Калькулятор котангенса

cot θ = 1 ÷ tan θ cot θ = прилежащий катет ÷ противолежащий катет cot θ = cos θ ÷ sin θ

θ

Угол в градусах или радианах. Может быть отрицательным и может быть больше полного оборота — важно только то, куда он попадает на окружности

прилежащий / противолежащий катет

Два катета прямоугольного треугольника с углом θ: сторона рядом с θ и сторона напротив неё. Котангенс — это первый, делённый на второй, то есть перевёрнутый тангенс

tan θ

Тангенс того же угла. Единица, делённая на него, даёт котангенс всюду, где он не равен нулю, — а на прямом угле значения нет у тангенса, и котангенс там равен нулю

Обращайтесь сюда, когда нужное отношение ставит прилежащий катет наверх — уклон, записанный как смещение на подъём, а не подъём на смещение, скорость набора высоты, названная наоборот, угол, известный в градусах и нужный как величина, обратная своему тангенсу. Таблица котангенсов ниже даёт оба столбца, поэтому она же — самый быстрый способ увидеть, как тангенс и котангенс меняются местами: прочерк в одном столбце стоит ровно там, где в другом стоит ноль. Если вам нужен тангенс, а не обратная ему величина, да ещё вместе с синусом и косинусом, страница про тригонометрию выводит все три сразу, и числа совпадут до последнего знака. А если у вас есть котангенс и вы хотите вернуть угол, это обратное направление — другая задача, и ответов у неё больше одного.

1. Угол 45 градусов — один из четырёх целых ответов

   1. При 45 градусах оба катета прямоугольного треугольника равны
   2. Котангенс — это прилежащий катет, делённый на противолежащий
   3. Равные величины при делении дают ровно единицу, поэтому ответ 1, а не 0,9999

   Угол, с которым страница открывается, и первое из четырёх значений, которые у этой функции выходят целыми. При 45 градусах и тангенс равен единице, и это не совпадение: если число обратно самому себе, функция и обратная ей функция в этой точке совпадают. Остальные три целых ответа — ноль при 90 и при 270 градусах и минус единица при 135; всё прочее здесь либо корень, либо величина, обратная корню, и поэтому таблица ниже записана с четырьмя знаками после запятой.

2. Угол 30 градусов

   1. Тангенс 30 градусов равен √3/3, то есть примерно 0,5774
   2. Котангенс — это единица, делённая на него, то есть √3
   3. Округлённый до четырёх знаков, √3 равен 1,7321

   Котангенс тридцати градусов — то же число, что тангенс шестидесяти, и это правило, а не совпадение: два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают девяносто, а сторона напротив одного из них — та же сторона, что рядом с другим. Поэтому котангенс угла всегда равен тангенсу дополнительного к нему угла, и таблица ниже показывает эту пару на соседних строках.

3. Угол во второй четверти, 135 градусов

   1. 135 градусов — это 45 градусов сверх прямого угла
   2. Точка лежит во второй четверти, поэтому прилежащий катет теперь отрицателен, а противолежащий по-прежнему положителен
   3. Отрицательное, делённое на положительное, даёт отрицательное, значит, котангенс равен −1

   Ровно минус то, что было при 45 градусах, и это правило для всей второй четверти: величина котангенса не меняется по сравнению со сложенным в неё углом первой четверти, меняется только знак. Абсолютная величина возвращается к единице потому, что треугольник тот же самый, что и при 45 градусах, — просто расположен иначе.

4. Угол 90 градусов, где котангенс равен нулю

   1. На прямом угле прилежащий катет сжался до нуля
   2. Котангенс — это прилежащий катет, делённый на противолежащий, то есть ноль, делённый на положительное число
   3. Ноль, делённый на что угодно ненулевое, равен нулю, значит, ответ 0

   Это тот самый угол, на котором отказывает страница про тангенс, а здесь он даёт обыкновенный ноль. Никаких особых случаев тут нет: в отношении ноль стоит сверху, а не снизу, а делить ноль на число можно. Это самое наглядное следствие взаимности — на этом угле две функции отличаются не величиной, а тем, какая из них определена, а какая нет.

Три ограничения, о которых стоит сказать прямо. Значения выводятся с четырьмя знаками после запятой, и большинство из них иррациональны: котангенс тридцати градусов равен корню из трёх, так что 1,7321 — это усечение, а не сам ответ. Точных целых значений на этой странице всего три: единица при 45 градусах, ноль при 90 и 270 и минус единица при 135, — и именно поэтому таблица выглядит неровной: одни строки попадают на круглые числа, а остальные нет. Во-вторых, у котангенса нет значения при нуле градусов, при ста восьмидесяти и на любом угле, который сводится к ним, включая отрицательные углы и углы больше полного оборота; страница отказывает на всех них, и тот же отказ распространяется на любой угол, полученный прибавлением целого оборота к этим двум. В-третьих, страница не обращает вычисление. По котангенсу 1,7321 угол может быть и тридцатью градусами, и двумястами десятью, и любым из бесконечно многих углов, отстоящих на пол-оборота, а выбор между ними требует решения, которого эта страница не принимает.

Почему у котангенса нет значения при 0 градусов?

Потому что котангенс — это прилежащий катет, делённый на противолежащий, а при нуле градусов противолежащий катет сжался в ничто. Делить на ноль нельзя, и ответа нет. Это тот же отказ, что у тангенса при девяноста градусах, сдвинутый на четверть оборота: функции взаимно обратны, поэтому там, где одна равна нулю, другая не определена, — нули и полюсы меняются местами.

Котангенс — это просто единица, делённая на тангенс?

Да, и это самое короткое его описание. Он же равен косинусу, делённому на синус, и прилежащему катету, делённому на противолежащий, — все три формулировки говорят одно и то же. Осторожным надо быть в одном месте: там, где тангенс равен нулю или не определён. Единица, делённая на ноль, не число, поэтому при нуле и ста восьмидесяти градусах котангенс не определён, хотя тангенс там определён, а при девяноста и двухстах семидесяти он равен нулю — там, где тангенса нет.

Почему котангенс 90 градусов равен нулю?

Потому что на прямом угле прилежащий катет сжался до нуля, а противолежащий достиг наибольшей длины. Отношение, у которого ноль стоит сверху, равно нулю, и это обыкновенный ноль — никаких особых случаев. Это тот самый угол, на котором отказывает страница про тригонометрию, и весь смысл здесь в контрасте: две функции меняются местами в том, у какой из них есть ответ, а у какой нет.

Что означает отрицательный котангенс?

То, что катеты треугольника имеют разные знаки, — так бывает во второй и четвёртой четвертях. За прямым углом прилежащий катет направлен в другую сторону, а противолежащий нет, поэтому отношение становится отрицательным и остаётся таким до ста восьмидесяти градусов; в третьей четверти, где отрицательны оба, оно снова положительно, а за двумястами семьюдесятью опять отрицательно.

Котангенс повторяется, и как часто?

Через каждые сто восемьдесят градусов — вдвое чаще, чем синус и косинус. Прибавление ста восьмидесяти градусов меняет знак и у прилежащего катета, и у противолежащего, а отношение двух перевёрнутых величин не меняется. Поэтому у тридцати и у двухсот десяти градусов котангенс один и тот же, 1,7321, и таблица ниже показывает эту пару на строках, отстоящих друг от друга на восемь позиций. Синусу и косинусу, наоборот, нужен целый оборот.

Можно ли вводить угол в радианах?

Да — рядом с полем есть переключатель единиц, и при любом выборе читается один и тот же угол. Сорок пять градусов и 0,7854 радиана дают один и тот же котангенс, единицу. Как всегда, стоит проверить, в каких единицах составлен источник, с которым вы сравниваете: большинство таблиц написано в градусах.

• Cotangent — the reciprocal of the tangent, its period of half a turn, and its poles at zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions and domains of all six ratios, including where each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the function this one inverts, its own poles at ninety and two hundred and seventy degrees, and the reciprocal relationship between the two — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the ratios in a right triangle, and how the remaining three follow from them — Math is Fun (United Kingdom)