Калькулятор арккосинуса

θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] второе решение на [0°, 360°) — это 360° − θ

x

Значение косинуса, с которого вы начинаете; оно лежит между минус единицей и единицей. Вне этой полосы такого косинуса нет ни у одного угла, и страница откажет, а не приблизит

θ

Угол, который возвращает функция. В отличие от арксинуса он никогда не отрицателен, потому что область значений покрывает верхнюю половину круга, а не правую

360° − θ

Второй угол круга с тем же косинусом. Отражения относительно горизонтальной оси имеют один и тот же косинус, поэтому партнёр находится вычитанием из полного оборота здесь и из половины — на странице арксинуса

Берите эту страницу, когда на руках отношение прилежащего катета к гипотенузе, а нужен угол между ними: угол лестницы к стене, угол между двумя векторами, посчитанный через их скалярное произведение, направление, восстановленное из курса, который был записан косинусом. Она же нужна, когда в задаче о треугольнике даны три стороны и спрашивается угол: теорема косинусов выдаёт косинус и на этом останавливается. Рядом стоят два соседа. Если отношение, которое у вас есть, — это противолежащий катет к гипотенузе, вам нужен арксинус: его область значений покрывает правую половину круга вместо верхней, а ответ знаковый, и в первой четверти обе совпадают, а дальше расходятся. А если нужно значение косинуса при данном угле, а не угол по косинусу, работает страница косинуса — она идёт в обратную сторону.

1. Значение косинуса 0,5

   1. Значение лежит внутри полосы, значит угол существует
   2. Шестьдесят градусов — это угол из области значений, косинус которого равен 0,5, поэтому страница покажет шестьдесят градусов
   3. В радианах это шестьдесят умножить на пи и разделить на сто восемьдесят, то есть одна треть пи, или 1,0472

   Значение, с которым страница открывается, и то, на котором видно, как две обратные страницы стыкуются между собой. Арксинус 0,5 равен тридцати градусам, арккосинус 0,5 — шестидесяти, а тридцать плюс шестьдесят дают девяносто. Это не совпадение, а тождество, связывающее обе страницы, и оно верно для каждого значения из полосы. На этом же значении видно, откуда берётся второй угол: у трёхсот градусов косинус тоже 0,5, и триста — это отражение шестидесяти относительно горизонтальной оси, поэтому третий столбец таблицы в этой строке равен 300.

2. Отрицательное значение косинуса, минус 0,5

   1. Минус 0,5 лежит внутри полосы, поэтому страница находит угол
   2. Угол из области значений, косинус которого равен минус 0,5, — это сто двадцать градусов
   3. В радианах это две трети пи, то есть 2,0944

   Строка, объясняющая, почему эта страница никогда не возвращает отрицательный ответ. Отрицательный косинус принадлежит тупому углу, и область значений справляется с этим тем, что уходит за девяносто градусов, а не ниже нуля: сто двадцать градусов, а не минус шестьдесят. Страница арксинуса получает тот же вход и отвечает про то же направление знаковым углом, минус шестьдесят градусов для минус 0,5. Оба ответа верны; просто две функции по-разному делят круг между собой, и тождество всё равно держится: арксинус минус 0,5 равен минус тридцати, а минус тридцать плюс сто двадцать дают девяносто.

3. Значение косинуса 0,25, не табличный угол

   1. Четверть не является косинусом никакого угла из привычной таблицы, поэтому ответ будет десятичной дробью
   2. Угол, косинус которого равен 0,25, — это 75,52 градуса
   3. В радианах тот же угол равен 1,3181

   Большинство значений попадает сюда, а не на табличный угол. Эта же строка — самое ясное место, где видно убывание: четверть — маленький косинус, а маленькому косинусу соответствует угол ближе к верхней границе области значений, а не к нижней. Сравните со страницей арксинуса, где маленькое значение даёт маленький угол. Этот разворот не случаен и не является особенностью двух определений: это тот же разворот, который виден в форме обеих кривых, и таблицы показывают его нагляднее, чем формулы.

4. Значение косинуса минус 1, на краю полосы

   1. Минус единица — наименьший косинус, какой бывает у угла, поэтому ответ упирается в верхнюю границу области значений
   2. У ста восьмидесяти градусов косинус равен минус единице, и ни у одного угла он не меньше
   3. В радианах половина оборота равна пи, то есть 3,1416

   Одна из двух строк, где второй угол не является вторым углом. Косинус минус единица принадлежит ста восьмидесяти градусам и больше ничему на круге: кривая косинуса разворачивается в своей низшей точке, а отражение этой точки относительно горизонтальной оси — она сама. Таблица это показывает: второй и третий столбцы первой строки оба читаются как 180. Другой конец ведёт себя так же, там косинус единица принадлежит одним нулевым градусам. Между этими двумя строками у каждого значения из полосы есть настоящая пара, и эта пара в сумме даёт полный оборот.

Эта страница не делает трёх вещей. Первое: значение вне полосы от минус единицы до единицы отклоняется, потому что такого косинуса нет ни у одного угла, — та же граница, что и на странице арксинуса, и по той же причине. Второе: ответ — только главное значение. Каждый косинус между минус единицей и единицей принадлежит двум углам за один оборот и бесконечно многим с учётом оборотов, а страница возвращает тот, что лежит в верхней половине круга; другой угол есть в третьем столбце таблицы, а на сколько целых оборотов дальше лежит ещё одна копия, здесь не скажет ничто. Третье: радианы печатаются с четырьмя знаками, а градусы — с двумя, поэтому значение, которое после округления попадает на табличный угол, напечатается как этот угол, — арккосинус 0,866 печатается как тридцать градусов, хотя точный косинус тридцати градусов чуть больше 0,866.

Почему арккосинус никогда не даёт отрицательный угол?

Потому что область значений закреплена как верхняя половина круга, от нуля до ста восьмидесяти градусов. Отрицательный косинус принадлежит тупому углу, и эта область сообщает его как угол больше девяноста, а не складывает ниже нуля, как это делает арксинус. Значение минус 0,5 принадлежит углу в сто двадцать градусов, а не углу в минус шестьдесят, хотя эти два угла указывают в одну и ту же сторону.

Чем это отличается от арксинуса?

Областью значений, а значит и тем, что происходит вдали от первой четверти. Арксинус возвращает угол между минус девяноста и девяноста, арккосинус — между нулём и ста восемьюдесятью. Для каждого значения из полосы два ответа в сумме дают девяносто градусов, и это самая быстрая проверка любого из них: арккосинус 0,5 равен шестидесяти, а арксинус — тридцати. Второй угол ищется тоже по-разному: здесь вычитанием из полного оборота, там из половины.

Что произойдёт, если ввести значение больше единицы?

Страница откажет. Косинус угла остаётся между минус единицей и единицей, что бы угол ни делал, поэтому область значений обратной функции — ровно эта полоса, и значение вне неё не соответствует никакому углу вообще. Это та же граница, что у арксинуса, и берётся она оттуда же: отношение двух сторон треугольника не может превысить единицу, когда нижняя сторона — самая длинная из трёх.

Как найти угол по косинусу вручную?

Пользуйтесь значениями, которые стоит помнить: косинус 0,5 — это шестьдесят градусов, косинус 0,7071 — сорок пять, а косинус 0,866 — тридцать, остальное снимайте с таблицы или с калькулятора. Затем вспомните про второй угол: это отражение первого относительно горизонтальной оси, и находится оно вычитанием из трёхсот шестидесяти. К этой же странице стоит идти, когда треугольник даёт три стороны: теорема косинусов вручает косинус и на этом останавливается.

Почему таблица идёт сверху вниз в обратную сторону?

Потому что косинус убывает с ростом угла. На той области, которую показывает эта страница, от нуля до ста восьмидесяти градусов, косинус падает от единицы до минус единицы, поэтому большему входу всегда отвечает меньший угол. Читайте таблицу сверху вниз, и столбец ответов пойдёт от ста восьмидесяти к нулю. Страница арксинуса ведёт себя наоборот, и это то же самое различие, которое видно в форме обеих кривых.

Арккосинус — это то же самое, что единица, делённая на косинус?

Нет. Арккосинус обращает косинус: подайте ему 0,5, и он вернёт шестьдесят градусов. Единица, делённая на косинус, отвечает на 0,5 числом 2 — это секанс шестидесяти градусов, отношение, а не угол. Обозначение только усиливает путаницу, потому что обратную функцию часто пишут с маленькой минус единицей сверху, и это выглядит как степень, хотя степенью не является.

• Inverse Cosine — the function this page computes, with its range and the sense in which it decreases — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — all three inverse functions together, with the ranges that separate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the identity that ties the first two together — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams side by side — Math is Fun (United Kingdom)