Calculadora de triângulo isósceles

h = √(l² − (b ÷ 2)²) A = b·h ÷ 2 P = b + 2l vértice = 2·asen((b ÷ 2) ÷ l) base = (180° − vértice) ÷ 2

Base

O comprimento do lado desigual, aquele sobre o qual os dois catetos se apoiam, em centímetros. Deitá-lo é o que torna o triângulo simétrico da esquerda para a direita, e é dele que a altura é medida

Cateto

O comprimento de cada um dos dois lados iguais, em centímetros. Os dois são iguais por definição, então há uma caixa só para eles, e cada cateto é a hipotenusa do triângulo retângulo que a dobra produz

Área

O espaço que o triângulo cobre, em centímetros quadrados: metade da base vezes a altura. A área é calculada a partir da base e do cateto diretamente, e não a partir da altura impressa, para que as figuras do próprio painel concordem entre si até o último dígito

Perímetro

A distância por todo o contorno, em centímetros: a base mais duas vezes o cateto. É a única saída que não precisa de raiz quadrada nem de trigonometria, então é exata sempre que as duas entradas forem

Altura

A distância do vértice em linha reta até o meio da base, em centímetros, vinda de Pitágoras sobre a metade dobrada: o cateto ao quadrado menos metade da base ao quadrado, com raiz. É também a linha em torno da qual o triângulo é simétrico, e é por isso que ela cai exatamente no meio da base e não deslocada para um lado

Ângulo do vértice

O ângulo entre os dois catetos, no topo, em graus, que é o único ângulo de um triângulo isósceles que não é compartilhado com outro. É o dobro do ângulo cujo seno é metade da base sobre o cateto, e tende a 180 graus conforme o triângulo se achata

Ângulo da base

O ângulo entre a base e um cateto, em graus. Os dois ângulos da base são iguais por definição, então a página imprime uma figura para os dois, calculada como o que resta de 180 graus depois de retirado o ângulo do vértice, dividido por dois

Duas casas decimais para os ângulos

Os ângulos aparecem com duas casas decimais onde os comprimentos aparecem com quatro, porque um transferidor lê até cerca de um centésimo de grau e os dígitos finais de um arco-seno são ruído de ponto flutuante e não algo que alguém tenha medido

A página é para qualquer coisa construída sobre um triângulo isósceles, e essa figura aparece onde quer que um ponto simétrico se apoie numa base plana. Um telhado é o caso mais claro: as duas águas são os catetos, o vão é a base, e o que o carpinteiro quer é a inclinação — o ângulo da base — e a altura da cumeeira acima da parede, que é a altura desta página. Corte esse triângulo ao meio e você tem o comprimento da viga como hipotenusa, e é por isso que a dobra é o método de trabalho e não um truque do desenho. Empenas, frontões, pontas de flecha, cones de funil e a frente de uma barraca são a mesma figura com outros nomes. Na serralheria e na marcenaria o ângulo da base é aquele em que uma esquadria é regulada, e o ângulo do vértice é aquele contra o qual se confere a peça pronta. A página também é a certa quando você mediu uma base e um lado inclinado em vez de uma altura: num telhado, numa rampa ou numa mão-francesa triangular, a aresta inclinada é o que se alcança e a perpendicular não. E é a página a procurar quando um desenho dimensiona um triângulo isósceles pela sua simetria — uma base e uma altura total, por exemplo —, já que a altura aqui é uma saída e não uma entrada, e as duas coisas não são intercambiáveis: base e cateto é um par de entradas, base e altura é outro, e só um dos dois está nesta página. Se o seu triângulo não for isósceles, a página da área do triângulo recebe uma base e uma altura e a de Heron recebe três lados.

1. Uma base de 6 com catetos de 5

   1. Metade da base: 6 ÷ 2 = 3
   2. Altura: √(25 − 9) = √16 = 4
   3. Área: 6 × 4 ÷ 2 = 12
   4. Perímetro: 6 + 2 × 5 = 16
   5. Metade do ângulo do vértice: asen(3 ÷ 5) = 36,8699…, então o ângulo do vértice é 73,7398…, que arredonda para 73,74
   6. Ângulo da base: (180 − 73,7398) ÷ 2 = 53,1301…, que arredonda para 53,13

   A entrada com que a página carrega, e a mais limpa dela: a altura dá exatamente 4, a área exatamente 12 e o perímetro exatamente 16, e só os dois ângulos deixam uma casa decimal para trás. Estes são os lados 6, 5 e 5, então esta é a segunda das conferências cruzadas desta família — a página de Heron recebe esses três lados e devolve a mesma área de 12 e o mesmo perímetro de 16. Dois caminhos para um triângulo, uma resposta. O ângulo da base de 53,13 graus também não é coincidência: dobrar este triângulo deixa um triângulo retângulo 3-4-5, e 53,13 é o ângulo que uma subida de 4 sobre um avanço de 3 faz com a horizontal — que é a regra que a coluna do ângulo da base desta página segue em todas as linhas.

2. Uma base de 6 com catetos de 6

   1. Metade da base: 6 ÷ 2 = 3
   2. Altura: √(36 − 9) = √27 = 5,196152…, que arredonda para 5,1962
   3. Área: 6 × 5,196152… ÷ 2 = 15,588457…, que arredonda para 15,5885
   4. Perímetro: 6 + 2 × 6 = 18
   5. Metade do ângulo do vértice: asen(3 ÷ 6) = 30, então o ângulo do vértice é 60 e o ângulo da base é (180 − 60) ÷ 2 = 60

   Um triângulo isósceles cuja base e cujos catetos por acaso são todos 6, o que o torna equilátero — e a página mostra isso em vez de escondê-lo: os dois ângulos dão 60 graus, que é a assinatura da figura. A área de 15,5885 é a terceira das conferências cruzadas desta família, batendo com a página da equilátera no lado 6 e com a de Heron em 6, 6, 6. É também a única linha da tabela em que as duas colunas de ângulo são iguais, já que o ângulo do vértice só é igual ao da base quando os três são 60.

3. Uma base de 8 com catetos de 5

   1. Metade da base: 8 ÷ 2 = 4
   2. Altura: √(25 − 16) = √9 = 3
   3. Área: 8 × 3 ÷ 2 = 12
   4. Perímetro: 8 + 2 × 5 = 18
   5. Metade do ângulo do vértice: asen(4 ÷ 5) = 53,1301…, então o ângulo do vértice é 106,2602…, que arredonda para 106,26
   6. Ângulo da base: (180 − 106,2602) ÷ 2 = 36,8699…, que arredonda para 36,87

   Um triângulo mais achatado que o padrão — uma base mais longa com os mesmos catetos —, e os dois ângulos se movem em direções opostas, que é a coisa a observar. O ângulo do vértice foi de 73,74 para 106,26 e cada ângulo da base foi de 53,13 para 36,87, e as duas figuras continuam amarradas pela regra de que os três ângulos somam 180. A área ficou em 12 enquanto o perímetro subiu para 18, o que lembra que esticar uma base achata um triângulo sem fazê-lo cobrir mais terreno. O triângulo retângulo 3-4-5 está escondido dentro deste: metade da base é 4, a altura é 3 e o cateto é 5.

4. Uma base de 10 com catetos de 13

   1. Metade da base: 10 ÷ 2 = 5
   2. Altura: √(169 − 25) = √144 = 12
   3. Área: 10 × 12 ÷ 2 = 60
   4. Perímetro: 10 + 2 × 13 = 36
   5. Metade do ângulo do vértice: asen(5 ÷ 13) = 22,6198…, então o ângulo do vértice é 45,2397…, que arredonda para 45,24
   6. Ângulo da base: (180 − 45,2397) ÷ 2 = 67,3801…, que arredonda para 67,38

   A segunda metade 5-12-13 desta família: metade da base é 5, a altura é 12 e o cateto é 13, então o triângulo retângulo de dentro é o mesmo que a página de Heron encontra vindo da outra direção. Tudo menos os dois ângulos dá inteiro. O ângulo do vértice de 45,24 graus é um pouco mais que meio ângulo reto, o que é uma conferência de sanidade útil sobre a figura: um triângulo com base 10 e catetos 13 está perto, mas não é bem, de um triângulo retângulo isósceles, e ir para uma base de 13 vezes a raiz quadrada de dois faria o ângulo do vértice ser exatamente 90.

5. Uma base de 0 com catetos de 5

   1. Metade da base: 0 ÷ 2 = 0
   2. Altura: √(25 − 0) = 5
   3. Área: 0 × 5 ÷ 2 = 0
   4. Perímetro: 0 + 2 × 5 = 10
   5. Metade do ângulo do vértice: asen(0 ÷ 5) = 0, então o ângulo do vértice é 0 e o ângulo da base é (180 − 0) ÷ 2 = 90

   Uma base de zero, o que é legal e não é o mesmo que deixar a caixa vazia. Os dois catetos caem um sobre o outro, então a figura é uma reta dobrada de comprimento 5: a altura é 5, o perímetro é 10, a área é zero e o ângulo do vértice fechou-se em nada. O ângulo da base de 90 graus é a leitura honesta disso — a base não tem comprimento, então o ângulo entre ela e um cateto é reto por convenção. É também por isso que a página trata uma base zero como uma entrada de verdade em vez de recusá-la: toda a aritmética está definida e as respostas descrevem corretamente a figura colapsada.

6. Uma base de 6 com catetos de 3

   1. Metade da base: 6 ÷ 2 = 3
   2. Altura: √(9 − 9) = 0
   3. Área: 6 × 0 ÷ 2 = 0
   4. Perímetro: 6 + 2 × 3 = 12
   5. Metade do ângulo do vértice: asen(3 ÷ 3) = 90, então o ângulo do vértice é 180 e o ângulo da base é (180 − 180) ÷ 2 = 0

   A fronteira exata, e ela passa: os dois catetos postos ponta a ponta são exatamente do comprimento da base, então o triângulo se achatou numa reta. O ângulo do vértice é 180 graus, que é o que mede um ponto completamente plano, e os dois ângulos da base se fecharam em zero. Nada aqui é um NaN — todo termo da aritmética está definido, inclusive o arco-seno de exatamente 1. Leve a base a 6,2 com os mesmos catetos e a página recusa, porque aí os dois catetos não conseguem mais se alcançar e não existe triângulo nenhum.

A página é só para triângulos isósceles: exatamente dois lados do mesmo comprimento, que são os catetos, apoiados na base desigual. Um triângulo escaleno precisa dos três lados e pertence à página de Heron; um retângulo precisa de página própria, e um triângulo equilátero só é um caso particular deste quando a base e os catetos por acaso são dados iguais. Os dois catetos têm de se alcançar: se o dobro do cateto for menor que a base, não existe triângulo e a página diz isso em vez de devolver um número. O caso exato em que o dobro do cateto é igual à base passa, e descreve um triângulo achatado numa reta, com altura e área zero e ângulo do vértice de 180 graus. A página recebe uma base e um cateto em vez de uma base e uma altura, então um desenho dimensionado do outro jeito precisa que a altura seja convertida em cateto primeiro, por Pitágoras sobre metade da base. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados seja qual for a unidade escolhida na lista, e os ângulos estão em graus, sem opção de radianos. Quatro decimais para os comprimentos e dois para os ângulos são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão; num triângulo medido com trena, a altura e a área são as figuras cujos últimos dígitos têm alguma chance de significar algo, e mesmo elas dependem de quão bem a base e o cateto foram medidos. A página é bidimensional e não tem campo para espessura, então ela não dá o volume de um prisma triangular nem o peso de uma mão-francesa.

Por que a página pede um cateto em vez da altura?

Porque a base e o cateto são o par de números que determina a figura, e a altura decorre deles. Dois catetos de um comprimento dado só podem se encontrar num ponto acima de uma base de comprimento dado, então não sobra nada a escolher. Uma base e uma altura é um par diferente de dois números para o mesmo triângulo, e a página tomaria os dois seria sobre-determinar a figura — uma base de 6 com uma altura de 5 forçaria os catetos a serem a raiz quadrada de 34, e a página teria de decidir qual dos três números que você digitou estava errado.

Por que há dois ângulos, e eles alguma vez são iguais?

O ângulo do vértice fica entre os dois catetos, no topo, e o ângulo da base fica entre a base e um cateto. São grandezas separadas e respondem a perguntas diferentes: o ângulo do vértice diz o quanto a figura é pontuda, o ângulo da base é aquele em que uma inclinação de telhado ou uma regulagem de esquadria é cotada. Eles são iguais só no caso equilátero, em que os três ângulos são 60 graus — e é por isso que a página imprime os dois em vez de uma figura só rotulada como ângulo.

Como eu tiro os ângulos a partir dos dois lados?

Corte o triângulo ao meio pelo seu eixo de simetria. Cada metade é um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao cateto e base igual a metade da base, então o seno da metade do ângulo do vértice é metade da base dividida pelo cateto. Dobre isso e você tem o ângulo do vértice; o ângulo da base é o que sobra de 180 graus depois de retirado o do vértice, repartido em dois. A página faz exatamente isso, e é por isso que metade de uma base de 3 com um cateto de 5 dá um ângulo do vértice de 73,74 em vez de alguma coisa que se adivinharia.

Por que os ângulos mostram duas casas decimais e os comprimentos quatro?

Porque os dois foram medidos com padrões diferentes. Um comprimento pode ser exato — uma base de 6 é 6 — e quatro decimais é a largura com que este site imprime comprimentos. Um ângulo aqui vem de um arco-seno, e um transferidor ou uma esquadria lê até cerca de um centésimo de grau, então a terceira e a quarta casa decimal de um ângulo seriam ruído de ponto flutuante vestido de precisão. Duas é até onde o número significa alguma coisa.

O que acontece se os catetos forem curtos demais para atravessar a base?

A página para e avisa, em vez de devolver um número. Os dois catetos têm de conseguir se encontrar acima da base, o que significa que a soma dos comprimentos deles tem de ser maior que a base; se não for, não existe triângulo. O caso exato em que a soma é igual à base passa, e descreve um triângulo achatado numa reta, com ângulo do vértice de 180 graus e área zero, que é uma resposta de verdade e não uma falha.

A base ou o cateto podem ser zero?

Os dois são aceitos e os dois dão respostas com sentido. Um cateto zero põe os dois catetos num ponto com a base esticada, e uma base zero põe os dois catetos um sobre o outro, dando uma altura igual ao cateto, um perímetro de duas vezes o cateto e um ângulo da base de 90 graus. Nenhum dos dois é o mesmo que deixar a caixa vazia: uma caixa em branco não mostra resultado nenhum, porque não há de onde partir, enquanto um zero é uma figura que se consegue descrever.

• Isosceles triangle — the two-equal-sides case, with the axis of symmetry, the equal base angles and the height that this page computes from the base and a leg — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case the isosceles triangle is a constrained member of, including the rule that the three angles always add to 180 degrees, which is what the base angle is worked out from — Wolfram MathWorld (United States)
• Equilateral triangle — the one isosceles triangle whose apex angle equals its base angles, both 60 degrees, and the case where the two figures this page prints separately come out the same — Wolfram MathWorld (United States)