Калькулятор тангенса

tan θ = противолежащий катет ÷ прилежащий катет tan θ = sin θ ÷ cos θ tan θ = наклон

θ

Угол в градусах или радианах. Он может быть отрицательным и больше полного оборота — важно только, куда он попадает на окружности

противолежащий катет / прилежащий катет

Два катета прямоугольного треугольника с углом θ: сторона напротив θ и сторона рядом с ним. Тангенс — первый, делённый на второй; гипотенуза в нём не участвует вовсе

sin θ ÷ cos θ

То же отношение через две другие функции. Именно эта запись объясняет полюсы: там, где косинус равен нулю, деление не имеет ответа, а косинус равен нулю при 90 и 270 градусах

наклон

Что это отношение означает на единичной окружности: угловой коэффициент прямой из начала координат в точку, куда попадает угол. Тангенс, равный единице, — это прямая под 45 градусов, и чем больше значение, тем круче прямая

Обращайтесь к этой странице, когда нужна не высота, а крутизна: уклон крыши, выраженный как отношение подъёма к заложению, уклон дороги, угол, под которым нужно поставить лестницу или пандус, направление прямой через две точки. Это же та страница, которую стоит открыть, когда хочется узнать крутизну одним числом, а не двумя: синус и косинус каждый сообщают лишь половину направления, а тангенс — и есть угловой коэффициент этой прямой. Две вещи стоит держать в голове при чтении. Если угол перевалил за 90 градусов, показание уходит в минус и продолжает расти по величине с другой стороны, и когда вы работаете по картинке, а не по координатам, этот знак говорит, что прямая наклонилась в другую сторону, а не что крутизна изменилась. А если угол приближается к прямому, показание растёт без ограничения — так страница сообщает, что прямая стала вертикальной; при ровно 90 градусах показания нет, потому что у вертикальной прямой нет заложения, на которое можно делить. Таблица тангенсов ниже даёт то же число на двенадцати углах. Если нужны синус и косинус рядом, страница тригонометрии выводит все три; если нужна обратная величина этого числа, это другая функция, и полюсы у неё в двух других местах.

1. Угол 45 градусов — единственный целый ответ

   1. При 45 градусах катеты прямоугольного треугольника равны
   2. Тангенс — это противолежащий катет, делённый на прилежащий
   3. Равные величины при делении дают ровно единицу, поэтому показание равно 1, а не 0,9999

   Угол, с которым страница загружается, и единственный угол, при котором эта функция даёт целое число. 45 градусов — ещё и угол, прямая которого имеет угловой коэффициент единица, то есть единица вверх на единицу вбок. Все остальные показания на этой странице — либо корень, либо обратная величина корня, поэтому таблица ниже записана с четырьмя знаками после запятой.

2. Угол 30 градусов

   1. При 30 градусах противолежащий катет равен половине гипотенузы
   2. Прилежащий катет — это другой катет, равный половине квадратного корня из трёх
   3. Половина, делённая на половину корня из трёх, даёт единицу, делённую на корень из трёх, то есть примерно 0,5774

   Тангенс 30 градусов — это котангенс 60 градусов, и это правило, а не совпадение: два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90 градусов, а сторона напротив одного из них есть сторона рядом с другим. Поэтому тангенс угла всегда равен котангенсу дополнительного к нему угла, и обратное утверждение — вторая половина того же факта.

3. Угол во второй четверти, 135 градусов

   1. 135 градусов — это 45 градусов сверх прямого угла
   2. Точка во второй четверти, поэтому прилежащий катет теперь отрицателен, а противолежащий всё ещё положителен
   3. Положительное, делённое на отрицательное, даёт минус, поэтому тангенс равен −1

   Ровно минус показание для 45 градусов, и это узор для всей второй четверти: величина тангенса та же, что у сложенного в неё угла первой четверти, а меняется только знак. Это ещё и случай, о котором страница синуса рассказывает наоборот: при 135 градусах синус всё ещё положителен и равен 0,7071, потому что точка выше оси; тангенс же отрицателен, потому что заложение ушло влево.

4. Угол 210 градусов, на половину оборота дальше 30

   1. 210 градусов — это 30 градусов плюс развёрнутый угол
   2. Прибавление 180 градусов меняет знак и у противолежащего, и у прилежащего катета, поэтому оба отрицательны
   3. Отрицательное, делённое на отрицательное, даёт положительное, а величины не изменились, поэтому показание снова 0,5774

   Самая наглядная демонстрация полуоборотного периода и место, где эта функция расходится с синусом и косинусом: тем двум нужен целый оборот, чтобы вернуться к тому же значению, а эта уже вернулась после половины. Причина в том, что отношению всё равно, когда обе величины в нём меняют знак. В таблице ниже та же пара стоит на строках, отстоящих на восемь.

Три ограничения стоит назвать прямо. Показания даны с четырьмя знаками после запятой, и большинство из них иррациональны: тангенс 30 градусов равен единице, делённой на квадратный корень из трёх, поэтому 0,5774 — это усечение, а не ответ, и точные конечные значения есть только там, где тангенс равен нулю, единице или минус единице, — это строки 0, 45, 135 и 180 градусов. Во-вторых, у тангенса нет значения при 90 градусах, при 270 градусах и при любом угле, который приводится к одному из них, — включая отрицательные углы и углы больше полного оборота, поэтому минус 90 и 450 отклоняются по той же причине, что и 90. Там, где соседнее показание было бы огромным, страница выдаёт сообщение об ошибке, а не очень большое число, потому что последовательность ни к чему не сходится: значения растут без предела при подходе к углу с одной стороны и падают из нижней части диапазона при подходе с другой. В-третьих, страница не делает обратного перехода. При тангенсе, равном единице, угол может быть 45 градусов, 225 градусов или любым из бесконечного множества углов, отстоящих на половину оборота, и выбрать между ними — решение, которого эта страница не принимает.

Почему у тангенса нет значения при 90 градусах?

Потому что тангенс — это противолежащий катет, делённый на прилежащий, а при прямом угле прилежащий катет сжимается в ничто. Делить на ноль нельзя, поэтому печатать нечего. Дело не в том, что значение огромно: показания действительно растут без предела, когда угол подходит к 90, но при самом 90 числа нет, и с двух сторон подхода значения даже не стремятся в одно место. 270 градусов — тот же отказ на половину оборота позже, и любой угол, который приводится к одному из этих двух, отклоняется так же.

Тангенс — это просто синус, делённый на косинус?

Да, и это самое короткое его описание. Он же — противолежащий катет, делённый на прилежащий, и он же угловой коэффициент прямой, которую угол задаёт; все три записи говорят одно и то же. Больше всего объясняет деление: там, где косинус равен нулю, у дроби нет ответа, а косинус равен нулю при 90 и 270 градусах — как раз там, где в таблице ниже стоят два прочерка.

Почему тангенс 135 градусов отрицателен, а синус положителен?

Потому что тангенс смотрит и на заложение, а не только на подъём. При 135 градусах точка всё ещё выше горизонтальной оси, поэтому синус остаётся положительным и равен 0,7071, но она перешла влево от вертикальной оси, поэтому прилежащий катет стал отрицательным и деление ушло в минус вместе с ним. Знак тангенса говорит о том, совпадают ли катеты по направлению, а не о том, как высоко лежит точка, — поэтому он меняется на четверть оборота раньше, чем синус.

О чём говорит очень большой тангенс?

О том, что прямая почти вертикальна. Показание — это наклон, поэтому тангенс, равный десяти, означает десять единиц вверх на одну вбок, и он растёт без ограничения, когда угол приближается к 90 градусам снизу. По другую сторону от 90 та же прямая появляется в самом низу диапазона и поднимается обратно к нулю, поэтому значения с двух сторон от полюса вовсе не близки друг к другу — они разнесены так далеко, как только может быть разнесено число.

Как часто тангенс повторяется?

Каждую половину оборота, то есть вдвое чаще, чем синус и косинус. Прибавление 180 градусов меняет знак и у противолежащего катета, и у прилежащего, а отношение двух изменивших знак величин остаётся прежним, поэтому 30 и 210 градусов имеют один и тот же тангенс 0,5774. Синусу и косинусу, напротив, нужен целый оборот, чтобы вернуться к тому же значению.

Можно ли ввести угол в радианах?

Да — рядом с полем есть выбор единицы, и угол читается одинаково в любой из них. 45 градусов и 0,7854 радиана дают один и тот же тангенс, то есть единицу. Как всегда, проверить стоит другое: в каких единицах задан источник, с которым вы сравниваете, потому что большинство печатных таблиц составлено в градусах.

Почему в формуле написано tan, а не tg?

Потому что здесь принято международное обозначение tan: так записаны и формула, и столбец таблицы. В российских учебниках тангенс обозначают tg, и это ровно та же функция — tan θ и tg θ означают одно и то же, так что никакой разницы в ответе нет. На ввод это тоже не влияет: в поле этой страницы вводится угол, а не имя функции.

• Tangent — the opposite-over-adjacent ratio, its period of half a turn, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions, ranges and domains of all six ratios, including the angles at which each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Cotangent — the reciprocal of this function, whose own poles sit at zero and one hundred and eighty degrees instead — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)