Calculadora de triângulo retângulo

a² + b² = c² A + B = 90° sen A = a ÷ c tan A = a ÷ b área = a × b ÷ 2 perímetro = a + b + c

a, b

Os dois catetos, os lados que se encontram no ângulo reto. A página reduz toda entrada a esses dois antes de calcular qualquer outra coisa, então um caso que começou com uma hipotenusa e um ângulo é transformado em dois catetos primeiro

c

A hipotenusa, o lado à frente do ângulo reto e sempre o mais longo. É o resultado principal da página, e é sempre recalculada em vez de ecoada — mesmo quando foi você quem a digitou

A, B

Os dois ângulos agudos. A é o que está à frente do cateto a e B o que está à frente do cateto b; cada um deles fica entre zero e noventa graus, e juntos eles formam o que sobrou dos cento e oitenta graus do triângulo

Use esta página quando você conhece duas medidas de um triângulo retângulo e quer o resto dele: os dois catetos, um cateto e a hipotenusa, ou qualquer lado junto com um dos ângulos agudos. É o resolvedor de triângulo retângulo de uso geral, e ele difere da página do teorema de Pitágoras naquilo que ele coloca na frente — aquela responde à pergunta mais estreita do lado que falta, enquanto esta responde ao triângulo inteiro e põe a hipotenusa no topo, não importa quais dois campos você tenha preenchido. Ele também difere da página do triângulo, que é a mesma ideia sem o ângulo reto: aquela precisa de dois lados mais o ângulo entre eles, e esta tira muito mais dos mesmos dois números porque o ângulo reto é uma terceira informação de graça. Um triângulo retângulo com os dois catetos iguais é o caso isósceles, e aquela página imprime a mesma figura descrita nos termos dela.

1. Dois catetos, 3 e 4

   1. Os dois catetos foram dados, então o teorema de Pitágoras dá a hipotenusa: 9 mais 16 dá 25, e a raiz de 25 é 5
   2. O ângulo A está à frente do lado de comprimento 3, então a tangente dele é 3 sobre 4, o que dá 36,87 graus
   3. O ângulo B é o que sobra de noventa graus, então é 53,13
   4. A área é metade de três vezes quatro, e o perímetro é a soma dos três lados

   O triângulo com que a página carrega, e o menor dos triângulos retângulos de lados inteiros — o mesmo em torno do qual a página do teorema de Pitágoras é construída, então as duas concordam até a última casa na hipotenusa, na área e no perímetro. Repare que os dois catetos aparecem na saída além de terem sido digitados: o painel imprime sempre as sete grandezas, e a promessa de resolver o triângulo inteiro é a razão disso. Os dois ângulos ficam entre zero e noventa e somam exatamente noventa, e não 89,99, porque o segundo é calculado como o resto.

2. Um cateto e a hipotenusa, 6 e 10

   1. A hipotenusa e um cateto foram dados, então o outro cateto é a raiz de dez ao quadrado menos seis ao quadrado
   2. Cem menos trinta e seis dá sessenta e quatro, cuja raiz é 8
   3. Os ângulos saem dos catetos: a tangente de A é 6 sobre 8
   4. Os três lados agora são conhecidos, então a área e o perímetro são aritmética simples

   O outro cateto sai do mesmo teorema lido ao contrário: cem menos trinta e seis dá sessenta e quatro, e a raiz de sessenta e quatro é oito. Este é o caso em que o teorema de Pitágoras faz subtração em vez de adição, e é também aquele que falha quando os dois campos são preenchidos em ordem trocada — uma hipotenusa menor que um cateto não tem solução, e a página diz isso em vez de devolver um número. Os ângulos batem exatamente com a linha do três-quatro-cinco, porque seis-oito-dez é aquele triângulo dobrado.

3. Um cateto e o ângulo que está à frente dele, 3 e 30 graus

   1. O ângulo A está à frente do cateto a, então o seno de trinta graus relaciona o cateto com a hipotenusa: o cateto é a hipotenusa vezes um meio
   2. Então a hipotenusa é o dobro do cateto, o que dá 6
   3. O outro cateto é o cateto dividido pela tangente de trinta graus, cerca de 5,2
   4. O ângulo B é o que sobra de noventa, então é 60

   Este é o triângulo 30-60-90, aquele cujos lados estão na proporção de um para raiz de três para dois, e é a linha que mostra qual ângulo é qual: A está à frente do lado que você deu, então o lado de comprimento 3 é o que fica à frente do ângulo de trinta graus, o lado curto. Informe o mesmo cateto com o ângulo B igual a sessenta e todos os números saem idênticos — os dois ângulos descrevem a mesma forma, e esse par é a conferência que a própria página faz do mapeamento. O cateto, a área e o perímetro são arredondados para duas casas decimais, então 5,196 aparece como 5,2.

4. A hipotenusa e um ângulo, 10 e 30 graus

   1. Com a hipotenusa conhecida, o cateto que fica à frente de trinta graus é a hipotenusa vezes o seno de trinta, ou seja, 10 vezes um meio
   2. O outro cateto é a hipotenusa vezes o cosseno de trinta, cerca de 8,66
   3. Os ângulos já são conhecidos: trinta e o complemento dele, sessenta
   4. A área é metade de cinco vezes 8,66, e o perímetro é a soma dos três lados

   A mesma forma da linha acima com o dobro do tamanho — os lados são 5, 8,66 e 10 contra 3, 5,2 e 6, e a razão entre eles é a mesma em toda parte, que é o que significa dois triângulos terem os mesmos ângulos. Repare que a hipotenusa é impressa mesmo você tendo digitado ela: ela é recalculada a partir dos catetos em vez de ecoada, então os três lados do painel vêm sempre da mesma conta não arredondada e nunca se contradizem entre si — o que o arredondamento para duas casas faz é deixar a conferência com os números impressos alguns centésimos fora nas linhas em que um lado é irracional, e é por isso que 8,6602 aparece como 8,66.

Quatro coisas que vale saber. Primeira: exatamente dois dos cinco campos precisam estar preenchidos, e os dois não podem ser os dois ângulos. Um campo é informação de menos, três é informação demais, e a página distingue os dois casos na mensagem que apresenta; dois ângulos completam a contagem e mesmo assim não podem ser resolvidos, porque dois ângulos fixam a forma e não dizem nada sobre o tamanho. O painel em si não marca de quais campos ele está esperando, então a contagem é por sua conta. Segunda: os dois ângulos agudos são aceitos, mas nenhum deles pode ser zero nem noventa, porque os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo ficam estritamente entre esses valores; um lado de comprimento zero é recusado pela mesma razão, já que um triângulo degenerado não tem área nem perímetro que valha imprimir. Terceira: a página informa em centímetros e centímetros quadrados, seja qual for a unidade que você digitou — um cateto informado em pés é convertido antes de o triângulo ser resolvido, e as respostas voltam em centímetros. Quarta: duas das sete linhas de saída costumam ser eco da sua própria entrada, então preencher um cateto e ver esse mesmo cateto impresso de volta não é a página falhando em calcular; o valor que ela imprime passou pela conversão de unidade e pelo arredondamento, e as outras linhas são as que carregam a informação nova.

Quantos dos cinco campos eu preencho?

Exatamente dois. Quaisquer dois entre os três lados e os dois ângulos agudos bastam para determinar um triângulo retângulo por completo, e um não basta — um único lado deixa a forma livre e um único ângulo deixa o tamanho livre. A página também recusa três, não porque três medidas sejam ambíguas, mas porque a mensagem de que você precisa nesse caso é sobre a contagem, e não sobre a aritmética. O único par que preenche os dois campos e ainda assim falha é o dos dois ângulos, que fixam a forma e não o tamanho.

Por que o painel imprime o lado que eu digitei?

Porque a página promete o triângulo inteiro, e não apenas as partes que você não forneceu. A lista de saídas dela é fixa, então um cateto que você digitou aparece entre as sete linhas junto com todo o resto. A linha parece não ter feito nada, mas o valor passou pela conversão de unidade e pelo arredondamento, e as outras seis linhas são onde está a informação nova. A alternativa — um painel cujas linhas mudassem conforme os campos preenchidos — seria mais difícil de ler, e não mais fácil.

Qual ângulo é o ângulo A?

O ângulo A é o que está à frente do cateto a; o ângulo B está à frente do cateto b. Então, se você digita um cateto de 3 e um ângulo de 30 graus, a página lê o 3 como o lado que fica à frente desse ângulo de trinta graus, o que faz dele o cateto curto de um triângulo 30-60-90. Os dois ângulos agudos sempre somam exatamente noventa graus, porque o ângulo reto toma os noventa que restam dos cento e oitenta do triângulo, e a página calcula o segundo como o resto em vez de deduzi-lo separadamente — é por isso que eles nunca arredondam para 89,99.

Em que unidades estão as respostas?

Em centímetros e centímetros quadrados sempre, qualquer que seja a unidade digitada. A página converte a sua entrada para uma unidade comum antes de resolver o triângulo, e as saídas são declaradas em centímetros, então um cateto digitado em pés volta como um número de centímetros. Os ângulos estão sempre em graus pela mesma razão: você pode informá-los em radianos ou em grados, mas o painel informa em graus.

Qual é a diferença entre esta página e a do teorema de Pitágoras?

Esta página aceita mais entradas e devolve mais saídas. A página do teorema de Pitágoras pega dois dos três lados e responde à pergunta mais estreita do lado que falta; esta pega quaisquer duas de cinco medidas — incluindo ângulos — e devolve a figura completa, sempre com a hipotenusa na frente. As duas concordam exatamente onde se sobrepõem, porque ambas trabalham sobre o mesmo triângulo com o mesmo arredondamento.

Por que uma hipotenusa menor que um cateto é recusada?

Porque esse triângulo não existe. A hipotenusa é o lado à frente do ângulo reto e é sempre o mais longo dos três, então ela tem de ser estritamente maior que qualquer um dos catetos. Quando os dois campos são preenchidos com um cateto e uma hipotenusa e a hipotenusa é o número menor, quase certamente os dois foram informados em ordem trocada, e a página diz isso e sugere trocá-los em vez de tirar a raiz quadrada de um número negativo — o que não daria resposta nenhuma.

• Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation between the three sides, with the converse and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — using the sine, cosine and tangent to solve for a side from one side and one angle — Math is Fun (United Kingdom)
• Pythagoras' Theorem — the theorem from first principles, with the converse and worked examples — Math is Fun (United Kingdom)