Калькулятор теоремы синусов

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sin C ÷ sin A

a and A

Известная сторона вместе с углом против неё. Эта пара задаёт отношение для всего треугольника, и без неё теорема неприменима вовсе.

b

Вторая известная сторона. Именно она решает, сколько треугольников допускают данные: неоднозначный случай целиком зависит от того, как её длина соотносится со стороной a.

B

Угол против стороны b. Обратный синус всегда возвращает острый угол от 0° до 90°, а когда тупой партнёр тоже помещается в развёрнутый угол, появляется второй треугольник с этим тупым углом.

C and c

Третий угол и третья сторона: оба находятся после того, как определён B, — угол вычитанием двух других из развёрнутого угла, сторона по тому же общему отношению.

Эта страница нужна, когда известны две стороны и угол не между ними — два пеленга и расстояние через залив, две стороны съёмочного хода, у которого угол оказался на дальнем конце, — а нужен остальной треугольник. Это единственная комбинация «сторона и угол», с которой теорема косинусов справляется плохо, и единственная, где ответ может оказаться выбором, а не измерением; поэтому страница и начинает с числа решений. Если данные допускают два треугольника, смотрите не только на стороны, но и на углы, прежде чем решать, в каком из них вы находитесь: геодезист, визирующий два ориентира, обычно знает, острый перед ним угол или тупой, и этого одного факта достаточно, чтобы выбрать треугольник. Если известны все три стороны или две стороны и угол между ними, нужна страница теоремы косинусов — там неоднозначности нет вообще. А если нужна одна сторона прямоугольного треугольника, страница прямоугольного треугольника короче обеих.

1. Две стороны и широкий угол: 6, 30° и 8

   1. Общее отношение — это сторона a, делённая на синус угла A: 6 разделить на 0,5, то есть 12
   2. Синус угла B — это сторона b, делённая на это отношение: 8 разделить на 12, то есть 0,6667
   3. Угол, синус которого равен 0,6667, — это 41,81°, и у него есть дополнение 138,19° с тем же синусом, так что кандидатов двое
   4. Угол C — то, что осталось от развёрнутого угла: 180 минус 30 минус 41,81 равно 108,19
   5. Сторона c находится по тому же отношению: 12 умножить на синус 108,19°, то есть 11,4

   Стартовые значения самой страницы и хрестоматийная картинка неоднозначного случая: сторона b длиннее стороны a, поэтому сторона a успевает отклониться в любую сторону от перпендикуляра и фигура замыкается. Четыре значения описывают треугольник, построенный на остром угле B, — тот, в котором сторона b отклонена назад, к основанию. Второй треугольник использует тупого партнёра угла 41,81°, то есть 138,19°, и он приведён в последней колонке таблицы ниже; его третий угол — узкие 11,81° вместо напечатанных здесь 108,19°. Оба треугольника — верные ответы на одни и те же три куска данных.

2. Тот же угол с более короткой второй стороной: 8, 30° и 6

   1. Общее отношение — 8, делённое на синус 30°, то есть 16
   2. Синус угла B — это 6, делённое на 16, то есть 0,375
   3. Угол, синус которого равен 0,375, — это 22,02°; его дополнение 157,98° не оставляет места для угла A, ведь 30 плюс 157,98 уже переходят развёрнутый угол, поэтому выживает только острый вариант
   4. Угол C равен 180 минус 30 минус 22,02, то есть 127,98
   5. Сторона c равна 16, умноженным на синус 127,98°, то есть 12,61

   Поменяйте стороны местами, и неоднозначность исчезает: теперь a длиннее b, второе положение стороны уже не замыкает фигуру, и остаётся один треугольник. Число решений падает с двух до одного, хотя природа всех остальных чисел не меняется, — в этом и смысл печатать счётчик первым: одни и те же три вида данных дают разный ответ в зависимости только от того, как соотносятся длины. Обратите внимание, что уцелевший треугольник — тупоугольный при C, 127,98°: при более короткой стороне a фигуру приходится замыкать дальше по третьей стороне.

3. Граничный случай: 5, 30° и 10

   1. Общее отношение — 5, делённое на синус 30°, то есть 10
   2. Синус угла B равен 10, делённым на 10, то есть ровно 1
   3. Синус, равный 1, задаёт угол 90° и не оставляет второго варианта: другого угла от 0° до 180° с таким же синусом нет
   4. Угол C равен 180 минус 30 минус 90, то есть 60, а сторона c равна 10, умноженным на синус 60°, то есть 8,66

   Сторона b в точности равна порогу b · sin A = a, поэтому сторона a дотягивается до третьей стороны ровно один раз, падая на неё под прямым углом: треугольник прямоугольный, угол B равен ровно 90°. Это водораздел между «треугольника нет» и «треугольников два», и стоит проследить, что происходит по обе стороны от него: стоит взять b чуть меньше порога, как сразу появляются два решения — одно чуть больше 90°, другое чуть меньше, — и дальше они расходятся по мере уменьшения стороны. Возьмите b чуть больше порога, и треугольника не останется вовсе: синус угла B превысит единицу. В самой граничной точке решение одно, и его синус равен ровно 1 без всякого округления.

4. Угол 90° задан, а не найден

   1. Общее отношение — 10, делённое на синус 90°, то есть само 10
   2. Синус угла B — это 6, делённое на 10, то есть 0,6, что даёт 36,87°
   3. Угол C равен 180 минус 90 минус 36,87, то есть 53,13
   4. Сторона c равна 10, умноженным на синус 53,13°, то есть 8

   Здесь прямой угол — один из тех, что вы задали, а не то, что обнаружил расчёт, и общее отношение превращается в гипотенузу, делённую на единицу, то есть в саму гипотенузу. Дальше теорема синусов даёт два острых угла напрямую, а третья сторона выходит ровно 8 — число чистое, потому что перед нами не что иное, как треугольник 3-4-5, увеличенный вдвое. Это полезная проверка всей страницы: если сторона против прямого угла — самая длинная из трёх, всё должно сходиться с теоремой Пифагора, и здесь сходится.

Три ограничения стоит назвать прямо. Первое: панель печатает один треугольник, а не два. Когда число решений равно 2, четыре значения под ним относятся к треугольнику, построенному на остром угле B, а тупой партнёр назван в последней колонке таблицы ниже, а не показан в панели: у панели одно место для ответа, и показать два набора рядом нечем, поэтому было решено печатать меньший угол и указывать на второй. Второе: данные должны быть осмысленными ещё до всякого счёта. Заданный угол обязан быть строго между 0° и 180°, а если сторона a слишком коротка, чтобы дотянуться до третьей стороны, треугольника нет, и страница сообщает об этом вместо того, чтобы его выдумать. Углы ровно 0° и ровно 180° отвергаются, а не заменяются приближением: у треугольника с нулевым углом нет формы, которую можно было бы решить. Третье: стороны ограничены значением 1 000 000 000 cm, то есть 10 000 км, — более длинную сторону поля не примут, — а напечатанные значения округлены до двух знаков после запятой. На границе между одним и двумя решениями точность значит больше: если тупой партнёр отличается от острого меньше чем на 0,00001°, страница считает их совпадением и показывает одно решение.

Что такое неоднозначный случай теоремы синусов?

Это ситуация, когда две стороны и угол не между ними допускают два разных треугольника вместо одного. Заданный угол фиксирует направление одной стороны, но не говорит, куда отклонится вторая, поэтому сторона a может лечь ближе и замкнуть фигуру раньше или дальше и замкнуть её позже: один треугольник получается маленьким, с тупым углом B, другой — большим, с острым. Оба построены на одних и тех же трёх кусках данных. Страница сначала считает варианты, а затем разбирает острый, потому что само существование второго положения зависит от того, как соотносятся длины.

Как понять, один будет треугольник или два?

Сравните b · sin A со стороной a. Если это произведение больше a, стороны не складываются в треугольник вовсе: синус угла B превысил бы единицу, а такого угла не существует. Если оно равно a, решение ровно одно, и треугольник прямоугольный. Если оно меньше a, острый угол B уже найден, а второй треугольник существует тогда, когда его тупой партнёр оставляет место для заданного угла, то есть когда два угла вместе остаются меньше 180°. Два решения возможны только при остром угле A. Страница делает это сравнение сама и печатает число решений как главный ответ.

Какой из двух треугольников показывает калькулятор?

Тот, что построен на меньшем угле B, то есть треугольник с большим третьим углом. Панель печатает число решений, а затем четыре значения для этого треугольника, а тупой партнёр угла B появляется в последней колонке таблицы рядом, так что на странице есть оба. Показывается один, а не оба, по простой причине: у панели одно место для ответа, и два набора по четыре числа без места для подписей были бы хуже, чем один набор и название второго.

Почему страница отказывается считать угол 0° или 180°?

Потому что треугольник с нулевым углом — не треугольник, а отрезок с точкой на нём, и сторона против нулевого угла тоже должна была бы быть нулевой. Эти два значения стоят на границе, где фигура перестаёт существовать, а не на краю арифметики, и честный ответ — сказать об этом, а не вернуть нулевой угол и нулевую сторону, которые выглядели бы как решение. Углы между ними допустимы, включая углы совсем близко к краям: треугольник становится очень длинным и очень тонким, но остаётся настоящим треугольником.

Насколько точны напечатанные значения?

Стороны и углы округлены до двух знаков после запятой: сторона — до сотой доли сантиметра, угол — до сотой доли градуса, и для любого реального треугольника этого с запасом хватает. Стороны при этом ограничены миллиардом сантиметров, то есть 10 000 км, — более длинную сторону поля не примут. Единственное место, где округление решает исход, — граница между одним и двумя решениями: если тупой партнёр отличается от острого меньше чем на 0,00001°, страница считает их совпадением и показывает одно решение.

Когда нужна теорема синусов, а когда теорема косинусов?

Теорема синусов нужна, когда есть сторона вместе с противолежащим ей углом и ещё один элемент, а теорема косинусов — когда известны все три стороны или две стороны и угол между ними. Всё решает случай двух сторон и угла не между ними: это как раз данные этой страницы, и именно теорема косинусов берётся за них неохотно, потому что там приходится решать квадратное уравнение. Этот же случай несёт в себе неоднозначность, поэтому страница и тратит свой главный ответ на число решений.

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — the theorem worked through from first principles, including the ambiguous case and how the number of solutions follows from the lengths — Math is Fun (United Kingdom)