Калькулятор арктангенса

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) второе решение на [0°, 360°) — это θ + 180°

x

Значение тангенса; это может быть любое действительное число. Здесь ничто не отклоняется, потому что тангенс принимает каждое действительное значение где-то на круге

θ

Угол, который возвращает функция; он всегда строго между минус девяноста градусами и девяноста. Оба конца исключены, потому что тангенса нет ни в одном из них

θ + 180°

Второй угол круга с тем же тангенсом. Тангенс повторяется каждые пол-оборота, поэтому партнёр находится прибавлением, а не отражением относительно оси

Берите эту страницу всякий раз, когда имеющееся у вас отношение — это уклон: превышение над заложением, уклон дороги или крыши, направление вектора на плоскости. Она же нужна, когда две известные стороны — те, что сходятся под прямым углом, потому что тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему; и это единственная из трёх, которая никогда не отклонит вход за то, что он слишком велик. Рядом стоят два соседа. Если отношение — противолежащий катет к гипотенузе, это арксинус, чья область значений покрывает правую половину круга вместо средней полосы. А если нужно значение тангенса при данном угле, а не угол по тангенсу, работает страница тангенса — она идёт в обратную сторону, и там же объясняется, почему на прямом угле отношение взрывается.

1. Значение тангенса 1

   1. Значение принимается любое, значит угол существует
   2. Сорок пять градусов — это угол из области значений, тангенс которого равен единице, поэтому страница покажет сорок пять градусов
   3. В радианах это четверть пи, то есть 0,7854

   Значение, с которым страница открывается, и самый маленький пример партнёра через пол-оборота. Тангенс единицы принадлежит ещё и двумстам двадцати пяти градусам, а это сорок пять плюс пол-оборота: третий столбец таблицы в этой строке равен 225. Обратите внимание, чем партнёр не является: он не отражение сорока пяти градусов ни относительно одной из осей, как это было бы на страницах арксинуса и арккосинуса. Тангенс просто повторяется через пол-оборота, и это то же самое утверждение, что период тангенса равен ста восьмидесяти градусам, а не трёмстам шестидесяти.

2. Отрицательное значение тангенса, минус 1

   1. Значение принимается, и оно отрицательное, поэтому ответ тоже будет отрицательным
   2. Угол из области значений, тангенс которого равен минус единице, — это минус сорок пять градусов
   3. Радианы сохраняют тот же знак: минус 0,7854

   Знаковое соглашение, как на странице арксинуса и в отличие от страницы арккосинуса. Отрицательный уклон даёт отрицательный угол, потому что область значений — полоса от минус девяноста до девяноста, и половина её лежит ниже нуля. Партнёр здесь — сто тридцать пять градусов, то есть минус сорок пять плюс пол-оборота; он же оказывается отражением сорока пяти градусов относительно вертикальной оси, но это совпадение принадлежит данному значению, а не странице, и перестаёт держаться, как только значение перестаёт быть ровно минус единицей.

3. Значение тангенса 0,5, не табличный угол

   1. Половина не является тангенсом никакого угла из привычной таблицы, поэтому ответ будет десятичной дробью
   2. Угол, тангенс которого равен 0,5, — это 26,57 градуса
   3. В радианах тот же угол равен 0,4636

   Большинство уклонов попадает на такую строку, а не на табличный угол. Здесь же яснее всего видна форма ответа: с ростом значения угол поднимается к девяноста и никогда его не касается, а с приближением значения к нулю угол опускается к нулю. Тангенс малого угла очень близок к самому углу в радианах — 0,4636 против 0,5, — и это то же приближение малых углов, которое всплывает на странице арксинуса, только здесь оно грубее.

4. Значение тангенса миллион, на краю области значений

   1. Миллион здесь обычный вход, поскольку никакой границы не применяется
   2. Угол, тангенс которого равен миллиону, — это 89,99994 градуса, то есть на волосок ниже девяноста
   3. Двух знаков после запятой не хватает, чтобы показать разницу, поэтому страница печатает девяносто градусов

   Строка, ради предупреждения о которой эта страница и существует. Девяносто градусов в область значений не входит и никогда не войдёт — тангенса там нет вообще, — но вход такого размера подходит достаточно близко, чтобы напечатанный ответ округлился до этой границы. Напечатанное число честно относительно самого себя: угол равен девяноста градусам с точностью до показанных знаков. Ошибкой было бы прочитать его как точное значение или, того хуже, решить, будто тангенс девяноста градусов равен миллиону, а не не определён. Увеличьте вход ещё, до ста миллионов, и истинный угол подойдёт к девяноста ближе, а показание не изменится.

Эта страница не делает трёх вещей. Первое: концы области значений никогда не возвращаются. Девяносто градусов и минус девяносто исключены, потому что тангенса там нет, поэтому ответ подходит к ним, не доходя; для входов, достаточно больших, чтобы разница ушла ниже двух знаков после запятой, страница всё равно напечатает граничное значение, и это показание округлённое, а не точное. Второе: ответ — только главное значение. Тангенс повторяется каждые пол-оборота, поэтому каждое значение на этой странице принадлежит двум углам за один оборот и бесконечно многим с учётом оборотов, а страница возвращает тот, что строго между минус девяноста и девяноста; партнёр, отстоящий на пол-оборота, есть в третьем столбце таблицы. Третье: радианы печатаются с четырьмя знаками, а градусы — с двумя, поэтому значение, которое после округления оказывается рядом с табличным углом, напечатается как этот угол, — арктангенс 1,7321 печатается как шестьдесят градусов, хотя точный тангенс шестидесяти градусов чуть меньше 1,7321.

Почему здесь разрешено любое значение, а две другие страницы отказывают всему, что больше единицы?

Потому что тангенс ничем сверху не ограничен. Арксинус и арккосинус берут отношение двух сторон, у которого самая длинная сторона стоит внизу, поэтому их вход не может превысить единицу; тангенс — это противолежащий катет к прилежащему, и ни один из них не является самой длинной стороной, поэтому отношение может быть сколь угодно большим, пока треугольник крутой. Тангенс миллиона — это уклон стены, которая в миллион раз выше, чем шире.

Почему очень большое значение даёт ровно 90 градусов?

Строго говоря, не даёт: оно даёт угол чуть ниже девяноста, который до него округляется. Девяносто градусов в область значений не входит, потому что тангенса там нет — отношение делило бы на ноль. С ростом входа ответ поднимается к девяноста и не приходит, поэтому начиная примерно с 11 500 напечатанный ответ равен девяноста градусам с точностью до двух показанных знаков. При этой точности показание верно, а как точное значение оно неверно.

Почему второй угол отстоит на пол-оборота, а не является отражением?

Потому что тангенс повторяется каждые сто восемьдесят градусов, а не каждые триста шестьдесят. Прибавление пол-оборота к углу меняет знак и у противолежащего, и у прилежащего катета, поэтому их отношение остаётся прежним. Страницы арксинуса и арккосинуса находят второй угол отражением относительно оси, потому что синус и косинус общие у зеркальных отражений; тангенс таким не является, поэтому его партнёр берётся прибавлением, а не вычитанием.

Как найти угол по тангенсу вручную?

Запомните, что тангенс единицы — это сорок пять градусов, а тангенс 1,7321 — шестьдесят, остальное возьмите из таблицы или с калькулятора, а затем прибавьте сто восемьдесят градусов, если нужен второй угол на круге. Это та обратная функция, к которой стоит идти за уклоном, то есть за превышением над заложением, и та, которую берут, когда две известные стороны — те, что сходятся под прямым углом.

Почему для отрицательного значения ответ отрицательный?

Потому что область значений идёт от минус девяноста градусов до девяноста, и половина её лежит ниже нуля. Отрицательный тангенс означает, что противолежащий и прилежащий катеты имеют противоположные знаки, то есть уклон идёт вниз, а не вверх, и страница сообщает его со знаком входа. Партнёрский угол, отстоящий на пол-оборота, положительный: минус сорок пять и сто тридцать пять — это один и тот же уклон в противоположных направлениях.

Арктангенс — это то же самое, что единица, делённая на тангенс?

Нет. Арктангенс обращает тангенс: подайте ему единицу, и он вернёт сорок пять градусов. Единица, делённая на тангенс, отвечает на единицу единицей — это котангенс сорока пяти градусов, отношение, а не угол. Совпадают они только на сорока пяти градусах, и именно такое совпадение делает путаницу такой живучей.

• Inverse Tangent — the function this page computes, with the open range and the behaviour at large values — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, and why only this one accepts every real number — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the definition of the ratio, its period of half a turn, and the angles at which it has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams side by side — Math is Fun (United Kingdom)