Calculadora de fórmula de Heron

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

Lado a

O primeiro dos três comprimentos de lado, em centímetros. As três caixas são intercambiáveis — trocar qual lado você chama de a e qual chama de b não muda nada na resposta —, então digite na ordem em que você mediu

Lado b

O segundo comprimento de lado, em centímetros. Junto com os outros dois ele precisa satisfazer a desigualdade triangular: cada lado tem de ser mais curto que a soma dos outros dois, senão os três comprimentos não se fecham em triângulo nenhum

Lado c

O terceiro comprimento de lado, em centímetros. Vale digitar o lado mais longo em qualquer caixa e depois ler o semiperímetro: ele precisa ser maior que esse lado, e essa comparação sozinha é uma conferência mais rápida do que refazer as três somas

Semiperímetro

Metade da distância em volta do triângulo, em centímetros: os três lados somados e divididos por dois. Ele é impresso como resposta em vez de ficar guardado como passo intermediário, porque é a quantidade em torno da qual a fórmula foi escrita e porque serve de conferência de que os três lados conseguem se encontrar

Área

O espaço que o triângulo cobre, em centímetros quadrados, a partir da raiz quadrada do semiperímetro vezes as três diferenças entre ele e cada lado. É a única saída que precisa das três entradas: o perímetro apenas as soma e o semiperímetro apenas divide a soma por dois

Perímetro

A distância por todo o contorno, em centímetros: os três lados somados. Ele está aqui porque os dois são fáceis de confundir quando um é um passo dentro do outro, e porque perímetro é o que se compra de roda ou de acabamento

√

A raiz quadrada, aplicada ao produto dos quatro fatores. Quase todo triângulo dá uma área irracional, então um trio de lados que produz um número inteiro — 3, 4 e 5 dando 6, por exemplo — é a exceção que vale notar, não a regra

Recorra a esta página sempre que você tiver medido os três lados e não a altura, que é o caso na maior parte das vezes. Terreno é o exemplo clássico: um lote de divisas retas é medido acorrentando os lados, e a área sai deles direto — divida um lote irregular em triângulos e passe cada um por aqui. Chapa é outro: um reforço triangular, uma prateleira de canto ou uma vela é orçado pelas três arestas, e a área é o que diz qual chapa você precisa e quanto peso ela vai acrescentar. Na escola, é o caminho para obter uma área quando a altura é incômoda ou cairia fora da figura, o que acontece em qualquer triângulo obtusângulo: a perpendicular baixada do vértice mais largo cai além do lado oposto, então não dá para medi-la ao longo do material. A página também é o caminho honesto quando um triângulo é dado por três comprimentos que vieram de outro lugar — uma exportação de CAD, uma lista de corte, um desenho cotado nas arestas —, já que não há nada para converter nem nada para medir de novo. Duas coisas para ficar de olho. Primeira: os três lados precisam conseguir se fechar; se o mais longo for maior que a soma dos outros dois, não existe triângulo e a página diz isso em vez de devolver um número, porque a aritmética pediria a raiz quadrada de um negativo. Segunda: medições reais nunca satisfazem a desigualdade exatamente. Um lote cotado em 10, 4 e 6 metros é o caso exato de fronteira — 4 mais 6 é exatamente 10, o triângulo virou uma linha reta e a área que a página devolve é zero, que é a resposta honesta, não uma falha. Já um lote medido ao centímetro mais próximo cai para um lado ou para o outro: em 10,00, 4,01 e 6,00 a área sai pequena e a página aceita, e é a aritmética avisando que os três pontos estão quase em linha reta; em 10,01, 3,99 e 6,00 ela recusa, porque as duas medidas menores não se encontram mais.

1. Lados de 3, 4 e 5

   1. Perímetro: 3 + 4 + 5 = 12
   2. Semiperímetro: 12 ÷ 2 = 6
   3. As três diferenças: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
   4. Área: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

   O triângulo 3-4-5, aquele com que todo ângulo reto de obra é marcado, e o caso mais claro em que a resposta é um número inteiro. É também a conferência cruzada entre esta página e a página da área do triângulo: base 3 com altura 4 dá 6 lá, e os três lados dão 6 aqui. Mesmo triângulo, dois conjuntos de entrada, uma área. A raiz quadrada sair exata é propriedade deste trio, não da fórmula — quase todo outro trio deixa um número irracional para trás.

2. Lados de 6, 5 e 5

   1. Perímetro: 6 + 5 + 5 = 16
   2. Semiperímetro: 16 ÷ 2 = 8
   3. As três diferenças: 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
   4. Área: √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

   Um triângulo isósceles de base 6 e dois lados de 5, que é exatamente o padrão com que a página do triângulo isósceles ao lado carrega, e ela devolve os mesmos 12 e o mesmo perímetro de 16. É a segunda das duas conferências cruzadas desta família: a página do isósceles chega à área pela base e por um dos lados iguais, esta chega pelos três lados, e as duas concordam até o último dígito. Repare que o semiperímetro de 8 é folgadamente maior que o lado mais longo, 6, que é a conferência de que esses três comprimentos se fecham.

3. Lados de 6, 6 e 6

   1. Perímetro: 6 + 6 + 6 = 18
   2. Semiperímetro: 18 ÷ 2 = 9
   3. As três diferenças: 9 − 6 = 3, três vezes
   4. Área: √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15,588457…, que arredonda para 15,5885

   O caso equilátero, e a terceira rota até o número 15,5885: a página do equilátero o obtém de um único lado de 6, a do isósceles de uma base 6 com lados iguais de 6, e esta de três lados de 6. Três páginas, três modos de descrever o mesmo triângulo, uma área. √243 é 9√3, que é de onde a raiz de três que a página do equilátero carrega na constante dela aparece aqui.

4. Lados de 5, 12 e 13

   1. Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30
   2. Semiperímetro: 30 ÷ 2 = 15
   3. As três diferenças: 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
   4. Área: √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

   A linha que chama a atenção: a área é 30 e o perímetro é 30. Não são a mesma quantidade e nem sequer estão na mesma unidade — uma é centímetro quadrado e a outra é centímetro —, acontece só que este triângulo em particular dá o mesmo número duas vezes. 5-12-13 é um trio pitagórico, então ele tem ângulo reto, e triângulos retângulos são os mais propensos a cair em números inteiros, porque os quadrados dos lados também são inteiros.

5. Lados de 9, 10 e 17

   1. Perímetro: 9 + 10 + 17 = 36
   2. Semiperímetro: 36 ÷ 2 = 18
   3. As três diferenças: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
   4. Área: √(18 × 9 × 8 × 1) = √1.296 = 36

   A segunda linha em que a área e o perímetro imprimem o mesmo número, e esta não é um triângulo retângulo: 9 ao quadrado mais 10 ao quadrado dá 181, enquanto 17 ao quadrado dá 289. Então a concordância de 36 com 36 não vem de um ângulo reto, e é isso que faz valer apontá-la. Duas linhas de uma mesma tabela fazendo isso é exatamente o que faz a primeira parecer uma regra, e esta é a prova de que não é.

6. Lados de 1, 1 e 2

   1. Perímetro: 1 + 1 + 2 = 4
   2. Semiperímetro: 4 ÷ 2 = 2
   3. As três diferenças: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
   4. Área: √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

   O caso exato de fronteira, e ele é aceito em vez de recusado: 1 mais 1 é exatamente 2, então o triângulo se achatou numa linha reta com os dois lados curtos postos ponta com ponta. A área é genuinamente zero e o perímetro é genuinamente 4, então uma resposta zero aqui está correta, não é sinal de falha. Empurre o terceiro lado para 2,1 e a página recusa, porque aí os dois lados curtos não se alcançam e não existe triângulo nenhum.

Os três números precisam conseguir formar um triângulo: cada lado mais curto que a soma dos outros dois. Se não conseguirem, a página para e avisa em vez de devolver um número, porque a fórmula pediria a raiz quadrada de um negativo. O caso exato em que o lado mais longo é igual à soma dos outros dois é aceito e dá área zero, que é a resposta honesta para um triângulo que se achatou numa linha. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados seja qual for a unidade escolhida na lista, então lados digitados em polegadas voltam como resposta em centímetros. Quatro casas decimais são uma largura de exibição, não uma afirmação de precisão, e com três lados medidos o erro de cada um carrega para dentro da área — um triângulo medido ao milímetro mais próximo pode facilmente ter uma área incerta já na terceira casa, então o último dígito impresso não deve ser lido como significativo. A fórmula de Heron também é péssima companhia para triângulos muito finos: quando um lado é quase tão longo quanto os outros dois juntos, os quatro fatores incluem um muito pequeno e a raiz quadrada amplifica o arredondamento que já estava nas medições, então a área de uma lasca merece ser tratada como aproximada, por mais dígitos que sejam impressos. A página é bidimensional e não tem campo para a espessura de um triângulo físico, então ela não dá o volume de um prisma nem o peso de uma chapa.

Por que eu usaria isto em vez de metade da base vezes a altura?

Porque a altura é difícil de medir e os três lados são fáceis. A altura é uma perpendicular de um vértice até o lado oposto, então medi-la significa apoiar um esquadro contra o triângulo, e num triângulo obtusângulo ela cai inteiramente fora da figura. Uma trena ao longo de cada lado não precisa desse cuidado, e a fórmula de Heron transforma essas três leituras na área sem nenhuma altura no meio. Se você já tem uma base e uma altura, use a página da área do triângulo: a aritmética é mais curta.

O que é o semiperímetro e por que ele aparece?

É metade do perímetro, os três lados somados e divididos por dois, e é a quantidade em torno da qual a fórmula de Heron foi escrita: a área é a raiz quadrada de s vezes s menos a, vezes s menos b, vezes s menos c. Ele é impresso em vez de ficar guardado como passo intermediário porque serve também de conferência. Se o semiperímetro não for maior que o lado mais longo, os três comprimentos não formam triângulo, e essa comparação sozinha poupa o trabalho de calcular as três diferenças.

O que acontece se os três lados não formarem um triângulo?

A página para e avisa, em vez de devolver um número. Três comprimentos só se fecham se cada um for mais curto que a soma dos outros dois; quando isso falha, um dos quatro fatores dentro da raiz sai negativo e não há área real. A mensagem nomeia o lado mais longo e quanto os outros dois somam, para você ver o tamanho do erro de medição. O único caso aceito é o da fronteira exata, em que o lado mais longo é igual à soma dos outros dois: esse triângulo realmente se achatou numa linha e a área zero dele é uma resposta de verdade.

De onde vem o nome?

De Heron de Alexandria, que registrou a fórmula no primeiro século, o que a torna um dos resultados mais antigos ainda em uso no dia a dia. Ela foi escrita para medir terras, onde os três lados de um lote são exatamente o que uma corrente de agrimensor entrega e a altura não é. Às vezes ela é chamada de fórmula de Hero, pelo mesmo personagem, cujo nome aparece grafado das duas maneiras nas fontes.

Em alguns triângulos a área e o perímetro dão o mesmo número. Isso é uma regra?

Não, e a tabela mostra por quê. O triângulo 5-12-13 tem área 30 e perímetro 30, e o 9-10-17 também, com 36 e 36 — mas são quantidades diferentes em unidades diferentes, centímetro quadrado contra centímetro, e a igualdade depende inteiramente de em que unidade os lados estavam. Meça o mesmo triângulo em metros e o perímetro cai por cem enquanto a área cai por dez mil, e os dois números se separam. Vale saber disso antes de ler a coincidência como propriedade dos triângulos.

Quão precisa é a área se eu medi os lados com uma trena?

Menos precisa do que as quatro casas sugerem, e o erro cresce em triângulos finos. Cada lado medido carrega a própria incerteza para dentro dos quatro fatores, e quando um lado é quase tão longo quanto os outros dois juntos, um fator fica muito pequeno e a raiz quadrada amplifica o arredondamento que já está nos seus números. Arredonde a resposta para combinar com a medição: se os lados valem até o milímetro, a área vale uns três algarismos significativos, seja o que for que o painel imprima depois disso.

• Heron's formula — the area of a triangle from its three side lengths by way of the semiperimeter, which is the whole of what this page computes, including the proof and the note on the degenerate case — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case, with the triangle inequality that decides whether three lengths can close, and the base-and-height area formula that the triangle area page beside this one uses — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — the half-sum of the sides that Heron's formula is written around, and which doubles as the cheapest test of whether three lengths form a triangle at all — Wolfram MathWorld (United States)