210 в третьем.

4. Значение синуса 1, на краю полосы

   1. Единица — наибольший синус, какой бывает у угла, поэтому ответ упирается в верхнюю границу главного диапазона
   2. У девяноста градусов синус равен единице, и ни у одного угла он не больше
   3. В радианах прямой угол равен половине пи, то есть 1,5708

   Строка, где два решения сливаются в одно. Любое другое значение синуса из полосы принадлежит двум разным углам, а единица принадлежит девяноста градусам и больше ничему на круге: кривая синуса разворачивается в этой точке, поэтому отражение девяноста градусов относительно вертикальной оси снова даёт девяносто градусов. Таблица показывает это наглядно — второй и третий столбцы последней строки оба читаются как 90. Это не продублированная запись, это кривая, выравнивающаяся на своей вершине.

Эта страница не делает трёх вещей. Первое: значение вне полосы от минус единицы до единицы не имеет ответа и отклоняется, а не приближается, — 1,5 не является синусом никакого угла. Второе: ответ — только главное значение. Любое значение синуса между минус единицей и единицей принадлежит двум углам в пределах одного оборота и бесконечно многим с учётом оборотов, а страница возвращает то, что лежит в полосе от минус девяноста до девяноста; если нужен другой угол, он есть в третьем столбце таблицы, а на сколько целых оборотов дальше лежит ещё одна копия, здесь не скажет ничто. Третье: радианы печатаются с четырьмя знаками, а градусы — с двумя, поэтому значение, которое после округления попадает на табличный угол, напечатается как этот угол, — арксинус 0,866 печатается как шестьдесят градусов, хотя точный синус шестидесяти градусов чуть больше 0,866.

Почему арксинус 0,5 даёт 30 градусов, а не 150?

Потому что у обоих углов синус равен 0,5, а функция может вернуть только одно число. Область значений арксинуса закреплена как полоса от минус девяноста градусов до девяноста, и тридцать — тот угол, который в неё попадает. Сто пятьдесят градусов — совершенно законный ответ уравнения, и таблица на этой странице показывает его в третьем столбце, но функция возвращает не его.

Что произойдёт, если ввести значение больше единицы?

Калькулятор откажет, потому что ни у одного угла синус не бывает больше единицы. Синус угла остаётся между минус единицей и единицей, что бы угол ни делал, поэтому область значений обратной функции — ровно эта полоса, и ничто за её пределами не соответствует никакому углу. Это не то же самое, что значение 1,5 в делении, где большое число просто даёт маленькое: здесь у самого вопроса нет ответа.

Почему для отрицательного значения ответ отрицательный?

Потому что главный диапазон идёт от минус девяноста градусов до девяноста, и половина его лежит ниже нуля. Функция синуса нечётна — синус минус тридцати равен минус синусу тридцати, — поэтому обращение её на отрицательном значении даёт отрицательный угол. Равносильный угол в нижней половине круга, 330 градусов для входа минус 0,5, задаёт то же направление; калькулятор возвращает знаковый.

Как найти угол по значению синуса вручную?

Посмотрите значение в таблице синусов или оцените по опорным точкам: синус 0,5 — это тридцать градусов, синус 0,7071 — сорок пять, а синус 0,866 — шестьдесят. Для всего, что попадает между ними, практичнее взять калькулятор. Единственное, что стоит помнить при ручном счёте, — это второй угол: любое значение синуса внутри полосы принадлежит двум углам за один оборот, а таблица обычно приводит только первый.

Чему равен арксинус в радианах?

Тому же углу, измеренному иначе. Тридцать градусов — это одна шестая пи, то есть 0,5236 радиана, и калькулятор печатает обе записи, чтобы перевод никогда не приходилось делать вручную. Радиан — та единица, в которой производная синуса равна косинусу, поэтому всё, что связано с математическим анализом, записывает углы так, а всё, что измеряется транспортиром, — в градусах.

Арксинус — это то же самое, что единица, делённая на синус?

Нет, и эти двое легко путаются, потому что в обоих названиях звучит слово синус. Арксинус обращает синус: он берёт 0,5 и возвращает тридцать градусов. Единица, делённая на синус, берёт 0,5 и возвращает 2 — это косеканс тридцати градусов, то есть отношение, а не угол. Обозначение только усиливает путаницу: обратную функцию часто пишут с маленькой минус единицей сверху, и это выглядит ровно как степень.

• Inverse Sine — the function this page computes, its principal range, and why the range has to be chosen at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, with the ranges and the branch cuts — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the band each of them stays inside — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams — Math is Fun (United Kingdom)