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Calculadora de triângulo equilátero

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

15,5885 cm²

Área

Perímetro
18,0000 cm
Altura
5,1962 cm

Uma calculadora de triângulo equilátero recebe o comprimento de um lado e devolve três medidas: a área que o triângulo cobre, a distância ao redor dele e a altura que desce de um vértice até o meio do lado oposto. Ela é a mais simples das páginas de triângulo por um motivo que vale dizer com todas as letras, porque é a razão inteira de esta página existir como ferramenta separada: o triângulo equilátero é o único tipo de triângulo em que um número só resolve tudo. Dê a um triângulo qualquer os seus três lados e a forma fica fixada; dê dois lados e o ângulo entre eles e ela fica fixada; dê um lado só e existem infinitos triângulos com esse lado, de uma lasca fina até uma forma quase tão larga quanto comprida. O equilátero escapa disso porque a forma dele já está decidida de antemão — os três lados iguais e os três ângulos de 60 graus —, então o que sobra para escolher é o tamanho, e o lado é o número que o estabelece. É por isso que a página tem um único campo e é por isso que dobrar o lado dobra o perímetro e multiplica a área por quatro. A aritmética sai de um fato só: baixar a altura parte o triângulo em dois triângulos retângulos, cada um com a hipotenusa igual ao lado e a base igual à metade do lado, e Pitágoras dá a altura como a raiz de três sobre dois vezes o lado. A área é então metade da base vezes a altura, o que dá a raiz de três sobre quatro vezes o lado ao quadrado. Vale reconhecer as duas constantes de vista, √3 ÷ 2 e √3 ÷ 4, porque são os dois números de que esta forma é feita e a fórmula abaixo não é mais do que os dois aplicados ao lado. A altura é impressa como uma medida por direito próprio, e não apenas como um passo para a área, porque ela é o número de que um desenho precisa e o número que o leitor tem mais chance de querer em seguida.

Triângulos equiláteros de um lado zero a um lado dez

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Altura (cm)
615.5885185.1962
10.43330.866
21.732161.7321
33.897192.5981
510.8253154.3301
7.524.35722.56.4952
1043.3013308.6603
0000

Oito triângulos, e a primeira linha é a que a página carrega. Leia a terceira e a quarta colunas de cima para baixo e repare no que não muda: a altura é sempre 0,866 do lado, e o perímetro é sempre três vezes ele, então essas duas colunas são o lado multiplicado por um número fixo. A segunda coluna é a esquisita, e a segunda e a terceira linhas mostram isso melhor — passar de um lado 1 para um lado 2 dobra o perímetro e a altura, mas multiplica a área por quatro, porque a área acompanha o quadrado do comprimento enquanto as outras duas acompanham o próprio comprimento. A terceira linha é onde a página parece ter um erro de digitação: um triângulo de lado 2 tem área 1,7321 e altura 1,7321. As duas são a raiz de três nesse lado, já que dividir o lado pela metade cancela a divisão por dois na altura e elevá-lo ao quadrado cancela a divisão por quatro na área, e ainda assim são grandezas diferentes — uma em centímetros quadrados, a outra em centímetros. É a única linha com lado maior que zero em que as duas colunas coincidem, e é uma coincidência desse comprimento e não uma coluna calculada duas vezes; na última linha, com lado zero, as duas colunas também mostram o mesmo número, mas ali simplesmente porque as três medidas são zero. A primeira linha é ainda a linha em que as outras páginas de triângulo encontram esta: um lado de 6 dá 15,5885, o mesmo número que a página da fórmula de Heron alcança a partir de 6, 6 e 6 e que a página do isósceles alcança com base 6 e lados iguais de 6. Todo número aqui é recalculado a partir do seu lado quando a página é construída, em centímetros, e as quatro casas são as mesmas quatro casas que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s

Lado
O comprimento de qualquer um dos três lados, em centímetros. É a única entrada da página, porque um triângulo equilátero tem os três lados iguais e os três ângulos fixos em 60 graus, o que deixa o tamanho como a única coisa a decidir
Área
O espaço que o triângulo cobre, em centímetros quadrados, que é a raiz de três dividida por quatro vezes o lado ao quadrado. A constante vale cerca de 0,433, um número útil de se ter à mão: um triângulo equilátero cobre um pouco mais de quatro décimos do quadrado desenhado sobre o seu lado
Perímetro
A distância ao redor, em centímetros: três vezes o lado, já que os três são iguais. É a única das três saídas que é sempre exata quando o lado é, e é justamente isso que faz dela a medida com que se conferem as outras duas
Altura
A distância de um vértice até o meio do lado oposto, em centímetros, que é a raiz de três sobre dois vezes o lado. Também é chamada de altura relativa, e é a mesma reta qualquer que seja o vértice de partida, porque a forma é simétrica
√3
A raiz quadrada de três, cerca de 1,7320508. Ela aparece tanto na área quanto na altura e não é artefato de arredondamento: partir o triângulo ao meio deixa um triângulo retângulo cujos lados não podem ser todos inteiros ao mesmo tempo, então o número quebrado tem de sair em algum lugar
Quatro casas decimais
A largura com que toda saída é escrita. A área e a altura quase sempre carregam a raiz de três e por isso quase nunca terminam; o perímetro é exato, e imprimi-lo com quatro casas é uma largura fixa e não uma afirmação sobre precisão

A página serve para qualquer coisa feita de triângulos equiláteros, e existem mais delas do que o nome sugere. Tesouras de telhado, quadros de bicicleta, treliças de ponte e mãos-francesas de prateleira usam esse triângulo, porque o triângulo é o único polígono que não se deforma sem que o comprimento de um lado mude — dê um empurrão lateral num quadro quadrado e ele se dobra, e é por isso que existe a diagonal de reforço num portão. Se você está cortando triângulos de uma chapa, a área é o que diz quantos cabem e a altura é o que diz a altura de uma fileira deles: dispostos com o vértice para cima, duas fileiras se sobrepõem exatamente por uma altura, então a altura é o espaçamento e não a área. Se você está dobrando uma tira, o perímetro é o comprimento de tira necessário antes de contar a emenda. E se você está conferindo um desenho, a altura tem um lugar fixo no triângulo — ela corta a forma em dois triângulos retângulos idênticos e encontra o lado oposto exatamente no meio dele —, então uma altura calculada que não deixa duas metades iguais quer dizer que o triângulo do desenho não é equilátero, diga o rótulo o que disser. Um aviso aritmético pertence a este ponto e não à letra miúda: a altura impressa nesta página já foi arredondada para quatro casas, então multiplicá-la de volta à mão dá uma área com um dígito de diferença na última casa. As duas medidas do painel estão corretas; o que perde o dígito é o caminho de ida e volta pela altura impressa.

Exemplos resolvidos

  1. Um lado de 6

    1. Perímetro: 3 × 6 = 18
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, que arredonda para 5,1962
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 36 = 15,588457…, que arredonda para 15,5885

    A entrada com que a página carrega, e a linha a guardar, porque é a que as outras páginas de triângulo encontram: um triângulo com os três lados iguais a 6 tem área 15,5885 nesta página, e os mesmos 15,5885 saem da página do triângulo isósceles com base 6 e lados iguais de 6, e da página da fórmula de Heron com 6, 6 e 6. Três caminhos diferentes para a mesma forma, e os três concordam até o último dígito. A armadilha aritmética também aparece aqui: 6 × 5,1962 ÷ 2 dá 15,5886, um dígito acima da área acima, e o dígito se perde no arredondamento da altura e não em qualquer das duas fórmulas.

  2. Um lado de 1

    1. Perímetro: 3 × 1 = 3
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 1 = 0,8660254…, que arredonda para 0,866
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 1 = 0,4330127…, que arredonda para 0,433

    O triângulo unitário, e a linha de onde vale decorar as duas constantes: um triângulo equilátero de lado 1 tem altura 0,866 e área 0,433. Contra o quadrado de lado 1, cuja área é 1, o triângulo cobre um pouco menos da metade do terreno para a mesma aresta, que é o jeito mais direto de ver de onde vem a raiz de três sobre quatro. Aqui os zeros à direita aparecem de dois modos diferentes: o painel de resultados escreve as três medidas com quatro casas completas, 0,4330, 3,0000 e 0,8660, enquanto na tabela as três são escritas sem os zeros que não servem, 0,433, 3 e 0,866. Nenhuma das duas formas está errada e nenhuma das duas é mais precisa: são duas larguras fixas, e o número é o mesmo.

  3. Um lado de 2

    1. Perímetro: 3 × 2 = 6
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 2 = 1,7320508…, que arredonda para 1,7321
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 4 = 1,7320508…, que arredonda para 1,7321

    A linha que parece erro e não é: a área e a altura imprimem as duas 1,7321. As duas são a raiz de três neste lado — dividir o lado pela metade cancela a divisão por dois na altura, e elevar ao quadrado cancela a divisão por quatro na área —, mas uma é 1,7321 centímetro quadrado e a outra é 1,7321 centímetro. São grandezas diferentes que por acaso compartilham o valor numérico neste único comprimento de lado, e nenhum outro lado acima de zero na tabela repete isso. O lado 0 também imprime o mesmo número nas duas colunas, mas ali é porque as duas são zero, o que é outra história.

  4. Um lado de 10

    1. Perímetro: 3 × 10 = 30
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, que arredonda para 8,6603
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 100 = 43,301270…, que arredonda para 43,3013

    Um triângulo de dez centímetros, mais ou menos do tamanho de uma mão-francesa de telhado. A altura de 8,6603 é 86,6 por cento do lado, e essa razão nunca muda: a altura de um triângulo equilátero é sempre 0,866 do seu lado, qualquer que seja o tamanho. Se você for dispor esses triângulos em fileiras com o vértice para cima, é esse o número que define o espaçamento entre as fileiras, já que cada fileira se sobrepõe à de baixo por exatamente uma altura.

  5. Um lado de 0

    1. Perímetro: 3 × 0 = 0
    2. Altura: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    3. Área: (√3 ÷ 4) × 0 = 0

    Zero é uma entrada legítima e não um campo vazio. Um triângulo de lado zero colapsou num único ponto e as três medidas são zero, então uma linha de zeros é uma resposta de verdade. Deixar o campo em branco é o caso diferente: sem nada nele a página não mostra resultado nenhum, porque não há de onde partir.

Limitações

A página serve apenas para triângulos equiláteros: os três lados iguais e os três ângulos de 60 graus. Um triângulo que seja só isósceles, ou retângulo, ou qualquer outra forma com um lado deste comprimento não pode ser descrito por esse único número, e a página vai devolver as medidas do equilátero em vez de avisar que a forma que você tem em mente é outra. Se você conhece dois lados de um triângulo qualquer, a página da área do triângulo recebe base e altura e a página da fórmula de Heron recebe os três lados. As saídas estão em centímetros e em centímetros quadrados qualquer que seja a unidade escolhida na lista de unidades, então um lado digitado em polegadas volta como resposta em centímetros. As quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão, e são generosas para um lado que foi medido. A altura e a área são calculadas de forma independente, cada uma a partir do lado, e não uma a partir da outra: a área não é refeita a partir da altura já arredondada, e por isso multiplicar de volta à mão a altura impressa erra um dígito na quarta casa, o que é diferença de arredondamento e não erro em qualquer das duas medidas. A página é bidimensional do começo ao fim e não tem campo para a espessura de um triângulo físico, então ela não informa o volume de um prisma triangular nem o peso de uma chapa triangular.

Perguntas frequentes

Por que uma medida só já descreve um triângulo equilátero?
Porque a forma já está decidida antes de começar. Um triângulo equilátero tem os três lados iguais e os três ângulos em 60 graus, então a única coisa que resta escolher é o tamanho, e o comprimento do lado estabelece isso. Um triângulo qualquer não tem essa liberdade gasta: com um lado só existem infinitas formas, e são necessários três lados, ou dois lados e o ângulo entre eles, para fixar o triângulo.
Como a altura é obtida, e de onde vem a raiz de três?
Baixar a altura a partir de um vértice corta o triângulo em dois triângulos retângulos idênticos. Cada um tem a hipotenusa igual ao lado e a base igual à metade do lado, então Pitágoras dá a altura como a raiz de três sobre dois vezes o lado. O número quebrado não é artefato de arredondamento: ele é o que sobra quando uma forma de lados iguais é partida ao meio.
Multiplicar a altura impressa pela metade da base não dá exatamente a área impressa. Por quê?
Porque a altura no painel já foi arredondada para quatro casas decimais, e a área foi calculada a partir do lado, que não foi arredondado, e arredondada por conta própria. Com um lado de 6 a altura sai como 5,1962, metade da base é 3, e o produto dá 15,5886, enquanto a área sai como 15,5885. As duas medidas estão certas; o quarto dígito se perde no caminho de ida e volta, e não em qualquer dos dois cálculos. Se você precisa da área exata, use a linha da área em vez de remontá-la.
Qual é a altura como fração do lado?
É sempre 0,866 do lado, cerca de 86,6 por cento, qualquer que seja o tamanho do triângulo. Isso vem da mesma raiz de três sobre dois: aumentar o lado aumenta a altura no mesmo passo, então a razão entre as duas nunca muda. É o número a usar quando você dispõe triângulos em fileiras, já que cada fileira de triângulos com o vértice para cima se sobrepõe à de baixo por exatamente uma altura.
Como a área se compara com a de um quadrado do mesmo lado?
O quadrado é maior, com 1 unidade quadrada contra cerca de 0,433 do triângulo para um lado de 1. O triângulo usa menos material para a mesma aresta, mas também tem um perímetro mais curto sobre essa área, então a comparação só quer dizer alguma coisa quando formulada como material por unidade de aresta. Na prática, a razão de escolher um triângulo é a rigidez e não a área: um triângulo não se deforma sem que o comprimento de um lado mude, o que um quadrado faz.
O lado pode ser zero, e isso é o mesmo que deixar o campo vazio?
Zero é uma entrada de verdade e as três saídas voltam como zero, que é a resposta honesta para um triângulo sem tamanho. Um campo vazio é outra coisa: sem nada preenchido a página não mostra resultado nenhum, porque não há de onde partir. Essa distinção importa enquanto você digita, já que apagar o campo para redigitar um número não deve fazer aparecer uma fileira de zeros.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área do triânguloMetade da base vezes a altura perpendicular sobre ela.Calculadora de fórmula de HeronÁrea do triângulo por três lados, pela fórmula de Heron.Calculadora de triângulo isóscelesÁrea, altura e ângulos de um triângulo isósceles.Calculadora de triângulosTerceiro lado, ângulos e área por dois lados e um ângulo.